L`Alternative de Tits pour Aut[C^2]

Journal of Algebra 239, 413᎐437 Ž2001.
doi:10.1006rjabr.2000.8701, available online at http:rrwww.idealibrary.com on
L’alternative de Tits pour Autw⺓ 2 x
Stephane
Lamy
´
Ecole Normale Superieure
de Lyon, UMPA UMR 5669 46, Allee
´
´ d’Italie,
F-69364 Lyon Cedex 07, France
Communicated by J. Tits
Received January 20, 1999
Via une action de Autw⺓ 2 x sur un arbre, nous classifions les sous-groupes de
Autw⺓ 2 x. En particulier nous montrons que l’alternative de Tits est verifiee.
´ ´
D’autre part nous obtenons une reformulation de la notion de fonction de Green
pour un automorphisme de type Henon.
䊚 2001 Academic Press
´
Letting Autw⺓ 2 x act on a tree, we classify the subgroups of Autw⺓ 2 x and show
that the Tits alternative is true. Further we get another formulation for the notion
of a Green function of an Henon
type automorphism. 䊚 2001 Academic Press
´
1. INTRODUCTION
Cet article constitue l’expose
annonces
´ detaille
´ ´ des resultats
´
´ dans la
note w7x.
Il est bien connu que le groupe Autw⺓ 2 x des automorphismes polynomiaux du plan complexe peut s’ecrire
comme un produit amalgame.
´
´ Plus
precisement
suivant w5x nous noterons:
´ ´
E s Ž x, y . ª Ž ␣ x q P Ž y . , ␤ y q ␥ . ; ␣ , ␤ , ␥ g ⺓, ␣␤ / 0, P g ⺓ w X x 4 ;
A s Ž x, y . ª Ž a1 x q b1 y q c1 , a2 x q b 2 y q c 2 . ;
a i , bi , c i g ⺓, a1 b 2 y a2 b1 / 0 4 ;
S s A l E.
Nous appellerons E le groupe des automorphismes ´
elementaires;
bien sur
´
ˆ
A est le groupe des automorphismes affines. On a alors Autw⺓ 2 x s A)S E.
Par la suite nous commettrons systematiquement
l’abus d’ecriture
consis´
´
w⺓ 2 x
tant `
a noter f s Ž f 1Ž x, y ., f 2 Ž x, y .. pour designer
un
element
f
g
Aut
´
´´
Žau lieu de f : Ž x, y . ª Ž f 1Ž x, y ., f 2 Ž x, y ....
413
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414
STEPHANE
LAMY
´
Suivant une demarche
utilisee
´
´ par Wright w12x Ždans le cadre des
., nous nous proposons d’etudier
sous-groupes abeliens
les sous-groupes de
´
´
Autw⺓ 2 x en utilisant la theorie
de Bass-Serre w9x, qui permet de faire agir
´
Autw⺓ 2 x sur un certain arbre. L’idee
´ est que des questions du type ‘‘ f et g
commutent-ils?’’ ou ‘‘ f et g engendrent-ils un groupe libre?’’ seront plus
faciles `
a traiter en considerant
les actions de f et g sur l’arbre.
´
Friedland et Milnor w5x ont classifie
de Autw⺓ 2 x `
a conjugai´ les ´elements
´
2
´
son pres.
donne
` Etant
´ f g Autw⺓ x on a l’alternative:
1. f est conjugue
de E;
´ `a un ´element
´
2. f est conjugue
a
une
composee
´ `
´ d’applications de Henon
´
generalisees,
i.e.,
´ ´ ´
␸ f ␸y1 s g m ( ⭈⭈⭈ ( g 1 ,
ou
` ␸ g Autw⺓ 2 x, g i s Ž y, Pi Ž y . y ␦ i x . avec ␦i g ⺓*, et Pi g ⺓w X x de
degre
ou
´ G 2. Nous dirons respectivement que f est de type ´elementaire
´
de type Henon.
´
Cette alternative peut ˆ
etre reformulee
´ de la maniere
` suivante: pour
g g Autw⺓ 2 x on definit
le degre
´
´ dynamique dŽ g . s lim nªq⬁Ž d⬚g n .1r n ou
`
d⬚g n est le degre
´ ordinaire de g n. L’avantage du degre´ dynamique est qu’il
est invariant par conjugaison, et on a:
d Ž g . s 1 m g est conjugue
de E.
´ `a un ´element
´
d Ž g . G 2 m g est de type Henon.
´
L’article est organise
´ de la maniere
` suivante.
D’apres
de Bass-Serre w9x, `
a tout produit amalgame
` la theorie
´
´ on peut
associer canoniquement un arbre. Dans la section 2 nous rappelons cette
construction, et de nouveau nous reformulons l’alternative ci-dessus, cette
fois en termes de sous-arbre fixe.
´ Nous introduisons ´egalement certaines
´ecritures normales, qui seront utiles lors des calculs. Enfin, nous ´enonçons
notre theoreme
immediatement
l’alternative de
´ ` principal, et en deduisons
´
´
Tits.
Dans la section 3 nous nous interessons
aux automorphismes de degre
´
´ 1.
Nous montrons d’abord que, sauf pour certaines rotations exceptionnelles,
l’arbre qui est laisse
´ fixe par l’action d’un automorphisme f de degre´ 1 est
borne;
´ cela interdit en particulier une relation f ( g s g ( f avec dŽ g . G 2.
De meme
sont de degre
ˆ si on regarde les groupes dont tous les ´elements
´
´ 1,
nous montrons que sauf ‘‘cas exceptionnels’’ Žde meme
nature que ciˆ
dessus., ce sont `
a conjugaison pres
` des sous-groupes de E ou A.
Nous passons ensuite dans la section 4 au cas des groupes contenant des
de type Henon.
Nous caracterisons
les couples f, g de tels
´elements
´
´
´
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
415
automorphismes qui engendrent un groupe libre, puis nous montrons que
le centralisateur d’un automorphisme de degre
´ G 2 est un produit semidirect ⺪ i ⺪rp⺪. La preuve du theoreme
´ ` principal est ensuite achevee.
´
Enfin dans la section 5 nous faisons le lien avec le point de vue
developpe
´
´ par exemple par Bedford, Smillie et Sibony w1, 2, 10x: nous
caracterisons
les automorphismes qui ont meme
´
ˆ fonction de Green, ainsi
que les automorphismes qui laissent un bassin d’attraction invariant. C’est
la resolution
de ces questions de nature dynamique qui ´
etait la motivation
´
premiere
` de ce travail.
´
´
´ DU THEOREME
´ `
2. PRELIMINAIRES
ET ENONCE
PRINCIPAL
Le debut
´ de cette section est essentiellement une retranscription d’une
construction de w9x adaptee
´ `a notre cas particulier.
On construit un arbre simplicial T de la maniere
` suivante: on pose
l’ensemble des sommets ´
egal `
a l’union disjointe de Autw⺓ 2 xrA et de
Autw⺓ 2 xrE, et l’ensemble des aretes
ˆ ´egal `a Autw⺓ 2 xrS. Tous ces quotients
doivent ˆ
etre compris comme des classes `
a gauche; les classes de g g
Autw⺓ 2 x se notent respectivement gA, gE et gS. Par definition,
l’arete
´
ˆ hS
relie les sommets fA et gE si hS ; fA et hS ; gE Žet donc fA s hA et
gE s hE .. Nous avons ainsi construit un graphe T ŽFig. 1.; et dire que A
et E sont amalgames
´ le long de S revient `a dire que T est un arbre Žvoir
w9x..
Cet arbre est le seul Ž`
a isomorphisme pres
la propriete
` . `a verifier
´
´´
suivante: il existe une action de Autw⺓ 2 x sur T , tel que le domaine
fondamental de cette action soit un segment, i.e., une arete
ˆ avec ses deux
sommets, avec E et A les stabilisateurs des sommets de ce segment Žet
donc S est le stabilisateur de ce segment.. Cette action est en fait
simplement la translation `
a gauche: g Ž hS . s Ž g ( h. S.
FIG. 1. Quelques sommets de l’arbre T Ž a, a⬘ g A _ E; e, e⬘ g E _ A..
416
STEPHANE
LAMY
´
Il existe une metrique
naturelle sur l’ensemble des sommets de T : si
´
p, q sont deux sommets, distŽ p, q . g ⺞ est le nombre d’aretes
ˆ du chemin
sans aller-retour reliant p `
a q. Nous verrons des
la
section
3 que la
`
2x
w
translation `
a gauche induit une representation
fidele
´
` de Aut ⺓ dans les
isometries
de T , ce qui nous conduira par la suite `
a confondre un ´
element
´
´
f de Autw⺓ 2 x avec l’isometrie
qu’il induit sur T.
´
D’autre part on voit que si l’action de f laisse deux sommets fixes, le
chemin qui les relie est fixe
´ ´egalement; on peut ainsi parler du sous-arbre
fixe
´ par f, que l’on note FixŽ f . Žne pas confondre avec les points fixes de f
en tant qu’automorphisme de ⺓ 2 . . . .. On a vu que, par construction, E
que pour tout
´etait le stabilisateur de IdE. Cela implique immediatement
´
g g Autw⺓ 2 x, gEgy1 est le stabilisateur de gE Ž idem avec A et S ..
Considerons
maintenant f avec FixŽ f . s ⭋. Il existe un ensemble de
´
sommets qui realisent
la borne inferieure
inf p distŽ p, fp .; ces sommets
´
´
definissent
une geodesique
infinie sur laquelle f agit par translation Žvoir
´
´ ´
w9, p. 88x.. On note Geo
et lgŽ f . Ž‘‘longueur de f ’’. la
´ Ž f . cette geodesique,
´ ´
borne inf p distŽ p, fp .. A noter que l’action de f induit naturellement une
orientation sur Geo
orientee
´ Ž f .; cependant cette notion de geodesique
´ ´
´ ne
nous servira pas avant la section 5.
Terminologie. Pour un ´
element
f dans Autw⺓ 2 x il est ainsi ´
equivalent
´
Ži.e., est conjugue
de dire que f est de type ´
elementaire
´
´ `a un automor., que d Ž f . s 1 et que FixŽ f . est non vide. De meme
phisme ´
elementaire
´
ˆ
sont ´
equivalents: f est de type Henon,
d Ž f . G 2 et FixŽ f . est vide ŽFigs. 2,
´
3.. Dans le texte nous emploierons les trois terminologies.
Žc’est
Remarquons qu’un automorphisme affine est de type ´
elementaire
´
la triangulation des matrices..
Enfin, nous dirons qu’un sous-groupe de Autw⺓ 2 x est de degre
´ 1 si tous
ses ´
elements
sont de type ´
elementaire.
´
´
FIG. 2. Action d’un ´
element
f avec FixŽ f . s IdS 4.
´
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
417
FIG. 3. Action d’un ´
element
f avec FixŽ f . s ⭋ et lgŽ f . s 2.
´
La proposition suivante regroupe quelques proprietes
´ ´ immediates:
´
lg Ž g . est toujours pair, car
PROPOSITION 2.1. Ž1. Pour g de type Henon
´
un sommet de type ␸ E Ž resp. ␸ A. est toujours en¨ oye´ par g sur un sommet de
type ␸ E Ž resp. ␸ A..
Ž2. Si d Ž g . G 2, et n g ⺪, alors Geo
´ Ž g n . s Geo
´ Ž g . et lg Ž g n . s
< n <.lg Ž g ..
Ž3. Si d Ž f . s 1 et ␸ g Autw⺓ 2 x, alors Fix Ž ␸ f ␸y1 . s ␸ .Fix Ž f ..
Ž4. De meme,
si d Ž g . G 2, Geo
ˆ
´ Ž ␸ g ␸y1 . s ␸ .Geo
´ Ž g ..
Nous revenons maintenant sur la notion de produit amalgame.
´ Dire que
Autw⺓ 2 x s A)S E c’est dire que chaque f dans Autw⺓ 2 x admet une decom´
position de la forme f s a n ( e n ( ⭈⭈⭈ ( a1 ( e1 ou
` ai g A _ S, e i g E _ S
Ž´
eventuellement f commence par un e i ou finit par un a i ., et cette
´ecriture est unique `a ceci pres
` qu’on peut faire des changements du type
Ž a i ( sy1 .(Ž s( e i . au lieu de a i ( e i Žou
` s g S .. En particulier la ‘‘taille’’ de
f, i.e., le nombre de e i et de a i necessaires
pour ´
ecrire f, est bien definie
´
´
Žici par exemple c’est 2 n.. On dit que f est cycliquement reduit
si f est de
´
taille minimale dans sa classe de conjugaison. On voit qu’un inconvenient
´
de la notion de produit amalgame
une
´ est que l’on n’a pas immediatement
´
de Autw⺓ 2 x Žcomme dans le cas d’un
´ecriture unique pour chaque ´element
´
produit libre.. Cependant si on se donne Ž a i . i g I et Ž e j . j g J des systemes
de
`
representants
des classes `
a gauche ArS et ErS, on recupere
´
´ ` une ´ecriture
unique pour chaque ´
element
de Autw⺓ 2 x, ainsi que pour chaque sommet et
´
arete
ˆ de T.
Étant donnes
considerons
l’ensemble M des mots
´ de tels systemes,
`
´
obtenus en juxtaposant alternativement un nombre fini de a i et de e j :
Ms
½
a i oe j1 , . . . , e j na i n ; ou
` les ai k , e jk sont non triviaux
sauf ´
eventuellement a i 0 et a i n .
5
On a alors une bijection w9, p. 9x:
M = S ª Aut w ⺓ 2 x
Ž ai oe j1 ⭈⭈⭈ ai n , s . ª ai o( e j1 ( ⭈⭈⭈ ( ai n( s.
STEPHANE
LAMY
´
418
D’ou
` les bijections:
M ª aretes
ˆ de T ;
e
M ª sommets de type ␸ A de T ;
M a ª sommets de type ␸ E de T ,
ou
l’ensemble des mots dans M dont le dernier
` M e Žresp. M a . designe
´
Žnon trivial. est un e j Žresp. un a i ..
´element
´
Tout ceci est utile en pratique car, suivant Wright w12x, on peut expliciter
Ž a i . et Ž e j . tres
des systemes
de representants
`
´
` simples. Pour tout ␭ g ⺓, et
pour tout P g Y 2 ⺓w Y x _ 04 Ži.e., P est un polynome
ˆ non nul avec P Ž0. s
P⬘Ž0. s 0., on definit:
´
a Ž ␭ . s Ž ␭ x q y, x . ;
eŽ P . s Ž x q P Ž y . , y . .
Alors les Ž aŽ ␭..␭g ⺓ Žresp. les Ž eŽ P ..P g Y 2 ⺓w Y x_04 . forment un systeme
` de
representants
des classes `
a gauche non triviales ArS Žresp. ErS .. Ainsi
´
un automorphisme ␸ g Autw⺓ 2 x s’ecrit
de maniere
´
` unique comme une
composition de aŽ ␭. et de eŽ P . Žcorrigee
´ par un automorphisme s g S
compose
normale de ␸ . De meme
´ `a droite.: on dira que c’est l’ecriture
´
ˆ on
parlera d’ecriture
normale pour les sommets et aretes
´
ˆ de T.
EXEMPLE 2.2. Considerons
l’application de Henon
g s Ž y, y 2 q ␦ x ..
´
´
On a
g s a Ž 0 . ( e Ž y 2 . ( Ž ␦ x, y . .
L’automorphisme g correspond `
a une arete
ˆ gS et `a deux sommets gE, gA
qui admettent respectivement comme ´
ecriture normale aŽ0. eŽ y 2 . S, aŽ0. E,
aŽ0. eŽ y 2 . A.
´
Remarque 2.3. Ž1. Etant
donne
il est ´
equivalent de
´ g de type Henon,
´
dire que g est cycliquement reduit
et que Geo
´
´ Ž g . contient l’arete
ˆ IdS. En
effet il est clair que distŽ IdE, gE . s distŽ IdA, gA. si et seulement si
IdS ; Geo
´ Ž g ., et dans ce cas cette distance est ´egale `a la taille de g.
Ž2. Tous les aŽ ␭. et eŽ P . fixent l’origine dans ⺓ 2 , on en deduit
que
´
f g Autw⺓ 2 x fixe 0 si et seulement s’il s’ecrit
f s a i 0 ( e j1 ( ⭈⭈⭈ ( a i n( s avec
´
sŽ0. s 0, i.e. s s Ž a1 x q b1 y, b 2 y ..
Nous ´
enonçons maintenant notre theoreme
principal, dont la preuve
´ `
fera l’objet des deux sections suivantes:
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
419
THEOREME
´ ` 2.4. Soit G un sous-groupe de Autw⺓ 2 x. L’une des possibilites
´
sui¨ antes, qui s’excluent mutuellement, est realisee:
´ ´
Ž1. G est un groupe de degre´ 1 conjugue´ a
` un sous-groupe de E ou de A.
Ž2. G est un groupe de degre´ 1 mais n’est pas conjugue´ a
` un sous-groupe
de E ou de A. Alors G est abelien.
´
Ž3. G contient des ´´
elements de type Henon,
et ceux-ci ont tous meme
´
ˆ
geodesique.
Alors G est resoluble.
´ ´
´
Ž4. G contient deux ´´
elements de type Henon
a¨ ec des geodesiques
´
´ ´
differentes.
Alors G contient un sous-groupe libre a
´
` deux generateurs.
´´
On en deduit
immediatement
le
´
´
COROLLAIRE 2.5. Le groupe Autw⺓ 2 x ¨ ´
erifie l’alternati¨ e de Tits: si G est
un sous-groupe de Autw⺓ 2 x alors l’une des deux possibilites
´ sui¨ antes est
realisee.
´ ´
Ž1. G contient un groupe resoluble
d’indice fini;
´
Ž2. G contient un groupe libre non abelien.
´
Preu¨ e. Dans les cas Ž2., Ž3. et Ž4. du theoreme
est clair.
´ ` le resultat
´
Reste le cas 1 ou
` l’on se ramene
` `a un sous-groupe de E ou de A. Les
groupes derives
´ ´ de E se calculent facilement:
E Ž1. s w E, E x s Ž x q P Ž y . , y q ␥ . ; P g ⺓ w X x , ␥ g ⺓ 4 ;
E Ž2. s Ž x q P Ž y . , y . ; P g ⺓ w X x 4 ;
E Ž3. s Id 4 .
Ainsi E est resoluble;
d’autre part A peut ´
evidemment ˆ
etre vu comme un
´
sous-groupe de GL 3 Ž⺓. grace
ˆ au morphisme de groupe injectif suivant:
A ª GL 3 Ž ⺓ .
a1
Ž a1 x q b1 y q c1 , a2 x q b 2 y q c2 . ª a2
0
b1
b2
0
c1
c2 .
1
0
On conclut `
a l’aide de l’alternative de Tits dans le cadre des groupes
lineaires,
voir par exemple w6x pour une presentation
de ce theoreme
´
´
´ `
difficile.
A noter qu’il existe des groupes operant
fidelement
sur un arbre mais ne
´
`
verifiant
pas l’alternative de Tits. On trouvera dans w11x l’exemple d’un tel
´
groupe: il s’agit d’un groupe infini, de type fini, dont tous les ´
elements
sont
´
d’ordre fini Žje remercie E. Ghys pour cet exemple..
STEPHANE
LAMY
´
420
´
3. ETUDE
DES AUTOMORPHISMES DE TYPE
´ ´
ELEMENTAIRE
Nous allons dans un premier temps ´
etudier les automorphismes de
degre
les automorphismes f admettant un
´ 1, et en particulier caracteriser
´
arbre FixŽ f . non borne.
´ De tels automorphismes vont apparaıtre
ˆ ou bien
lorsque nous prendrons le commutateur de deux automorphismes de type
Žcas Ž3. du theoreme
Henon
qui ont meme
´
ˆ geodesique
´ ´
´ ` ., ou bien quand
nous considererons
des automorphismes qui fixent un bout de l’arbre Žce
`
sera la situation dans le cas Ž2... Dans un deuxieme
` temps nous ´etudierons
les sous-groupes de degre
´ 1, ce qui correspond aux cas Ž1. et Ž2. du
theoreme
´ ` 2.4.
Notons qu’il n’est pas tout `
a fait ´
evident a priori qu’il existe bien des
automorphismes Žautres que l’identite
´. qui fixent un sous-arbre non borne´
de T. Le lemme suivant va nous permettre de produire des exemples de
tels automorphismes.
LEMME 3.1. Soient f, g g Autw⺓ 2 x, a¨ ec d Ž f . s 1 et d Ž g . G 2. Supposons que f ( g s g ( f. Alors Geo
´ Ž g . ; Fix Ž f ..
Preu¨ e. Soit p un sommet dans FixŽ f ., alors pour tout n g ⺪
f Ž g n Ž p. . s g n Ž f Ž p. . s g n Ž p.
i.e., g n Ž p . g FixŽ f .. Ainsi pour tout n l’arbre FixŽ f . contient le chemin
reliant g ny 1 Ž p . `
a g n Ž p ., et chacun de ces chemins contient lgŽ g . aretes
ˆ de
Ž
.
Geo
est alors clair ŽFig. 4..
´ g . Le resultat
´
Remarquons maintenant que pour certains automorphismes tres
` simples
le lemme ci-dessus est efficace:
EXEMPLE 3.2. Si f s Ž ␣ x, ␤ y . avec ␣ , ␤ racines de l’unite
´ de meme
ˆ
ordre, alors il est facile de construire des exemples de g avec d Ž g . G 2 tels
que f ( g s g ( f. Le lemme 3.1 s’applique donc: FixŽ f . est un sous-arbre
de T de diametre
` infini, car il contient Geo
´ Ž g ..
䢇
Si ␣ s ␤ et ␣ n s 1, il suffit de prendre g s Ž y, y nq1 q x ..
FIG. 4. FixŽ f . contient les g n Ž p . « FixŽ f . contient Geo
´ Ž g ..
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
421
Si ␣ / ␤ alors il existe p, q G 2 tels que ␣ p s ␤ , ␤ q s ␣ . Posons
Ž
g 1 s y, y p q x ., g 2 s Ž y, y q q x ., alors g s g 1 ( g 2 convient.
䢇
Le sens de la proposition suivante est de montrer que les exemples 3.2
sont les seuls Ž`
a conjugaison pres
crucial pour la
` .. C’est la` un resultat
´
preuve du theoreme
ne decoule
pas
´ ` 2.4, et il est `a noter que ce resultat
´
´
directement de la theorie
de Bass-Serre mais est au contraire tres
´
` particulier au groupe Autw⺓ 2 x. En fait on s’aperçoit que si FixŽ f . est borné
alors FixŽ f . est petit Žde diametre
` au plus 6., ce qui autorise une preuve
calculatoire:
PROPOSITION 3.3. Soit f dans Autw⺓ 2 x de degre´ 1. Alors Fix Ž f . est de
diametre
` infini si et seulement si f est conjugue´ a` une rotation Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec
␣ , ␤ racines de l’unite´ de meme
ˆ ordre.
Preu¨ e. Puisque d Ž f . s 1, en conjuguant on se ramene
` `a f g E. A
conjugaison dans E pres
` f est alors d’un des quatre types suivant Žcf. w5x.:
Ž1. Ž ␣ x, ␤ y . avec ␣ , ␤ g ⺓*;
Ž2. Ž x q 1, ␤ y . ou Ž ␤ x, y q 1. avec ␤ g ⺓*;
Ž3. Ž ␤ d x q ␤ d y d , ␤ y . avec d G 1, ␤ g ⺓*;
Ž4. Ž ␤ d x q ␤ d y d q Ž y r ., ␤ y . avec d G 1, q non constant de plus haut
coefficient q1, ␤ racine r i em e de l’unite.
´
Nous ´
etudions maintenant chacun des cas, en suivant plus ou moins un
ordre croissant de complexite
´ pour FixŽ f ..
Dans le cas Ž4., et dans le cas Ž3. avec d G 2, meme
ˆ en conjuguant dans
Autw⺓ 2 x on ne peut pas baisser le degre
´ de f Žlemme 6-7 de w5x.. En
particulier f n’est pas conjugue
de S, donc FixŽ f . est reduit
´ `a un ´element
´
´
`a
un seul sommet Žde type ␸ E ..
Dans tous les cas restant on a f g S, donc FixŽ f . contient l’arete
ˆ IdS.
Rappelons que FixŽ f . est un arbre, donc si f fixe une autre arete
ˆ il fixe
´egalement tout le chemin reliant cette arete
ˆ `a IdS ŽFig. 5.. L’idee
´ est
maintenant, en utilisant les ´
ecritures normales, de donner les ´
equations
que doit verifier
f pour fixer une arete
´
ˆ voisine de IdS. Par exemple on a:
f fixe l’arete
ˆ aŽ ␭ . S m f g aŽ ␭ . Sa Ž ␭ .
y1
m aŽ ␭ .
y1
fa Ž ␭ . g S.
FIG. 5. Ecritures normales des aretes
ˆ voisines de IdS.
STEPHANE
LAMY
´
422
Plaçons-nous dans le cas Ž3. avec d s 1, i.e., f s Ž ␤ x q ␤ y, ␤ y .. On
calcule:
aŽ ␭.
y1
fa Ž ␭ . s Ž y, x y ␭ y . ( Ž ␤ x q ␤ y, ␤ y . ( Ž ␭ x q y, x .
s Ž ␤ x, ␤ y q ␤ x . ;
eŽ P .
y1
fe Ž P . s Ž x y P Ž y . , y . ( Ž ␤ x q ␤ y, ␤ y . ( Ž x q P Ž y . , y .
s Ž ␤ x q ␤ y q ␤PŽ y. y PŽ ␤ y. , ␤ y. .
On voit que f ne fixe aucune arete
ˆ de la forme aŽ ␭. S, car Ž ␤ x, ␤ y q ␤ x .
f S. D’autre part f ne peut fixer une arete
ˆ eŽ P . S que si P Ž ␤ y . s ␤ P Ž y ..
Dans ce cas ␤ est une racine de l’unite,
´ et on remarque que eŽ P .y1 feŽ P .
s f. Ainsi par le calcul precedent
aŽ ␭.y1 eŽ P .y1 feŽ P . aŽ ␭. f S, ce qui
´´
revient `
a dire que f ne fixe pas d’arete
ˆ de la forme eŽ P . aŽ ␭. S. Finalement
FixŽ f . ne contient que l’arete
ˆ IdS si ␤ n’est pas une racine de l’unite,
´ et
contient IdS plus des aretes
ˆ de la forme eŽ P . S si ␤ est racine. Ainsi
FixŽ f . est de diametre
ou
` inferieur
´
` ´egal `a 2.
Passons au cas Ž2., i.e., f s Ž x q 1, ␤ y . Žle cas f s Ž ␤ x, y q 1. se
deduit
par conjugaison par Ž y, x ... On a:
´
aŽ ␭.
y1
fa Ž ␭ . s Ž ␤ x, ␭ Ž 1 y ␤ . x q y q 1 . .
Donc f fixe aŽ ␭. S si ␭ s 0 ou si ␤ s 1 et dans les deux cas on a
aŽ ␭.y1 faŽ ␭. s Ž ␤ x, y q 1.. En conjuguant par eŽ Q .y1 on obtient:
eŽ Q.
y1
( Ž ␤ x, y q 1 . ( e Ž Q . s Ž ␤ x q ␤ Q Ž y . y Q Ž y q 1 . , y q 1 . .
Cet automorphisme ne peut ˆ
etre dans S que si ␤ s 1 et QŽ y . s ay 2 , et on
y1
a alors eŽ Q . (Ž x, y q 1.( eŽ Q . s Ž x y 2 ay y a, y q 1.. Une troisieme
`
conjugaison donne:
aŽ ␮ .
y1
( Ž x y 2 ay y a, y q 1 . ( a Ž ␮ . s Ž x q 1, y y 2 ax y a y ␮ .
et cet automorphisme ne peut ˆ
etre dans S, pour tout choix de ␮. Ainsi f
ne fixe aucune arete
ˆ de la forme aŽ ␭. eŽ Q . aŽ ␮ . S. Regardons maintenant
les aretes
ˆ eŽ P . S:
eŽ P .
y1
fe Ž P . s Ž x q 1 q P Ž y . y P Ž ␤ y . , ␤ y . .
On voit que f fixe eŽ P . S des
` que P Ž y . s P Ž ␤ y . et on a alors
eŽ P .y1 feŽ P . s f ; on est ainsi ramene
On conclut
´ aux calculs precedents.
´´
la-encore
que FixŽ f . est de diametre
`
` fini. C’est dans le cas ␤ s 1 que
ce diametre
` est maximal; les calculs ci-dessus montrent que dans ce cas
FixŽ f . contient des aretes
de la forme aŽ ␭. eŽ Q . S, aŽ ␭. S, IdS, eŽ P . S,
ˆ
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
423
eŽ P . aŽ ␮ . S et eŽ P . aŽ ␮ . eŽ Q . S: on voit que FixŽ f . est de diametre
` 6.
´
Etudions
enfin le cas Ž1., i.e., f s Ž ␣ x, ␤ y .. Comme precedemment
on
´´
calcule:
y1
fa Ž ␭ . s Ž ␤ x, ␭Ž ␣ y ␤ . x q ␣ y . ;
y1
fe Ž P . s Ž ␣ x q ␣ P Ž y . y P Ž ␤ y . , ␤ y . .
aŽ ␭ .
eŽ P .
Donc f fixe aŽ ␭. S si ␣ s ␤ ou si ␭ s 0, dans les deux cas on a
aŽ ␭.y1 faŽ ␭. s Ž ␤ x, ␣ y .. D’autre part f fixe eŽ P . S si P Ž ␤ y . s ␣ P Ž y ., ce
qui implique ␣ s ␤ n, ou
` n est le degre´ de P. De plus on remarque
qu’alors eŽ P .y1 feŽ P . s f.
Donc eŽ Q .y1 aŽ ␭.y1 faŽ ␭. eŽ Q . g S implique ␤ s ␣ m ou
` m s degre´ de
Q. Il est clair enfin que l’existence de n, m G 2 tels que ␣ m s ␤ et
␣ s ␤ n implique que ␣ et ␤ sont des racines de l’unite
´ de meme
ˆ ordre.
On est ainsi dans le cadre des exemples 3.2, et nous avons vu que ceux-ci
possedent
un arbre fixe
`
´ non borne.
´
Remarque 3.4. Les calculs de la preuve ci-dessus Ždans le cas 1.
permettent de preciser
quelles aretes
´
ˆ appartiennent `a FixŽ f . quand ce
Ž
␣
x, ␤ y . avec ␣ , ␤ racines de l’unite
dernier est non borne.
Soit
f
s
´
´ de
Ž
.
Ž
.
Ž
.
Ž
.
meme
ordre,
et
soit
␸
S
s
a
␭
e
P
⭈⭈⭈
a
␭
e
P
S
une
arete.
On
disˆ
ˆ
1
1
n
n
tingue deux cas:
Ž1. ␣ s ␤ : ␸ S g FixŽ f . si et seulement si les Pj verifient
Pj Ž ␣ x . s
´
␣ Pj Ž x . Žles ␭ i peuvent ˆ
etre choisis arbitrairement .. Cela revient `
a dire que
f commute avec chaque aŽ ␭ i . et eŽ Pj ..
Ž2. ␣ / ␤ : ␸ S g FixŽ f . si et seulement si les ␭ i sont tous nuls et les
Pj verifient
P2 kq1Ž ␣ y . s ␤ P2 kq1Ž y . et P2 k Ž ␤ y . s ␣ P2 k Ž y ., ce qui revient
´
`a dire que eŽ P2 kq1 . Žresp. eŽ P2 k .. commute avec Ž ␤ x, ␣ y . Žresp. Ž ␣ x, ␤ y ...
On a des resultats
analogues quand l’ecriture
de ␸ commence par un eŽ P .
´
´
Ž
.
ou finit par un a ␭ .
Remarque 3.5. Il est maintenant clair que l’action de Autw⺓ 2 x sur
l’arbre T est fidele.
` En effet soit f g Autw⺓ 2 x qui agit sur l’arbre comme
l’identite.
´ D’apres
` la proposition 3.3 f est conjugue´ `a une rotation Ž ␣ x, ␤ y .
avec ␣ , ␤ racines de l’unite
´ de meme
ˆ ordre, et par la remarque prece´´
dente une telle rotation ne fixe tout l’arbre que si elle est ´
egale `
a l’identite.
´
A noter que pour certain produit amalgame
´ l’action induite n’est pas
fidele,
` par exemple dans SLŽ2, ⺪. , ⺪r4⺪)⺪r2⺪ ⺪r6⺪ la matrice yId agit
comme l’identite
´ sur l’arbre associe.
´
STEPHANE
LAMY
´
424
COROLLAIRE 3.6. Soit f s Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec ␣ , ␤ racines de l’unite´ de
meme
ˆ ordre, et soit g de degre´ G 2. On suppose Geo
´ Ž g . ; Fix Ž f .. Alors il
existe ␸ g Autw⺓ 2 x tel que
䢇
䢇
␸ g ␸y1 soit cycliquement reduit;
´
␸ f ␸y1 s Ž ␣ x, ␤ y . ou Ž ␤ x, ␣ y ..
Preu¨ e. Il suffit de prendre ␸ tel que ␸y1 S g Geo
´ Ž g .. En effet
␸ .Geo
´ Ž ␸ g ␸y1 . s Geo
´ Ž g ., d’ou
` IdS g Geo
´ Ž ␸ g ␸y1 . et on applique la
remarque 2.3. De plus ␸ f ␸y1 est encore diagonal par la remarque 3.4.
y1
Nous aurons besoin du lemme ´
elementaire
suivant:
´
LEMME 3.7. Soient f 1 , f 2 g Autw⺓ 2 x, a¨ ec Fix Ž f 1 . l Fix Ž f 2 . non borne.
´
Alors f 1 et f 2 commutent; de plus ils admettent chacun un unique point fixe
qui leur est commun.
Preu¨ e. En conjuguant on peut supposer que f 1 et f 2 sont dans E
Žpuisqu’ils fixent tous deux un sommet de type ␸ E, et meme,
en fait, une
ˆ
y1
infinite
est de la
´ de tels sommets.. Alors le commutateur h [ f 1 f 2 fy1
1 f2
forme Ž x q P Ž y ., y q ␥ .; de plus FixŽ h. est non borne
´ donc h est d’ordre
fini par la proposition 3.3. On en deduit
que h s Id.
´
Les automorphismes f 1 et f 2 ayant par hypothese
` des arbres fixes
´
associes
´ non bornes,
´ ils sont chacun conjugues
´ `a une rotation Ž ␣ x, ␤ y .
avec ␣ , ␤ racines de l’unite
ordre. En particulier ils ont un
´ de meme
ˆ
unique point fixe dans ⺓ 2 , et comme ils commutent leurs points fixes
coıncident.
¨
Nous allons maintenant ´
etudier les sous-groupes de degre
´ 1 de Autw⺓ 2 x.
On pourrait avoir envie de dire qu’un tel groupe doit ˆ
etre conjugue
´ `a un
sous-groupe de A ou E. Nous allons voir que c’est faux en general
´ ´
Žexemple de Wright., mais vrai en rajoutant certaines hypotheses.
Nous
`
utiliserons les trois lemmes suivants:
LEMME 3.8. Soit G un sous-groupe de degre´ 1, et soient f, g g G. Alors
Fix Ž g . l Fix Ž f . / ⭋.
Preu¨ e. L’idee
p g FixŽ g ( f ., et q le milieu du
´ est de considerer
´
chemin reliant p `
a f Ž p .. Alors q g FixŽ f . l FixŽ g . Žvoir w9, Proposition
26, p. 89x..
LEMME 3.9. Soient X un arbre, et X 1 , . . . , X n des sous-arbres deux a
` deux
non disjoints. Alors F i X i / ⭋.
Preu¨ e. Voir w9, Lemme 10, p. 91x.
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
LEMME 3.10.
X, tel que:
2x
425
Soient X un arbre, et Ž X i . i g I une famille de sous-arbres de
Ž1. X i l X j / ⭋ ᭙ i, j g I;
Ž2. Il existe Y un sous-arbre borne´ de X, tel que ᭙ i g I, X i ; Y. Alors
F i X i / ⭋.
Preu¨ e. On raisonne par recurrence
sur le diametre
´
` n de Y. Si n s 0
Ži.e., si Y est reduit
´
`a un seul sommet., alors pour tout i on a X i s Y et
donc F i X i s Y. Si n G 1, alors ou bien il existe un sommet terminal de Y
Ži.e., un sommet qui n’appartient qu’a
` une seule arete
ˆ . contenu dans tous
les X i , ce qui termine la demonstration,
ou bien il n’en existe pas et on
´
continue le raisonnement avec Y ⬘ [ Y _ sommets et aretes
ˆ terminaux de
Y4 , X iX [ X i l Y⬘.
Nous pouvons maintenant ´
enoncer la
PROPOSITION 3.11. Soit G un sous-groupe de degre´ 1 de Autw⺓ 2 x. On
suppose que l’une des deux hypotheses
` sui¨ antes est satisfaite:
Ž1. G est de type fini;
Ž2. G contient un ´´
element f a¨ ec Fix Ž f . borne.
´
Alors G est conjugue´ a
` un sous-groupe de A ou de E.
Preu¨ e. Supposons d’abord G de type fini, i.e. G s ² g 1 , . . . , g n :, g i g
Autw⺓ 2 x. On note X i s FixŽ g i .. Le lemme 3.8 dit alors que les X i sont
deux `
a deux non disjoints, et donc par le lemme 3.9 leur intersection
globale contient au moins un sommet P. Ce sommet P s’ecrit
␸ A ou ␸ E
´
Žavec ␸ g Autw⺓ 2 x., et G est inclu dans le stabilisateur de P, i.e., G ;
␸ A ␸y1 ou ␸ E␸y1 .
Plaçons-nous maintenant dans le cas Ž2.: il existe f g G avec FixŽ f .
borne.
´ Pour chaque g g G on note maintenant X g s FixŽ g . l FixŽ f .. Si
g 1 , g 2 g G, le lemme 3.8 applique
´ trois fois Žaux couples Ž g 1 , f ., Ž g 2 , f . et
Ž g 1 , g 2 .. implique que X g l X g / ⭋. On est alors exactement dans les
1
2
conditions du lemme 3.10 puisque chaque ´
element
de la famille Ž X g . g g G
´
Ž
.
est contenu dans l’arbre borne
Fix
f
.
Ainsi
G
est
encore inclu dans le
´
.
stabilisateur d’un sommet P Žou
P
g
F
X
.
`
ggG
g
Pour ce qui concerne l’existence de sous-groupes de degre
´ 1 qui ne
soient pas conjugues
´ `a un sous-groupe de E ou de A, nous renvoyons `a
w12x ou
` un exemple explicite est construit. Nous nous contentons d’enoncer
´
la proposition suivante qui caracterise
de tels sous-groupes:
´
426
STEPHANE
LAMY
´
PROPOSITION 3.12. Soit G un sous-groupe de degre´ 1 qui n’est pas
conjugue´ a
` un sous-groupe de A ou de E. Alors:
Ž1. G est abelien;
´
Ž2. G est ´
egal a
` l’union d’une famille croissante de groupes Hi , i g ⺞,
ou
` chaque Hi est conjugue´ a` un groupe cyclique fini engendre´ par une rotation
Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec ␣ , ␤ racines de l’unite´ de meme
ˆ ordre;
Ž3. chaque ´´
element de G admet un seul point fixe Ž en tant qu’automorphisme de ⺓ 2 . et ce point fixe est le meme
elements de G;
ˆ pour tous les ´´
Ž4. l’action de G fixe un bout de l’arbre T.
Preu¨ e. Comme G n’est pas conjugue
´ `a un sous-groupe de A ou de E,
il ne fixe aucun sommet. Par la proposition 3.11 on en deduit
que chaque
´
element
de
G
admet
un
arbre
fixe
non
borne,
i.e.,
est
conjugue
´´
´
´ `a une
rotation Ž ␣ x, ␤ y . avec ␣ , ␤ racines de l’unite
de
meme
ordre.
De
plus, si
´
ˆ
f, g g G alors FixŽ f . l FixŽ g . est non borne,
en
effet
sinon
on
pourrait
´
appliquer le lemme 3.10 avec Y s FixŽ f . l FixŽ g ., X g i s FixŽ g i . l Y, ce
qui contredirait le fait que G n’est inclus dans le stabilisateur d’aucun
sommet. Par le lemme 3.7, on obtient Ž1. et Ž3..
Montrons maintenant l’assertion Ž2.. Toujours d’apres
` la proposition
3.11 le groupe G n’est pas de type fini. De plus remarquons que si
f, g g G sont de meme
ˆ ordre alors il existe n g ⺪ tel que f n s g. En effet
sinon on peut supposer Žen conjuguant. f, g g E et on pourrait trouver
m g ⺞ tel que
f m ( g s Ž ␣ x q P Ž y . , ␤ y q ␥ . / Id
avec ␣ s 1 ou ␤ s 1. Mais ceci est impossible car ␣ et ␤ doivent ˆ
etre des
racines du meme
ˆ ordre Ždonc ␣ s ␤ s 1. et f m ( g doit ˆetre d’ordre fini.
Il existe donc une suite strictement croissante d’entiers Ž n i . i g ⺞ tel que n i
soit l’ordre d’un ´
element
de G. Definissons
Hi comme le sous-groupe de
´
´
G engendre
d’ordre inferieur
ou ´
egal `
a n i . Ce groupe Hi
´ par les ´elements
´
´
est fini et contient un ´
element
f i Žnon necessairement
unique. d’ordre
´
´
maximal. Reste `
a voir que f i engendre Hi . Soit g g Hi ; il existe n g ⺞ tel
que f in et g soient de meme
ˆ ordre. Par le raisonnement ci-dessus on a
donc f in⬘ s g pour un certain n⬘ g ⺞.
Il est clair enfin que FixŽ f iq1 . ; FixŽ f i ., de plus F i FixŽ f i . est vide, ce
qui donne Ž4. Žvoir w9, pp. 92᎐93x..
´
4. LES AUTOMORPHISMES DE TYPE HENON
´
Etant
donne
´ g g Autw⺓ 2 x de degre´ G 2 nous cherchons maintenant `a
caracteriser
les f qui commutent avec g, ou au contraire les f tels que f
´
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
427
et g ne soient lies
la position relative
´ par aucune relation. Pour preciser
´
Žassociees
de deux geodesiques
´ ´
´ `a des automorphismes. nous utiliserons la
PROPOSITION 4.1. Soient f, g g Autw⺓ 2 x a¨ ec d Ž g . G 2 et d Ž f . s 1. On
suppose Geo
´ Ž g . l Fix Ž f . non borne.
´ Par la proposition 3.3 on peut ´ecrire
␸ f ␸y1 s Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec ␣ , ␤ racines de l’unite´ de meme
ˆ ordre, et alors:
Ž1. Si ␣ / ␤ , ␣ n s ␤ , ␤ n s ␣ et lg Ž g . s 2 mod 4, alors gfgy1 s
␤ x, ␣ y . ␸ s f n Ž et donc f et g 2 commutent .;
Ž2. Dans tous les autres cas f et g commutent.
y1 Ž
␸
En particulier Geo
´ Ž g . ; Fix Ž f ..
Preu¨ e. En conjuguant par ␸ nous pouvons supposer f s Ž ␣ x, ␤ y ., et
donc f Ž0. s 0. Rappelons que FixŽ gfgy1 . s g.FixŽ f ., ainsi:
Geo
´ Ž g . l Fix Ž f . non borne´ « Fix Ž gfgy1 . l Fix Ž f . non borne.
´
On en deduit
par le lemme 3.7 que gfgy1 fixe 0, et donc g fixe 0
´
´egalement.
On peut ainsi ´
ecrire g s m( s, ou
` m s aŽ ␭ m .( eŽ Pn .( ⭈⭈⭈ ( aŽ ␭1 .( eŽ p1 .
et s s Ž a1 x q b1 y, b 2 y . Žplus precisement
on peut supposer m de cette
´ ´
forme quitte `
a conjuguer.. Quitte `
a conjuguer `
a nouveau, les aretes
ˆ mS et
msaŽ ␭ n . S sont dans FixŽ f ., et on a msaŽ ␭ n . S s maŽ ␮ n . S ou
` ␮ n est tel
que aŽ ␮ n .y1 saŽ ␭ n . g S.
Si ␣ s ␤ alors f commute avec s Žimmediat
´ . et avec m Žrem. 3.4., donc
avec g.
Si ␣ / ␤ alors dans l’ecriture
ci-dessus on a ␮ n s ␭ n s 0 Žrem. 3.4.,
´
d’ou
` s s Ž a1 x, b 2 y .. Ainsi f commute encore avec s. De plus, encore par
la remarque 3.4, on a g (Ž ␣ x, ␤ y .( gy1 s Ž ␣ x, ␤ y . Žresp. Ž ␤ x, ␣ y .. quand
lgŽ g . s 0 mod 4 Žresp. 2 mod 4.. Enfin, dans le deuxieme
cas, on verifie
`
´
qu’il existe n tel que ␣ n s ␤ et ␤ n s ␣ .
COROLLAIRE 4.2. Soient f et g deux automorphismes de type Henon.
´
Alors ou bien Geo
´ Ž f . s Geo
´ Ž g ., ou bien Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g . est borne´
Ž´
e¨ entuellement ¨ ide ..
Preu¨ e. Supposons que Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g . soit non borne.
´ Alors quitte
.,
`a prendre des puissances de f et g Žce qui ne change pas les geodesiques
´ ´
on peut supposer que lgŽ f . s lgŽ g ., lgŽ f . s 0 mod 4 et que f et g induisent la meme
ˆ orientation sur Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g .. L’automorphisme fgy1
fixe alors un nombre infini de sommets de Geo
´ Ž g ., donc la proposition 4.1
affirme que g et fgy1 commutent, et on a alors
g Ž fgy1 . fy1 s Ž fgy1 . gfy1 s Id
428
STEPHANE
LAMY
´
FIG. 6. Geo
´ Ž f . / Geo
´ Ž g . et Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g . non borne´ « f ( g / g ( f.
i.e., f et g commutent et en regardant l’action sur l’arbre on voit
facilement que Geo
´ Ž f . s Geo
´ Ž g . ŽFig. 6..
Si on se donne f, g g Autw⺓ 2 x de type Henon
avec Geo
´
´ Ž f . s Geo
´ Ž g .,
on deduit
de
la
proposition
3.3
qu’il
existe
une
relation
entre
f
et
g. En
´
y1 y1 . n
Ž
.
Ž
effet fgfy1 gy1 fixe Geo
g
,
donc
il
existe
n
tel
que
fgf
g
s
Id.
Nous
´
Ž
.
Ž
.
etudions
maintenant
le
cas
Geo
f
/
Geo
g
:
´
´
´
PROPOSITION 4.3. Soient f, g g Autw⺓ 2 x de degre´ G 2, a¨ ec Geo
´ Žf./
Geo
´ Ž g .. On suppose lg Ž f . ) N et lg Ž g . ) N ou` N est le diametre
` de
Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g ..
Alors f et g engendrent un groupe libre, de plus les ´´
elements Ž sauf l’identite´. de
² f, g : sont de degre´ G 2.
Preu¨ e. Il faut verifier
que pour tout h defini
´
´ par
h s f n p ( g m p ( ⭈⭈⭈ f n1 ( g m 1
avec les n i et les m i dans ⺪ _ 04 , on a d Ž h. G 2 Žet donc en particulier
h / Id .. Pour cela, il suffit de verifier
que h ne fixe aucun sommet de T.
´
Soit donc Q un sommet de T. On introduit les notations suivantes: on
pose dist f Ž Q . la distance de Q `
a Geo
´ Ž f . Žmeme
ˆ chose pour g ., et Tf Žresp.
Tg . le sous-arbre de T constitue
des
sommets
P verifiant
dist f Ž P . F
´
´
dist g Ž P . Žresp. dist f Ž P . G dist g Ž P ... Le resultat
s’obtient
alors
par recur´
´
rence sur p, `
a l’aide des deux assertions suivantes. On prend n, m g ⺪ _ 04
et on pose Q⬘ s Ž f n ( g m . Q.
Ž1. Si Q g Tf , alors Q⬘ g Tf et dist f Ž Q⬘. ) dist f Ž Q .. En effet l’hypothese
` lgŽ g . ) N implique g m Ž Q . g Tg avec en plus une inegalite
´
´ stricte:
dist g Ž g m Ž Q . . - dist f Ž g m Ž Q . . .
L’hypothese
` lgŽ f . ) N assure alors Q⬘ s f n ( g m Ž Q . g Tf . De plus on a
dist g Ž g m Ž Q . . s dist g Ž Q . G dist f Ž Q .
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
429
Žl’egalite
´
´ est claire, l’inegalite
´
´ vient de Q g Tf .. Donc
dist f Ž g m Ž Q . . ) dist f Ž Q . « dist f Ž f n ( g m Ž Q . .
) dist f Ž f n Ž Q . . s dist f Ž Q . .
g
mŽ
Ž2. Si Q g Tg et Q⬘ g Tg , alors dist g Ž Q⬘. - dist g Ž Q .. Il est clair que
Q . f Tg Žcar sinon f n ( g m Ž Q . g Tf .; autrement dit
dist g Ž g m Ž Q . . ) dist f Ž g m Ž Q . .
et le resultat
se deduit
grace
´
´
ˆ aux relations
dist g Ž Q . s dist g Ž g m Ž Q . . ;
dist f Ž g m Ž Q . . s dist f Ž f n ( g m Ž Q . . G dist g Ž f n ⭈ g m Ž Q . . .
Remarque 4.4. La preuve ci-dessus est essentiellement un ‘‘ping-pong’’,
Žvoir w6x.. Cependant il
technique classique dans ce genre de probleme
`
nous a semble
interessant
de
payer
le
prix
de quelques calculs
´
´
supplementaires
pour obtenir que tous les ´
elements
de G sont de type
´
´
Henon.
En particulier dans la section 5 nous utiliserons le fait que
´
d Ž fgfy1 gy1 . G 2.
On obtient immediatement
les deux corollaires:
´
COROLLAIRE 4.5. Soient f, g de type Henon.
Si Geo
´
´ Ž f . / Geo
´ Ž g ., alors
² g, f : contient un groupe libre non abelien.
´
Preu¨ e. En notant N le diametre
` de Geo
´ Ž f . l Geo
´ Ž g ., il suffit de
n.
n.
Ž
Ž
prendre n tel que lg f ) N et lg g ) N. On a alors ² f n, g n : s ⺪)⺪.
COROLLAIRE 4.6.
Geo
´ Ž f . s Geo
´ Ž g ..
Soient f, g de type Henon.
Si g ( f s f ( g, alors
´
Nous allons maintenant calculer le centralisateur d’un automorphisme g
de type Henon,
que nous noterons
´
Cent Ž g . s f g Aut w ⺓ 2 x ; f ( g s g ( f 4 .
LEMME 4.7.
Soit g g Autw⺓ 2 x de degre´ G 2. On note
H s f g Cent Ž g . ; d Ž f . s 1 4 .
Alors H est conjugue´ a
` un groupe engendre´ par une rotation Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec ␣ ,
␤ racines de l’unite´ de meme
ˆ ordre.
430
STEPHANE
LAMY
´
Preu¨ e. Remarquons que pour chaque f g H l’arbre FixŽ f . est non
borne
´ car il contient Geo
´ Ž g . Žlemme 3.1.; donc f est d’ordre fini par la
proposition 3.3. De plus l’ordre de f est borne
´ par le degre´ Ždynamique. de
g. En effet f induit une permutation sur l’ensemble des points fixes Ždans
⺓ 2 . de g, qui est de cardinal ´
egal au degre
´ de g en comptant les
multiplicites
de
´ Žvoir w5x.. Soit f 0 g H d’ordre maximal parmi les ´elements
´
H. Nous reprenons maintenant les arguments de la preuve de la proposition 3.12. Si h g H alors l’ordre de f 0 est un multiple de l’ordre de h, de
plus si h1 et h 2 sont deux ´
elements
de H de meme
´
ˆ ordre, alors il existe n
et m g ⺞* tel que h1n s h 2 et h 2m s h1. Finalement H s ² f 0 : ce qui est le
resultat
attendu.
´
PROPOSITION 4.8. Soit g g Autw⺓ 2 x de degre´ G 2. Alors Cent Ž g . est
engendre´ par deux ´´
elements h et f satisfaisant:
Ž1. d Ž h. G 2 et Geo
´ Ž g . s Geo
´ Ž h.;
Ž2. f est conjugue´ a
` une rotation Ž ␣ x, ␤ y . a¨ ec ␣ , ␤ racines de l’unite´
de meme
ˆ ordre;
Ž3. Il existe n tel que f ( h s h( f n.
En particulier Cent Ž g . est isomorphe a
` ⺪ i ⺪rp⺪, ou` p est l’ordre de f.
Preu¨ e. L’automorphisme f est donne
´ par le lemme 4.7, et parmi les
automorphismes de degre
´ G 2 de CentŽ g . Žqui ont tous meme
ˆ geodesique,
´ ´
cor. 4.6. on choisit h qui minimise lgŽ h.. Soit ␸ g CentŽ g . de degre
´ G 2,
alors lgŽ h. divise lgŽ ␸ . Žfaire une division euclidienne., donc il existe
q g ⺪ tel que ␸ ( h q soit de degre
´ 1, i.e., ␸ ( h q g ² f : et donc on a bien
²
:
␸ g h, f .
L’entier n est donne
´ par la proposition 4.1, et est donc ´egal `a 1 ou `a
Ž p q 1.r2.
Remarque 4.9. Ž1. Cette situation contraste avec le cas des automorphismes de degre
´ 1 qui ont tous un centralisateur non denombrable.
´
Ž2. L’entier n de la proposition est la plupart du temps ´
egal `
a 1, i.e.,
le groupe CentŽ g . est souvent isomorphe `
a ⺪ = ⺪rp⺪ Žou meme
ˆ `a ⺪..
Ž3. Attention, la reciproque
du corollaire 4.6 est fausse. Par exemple,
´
si on note g s Ž y, y 2 q x . et f s Ž jx, j 2 y . ou
` j est une racine cubique de
l’unite,
qui ont
´ alors g et g ( f sont deux automorphismes de type Henon
´
meme
mais qui ne commutent pas.
ˆ geodesique
´ ´
Pour finir la preuve du theoreme
2.4 il reste `
a traiter le cas des
´ `
sous-groupes dont tous les ´
elements
de
type
Henon
ont
meme
´
´
ˆ geodesique.
´ ´
Ces sous-groupes sont toujours resolubles
comme
le
montre
la
´
PROPOSITION 4.10. On se donne ⌫ une geodesique
infinie, telle que
´ ´
⌫ s Geo
´ Ž g . pour un certain g g Autw⺓ 2 x. Alors il existe un unique sous-
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
431
groupe G de Autw⺓ 2 x, maximal pour la propriete:
elements de type
´ ´ ‘‘tous les ´´
Henon
de G admettent ⌫ comme geodesique’’.
De plus G est resoluble,
et
´
´ ´
´
contient un sous groupe isomorphe a
` ⺪ d’indice fini.
Preu¨ e. Si G existe il contient deja
´ ` toutes les puissances de g. Montrons d’abord que tout ␾ candidat `
aˆ
etre dans G doit laisser ⌫ globalement invariante. En effet supposons ␾ Ž ⌫ . / ⌫, alors on aurait
d Ž ␾ ( g ( ␾y1 . G 2 avec Geo
´ Ž ␾ ( g ( ␾y1 . s ␾ ⌫ / ⌫, ce qui est contraire `a
la propriete
´ ´ exigee
´ de G.
On est ainsi conduit `
a poser G ´
egal au groupe des automorphismes qui
laissent ⌫ globalement invariante; nous allons montrer que G est resolu´
ble. Pour cela, cherchons des generateurs
pour G. On distingue dans G
´ ´
trois sous-ensembles qui forment une partition:
Ž1. L’ensemble T ⌫ des automorphismes qui agissent sur ⌫ par translation Žnon triviale.;
Ž2. le groupe F⌫ des automorphismes qui fixent ⌫;
Ž3. l’ensemble S ⌫ des automorphismes qui agissent sur ⌫ par symetrie
´
autour d’un sommet.
On remarque que F⌫ est isomorphe `
a ⺪rp⺪, en effet F⌫ ; CentŽ g 2 .
Žprop. 4.1. et on applique le lemme 4.7. Choisissons h g T ⌫ qui minimise
lgŽ h., f g F⌫ qui engendre F⌫ et ␸ g S ⌫ quelconque Ž ␸ s Id si S ⌫ s ⭋..
On a G s ² h, f, ␸ :. En effet si ␾ g T ⌫ , on a lgŽ h. qui divise lgŽ ␾ ., d’où
␾ s h n ( f q. D’autre part si ␾ g S ⌫ , ou bien ␾ et ␸ ont meme
ˆ centre, et
␾ ( ␸ g ² f :, ou bien ␾ et ␸ n’ont pas meme
centre,
et
␾
(
␸ g T ⌫ . Dans
ˆ
les deux cas ␾ g ² h, f, ␸ :.
Montrons maintenant que G est resoluble.
On a:
´
w T ⌫ , F⌫ x ; F⌫ ,
w T⌫ , S⌫ x ; T⌫ ,
w F⌫ , S ⌫ x ; F⌫ ,
y1
ou
l’ensemble des commutateurs de la forme h 0 f 0 hy1
` w T⌫ , F⌫ x designe
´
0 f0
avec h 0 g T ⌫ et f 0 g F⌫ .
Donc G Ž1. s w G, G x ; ²T ⌫ , F⌫ :, et G Ž2. ; F⌫ est abelien.
´
Enfin G quotiente
´ par le groupe fini ² f, ␸ : est isomorphe `a ⺪ Žle
generateur
´ ´
´etant la classe de h dans Gr² f, ␸ :..
Remarque 4.11. Si G est un groupe dont tous les ´
elements
de degre
´
´G2
ont meme
⌫, et s’il existe ␸ g G qui agit par symetrie
sur ⌫,
ˆ geodesique
´ ´
´
montrons alors que tous les ´
elements
de G ont un determinant
jacobien
´
´
de module 1.
432
STEPHANE
LAMY
´
Suivant la preuve de la proposition ci-dessus G s ² h, f, ␸ : avec Geo
´ Ž h.
s ⌫, ⌫ ; FixŽ f .. On remarque que <det D␸ < s 1, en effet ␸ 2 g ² f : et
<det Df < s 1. Mais on peut aussi ´
ecrire G s ² f, ␸ , ␸ ( h:, et ␸ ( h agit par
symetrie
sur ⌫. Ainsi les trois generateurs
ont un determinant
jacobien de
´
´ ´
´
module 1.
Synthese
` de la preu¨ e du theoreme
´ ` 2.4. Les cas Ž1. et Ž2. ont ´ete´ traites
´
dans la section 3. Plus precisement,
le cas Ž2. correspond aux ‘‘groupes de
´ ´
Wright’’ qui sont caracterises
´ ´ par la proposition 3.12.
Le cas Ž3. est donne
´ par la proposition 4.10, on voit que ces sous-groupes
sont non seulement resolubles,
mais en fait d’une forme tres
´
` particuliere.
`
Enfin le cas Ž4. correspond au corollaire 4.5; `
a noter que ce resultat
´
decoule
de la theorie
de Bass-Serre, par contre les ´
enonces
´
´
´ plus precis
´ 4.2
et 4.3 sont particuliers `
a Autw⺓ 2 x.
Au passage nous avons ´
egalement montre
annexes inte´ deux resultats
´
´
ressants:
Ž1. description des f g Autw⺓ 2 x avec FixŽ f . non borne
´ Žprop. 3.3.;
Ž2. description du centralisateur d’un automorphisme de type Henon
´
Žprop. 4.8..
5. FONCTIONS DE GREEN ET DOMAINES DE
FATOU᎐BIEBERBACH
Nous rappelons tout d’abord quelques definitions
et resultats
concer´
´
nant la dynamique des automorphismes de degre
´ G 2, pour plus de details
´
on pourra consulter w1, 2, 10x.
Considerons
f g Autw⺓ 2 x de type Henon;
nous avons vu que f s’ecrit
´
´
´
y1
f s ␸ g␸
ou
` ␸ g Autw⺓ 2 x et g est une composition d’applications de
Henon
generalisees.
´
´ ´ ´ Nous noterons:
2
n
Kq
´ 4;
g s Ž x, y . g ⺓ tel que la suite g Ž x, y . 4 ng ⺞ soit bornee
q
Jq
le bord topologique. .
´
g s ⭸ K g Ž ⭸ denote
2
L’ensemble Jq
est l’ensemble de Julia Žpositif. associe
´ `a g. On
g ;⺓
introduit ´
egalement la fonction de Green associee
a
g:
´ `
Ggq s lim
nªq⬁
1
dŽ g .
n
logq 5 g n 5 .
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
433
L’application Ggq est continue positive plurisousharmonique et satisfait les
proprietes:
´´
䢇
䢇
䢇
q
4
Kq
g s Gg s 0 ;
q
Gg ( g s d Ž g ..Ggq ;
Ggq est pluriharmonique sur ⺓ 2 _ Kq
g .
Le courant de Green associe
´ `a g est le Ž1, 1.-courant positif ferme´ de
potentiel Ggq :
␮q
g s
i
␲
⭸⭸ Ggq s
⭸ 2 Ggq
i
Ý ⭸z
␲
i
⭸z j
dz i n dz j .
Son support est exactement l’ensemble de Julia Jq
g . Remarquons que
q
Ž
.
g*␮q
s
d
g
.
␮
.
g
g
On obtient des notions symetriques
en considerant
les iterations
nega´
´
´
´
y
y
y.
tives Žon definit
ainsi Ky
,
J
,
G
,
␮
.
Il
est
interessant
de
regarder
le
´
´
g
g
g
g
prolongement de g `
a ⺓⺠ 2 ; on voit alors qu’il existe deux points particuliers sur la droite `
a l’infini. On a d’une part le point pys w1 : 0 : 0x qui
est un point d’indetermination,
d’autre part le point pqs w0 : 1 : 0x qui est
´
fixe superattractant de bassin Ggq ) 04 dans ⺓ 2 . On definit
la masse d’un
´
courant T sur ⺓⺠ 2 `
a l’aide de la forme de Kahler
standard ␻ :
¨
5T 5 s
H⺓⺠ T n ␻ .
2
Žou plus exactement son prolongement trivial `
Le courant ␮q
a ⺓⺠ 2 . est
g
de masse 1.
On peut ´
etendre les definitions
et proprietes
´
´ ´ ci-dessus `a f en posant
q
y1
Gq
s k. ␸y1 *Ggq ;
f s k.Gg ( ␸
y1
␮q
*␮q
f s k. ␸
g s k.
i
␲
⭸⭸ Ž ␸y1*Ggq . ,
ou
` k ) 0 est choisi de maniere
` `a avoir 5 ␮qf 5 s 1.
On a le resultat
remarquable suivant Žvoir w10x.:
´
THEOREME
´ ` 5.1 ŽSibony.. Soit T un courant positif ferme´ de type Ž1,1.
q
dans ⺓⺠ 2 de masse 1 et de support contenu dans Kq
g . Alors T s ␮ g .
Nous allons en deduire
le resultat
suivant:
´
´
PROPOSITION 5.2. Soit f de type Henon,
et h g Autw⺓ 2 x. On suppose que
´
q
s Gf . Alors d Ž h. s 1.
Gq
f (h
STEPHANE
LAMY
´
434
Preu¨ e. Supposons d Ž h. G 2. On sait Žvoir w1x. que h admet un point
Žresp. Jy
.
periodique
selle p et que Jq
de la variete
´
´
´ ´ stable
h
h est l’adherence
Žresp. instable . associee
donc de la relation Gq
(
h s Gq
´ `a p. On deduit
´
f
f
q
q
y
que Jh et Jh sont inclus dans un meme
ˆ niveau Gf s c4.
q
Si c s 0 alors le theoreme
´ ` de Sibony implique ␮q
` h*␮qf s
h s ␮ f , d’ou
q
q
q
q
q
d Ž h.. ␮ f . Or l’hypothese
` Gf ( h s Gf implique h*␮ f s ␮ f , d’ou
` une
contradiction.
Si c ) 0 on va encore aboutir `
a une contradiction. Tout d’abord l’ensemble P des points periodiques
selle de h ne contient pas de point isole,
´
´
y
en effet l’adherence
de P est le support de la mesure d’equilibre
␮q
n
␮
´
´
h
h
Žvoir w3x., et le support de cette mesure n’est localement polaire en aucun
point w1x. Maintenant Gq
est pluriharmonique au voisinage de p, donc
f
localement Gq
est
la
partie
reelle
d’une fonction holomorphe ␸ . Quitte `
a
´
f
bouger un peu p on peut supposer que ␸ est une submersion ou la
puissance n i em e d’une submersion au voisinage de p. Ainsi localement
Gq
4
´ ou sur n hyperplans reels
´
f s c est redressable sur un hyperplan reel
concourants, qui ne contiennent en chaque point qu’une seule direction
complexe. En particulier les deux varietes
´ ´ stable et instable associees
´ `a p
4
ne peuvent ˆ
etre contenues dans le niveau Gq
s
c
.
f
Remarque 5.3. Il est peut-etre
bien connu que les niveaux de la
ˆ
fonction de Green sont lisses Žsauf ´
evidemment le niveau 0., ce qui
rendrait immediate
la fin de la preuve ci-dessus. Cependant je ne connais
´
pas de demonstration
simple de ce fait.
´
Nous pouvons maintenant ´
enoncer le principal theoreme
´ ` de cette section: il s’agit d’etablir
une ´
equivalence entre les notions de geodesique
´
´ ´
Žorientee
´ . et de fonction de Green associees
´ `a un automorphisme de type
Henon.
´
THEOREME
5.4. Soient f, g g Autw⺓ 2 x de type Henon.
Les assertions
´ `
´
sui¨ antes sont ´
equi¨ alentes:
Ž1. Geo
orientations;
´ Ž f . s Geo
´ Ž g . a¨ ec les memes
ˆ
Ž2. il existe n, m g ⺞* tels que f n s g m ;
Ž3. Ggq s Gq
f .
Preu¨ e. Supposons Geo
´ Ž g . s Geo
´ Ž f . s ⌫. En reprenant la preuve de
la proposition 4.10 on voit qu’il existe deux automorphismes h et e tels
que:
䢇
h est de type Henon
et Geo
´
´ Ž h. s ⌫;
䢇
e est d’ordre r et fixe ⌫;
䢇
f s h n1 e p 1 , g s h n 2 e p 2 , avec n1 , n 2 , p1 , p 2 g ⺞.
L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
435
Quitte `
a prendre les carres
´ de f et g on peut supposer n1 et n 2 pairs, ainsi
par la proposition 4.1 e commute avec h n1 et h n 2 . En posant n s rn 2 et
m s rn1 on obtient:
f n s g m s h r n1 n 2 .
On a ainsi Ž1. « Ž2.; d’autre part Ž2. « Ž3. est immediat.
Montrons
´
Ž3. « Ž1.. Supposons Gq[ Ggq s Gq
Ž
.
Ž
.
.
Si
Geo
f
/
Geo
g
alors
quitte `
a
´
´
f
prendre des puissances de f et g Žce qui ne change pas Gq. , on peut
supposer que f et g engendrent un groupe libre dont tous les ´
elements
´
Žsauf Id . sont de degre
´ G 2 Žprop. 4.3.. En particulier fgfy1 gy1 est de
degre
´ G 2. Les deux relations
Gq( f s d Ž f . .Gq
Gq( g s d Ž g . .Gq
impliquent Gq( fgfy1 gy1 s Gq. Mais la proposition 5.2 implique alors
d Ž fgfy1 gy1 . s 1, ce qui est contradictoire.
Remarque 5.5. Dans le meme
ˆ ordre d’idee
´ il est possible de montrer
que deux automorphismes de type Henon
ont meme
geodesique
si et
´
ˆ
´ ´
seulement s’ils ont meme
ˆ ensemble de Julia, ou encore si et seulement s’ils
admettent la meme
ˆ mesure invariante; cependant la preuve requiert une
´etude plus poussee
´ des notions de fonction et courant de Green, en
particulier dans le cas ou
de g et gy1 sont
` les points d’indetermination
´
confondus Žvoir w8, th. 2.24x..
Considerons
maintenant g g Autw⺓ 2 x de degre
´
´ G 2; supposons que g
possede
un
point
periodique
contractant
p.
Quitte
`
´
`a prendre une puissance et `
a conjuguer par une translation on se ramene
` `a p s 0 point fixe
contractant. Notons ⌺ le bassin d’attraction de 0: c’est un domaine de
Fatou᎐Bieberbach, i.e., un domaine biholomorphe `
a ⺓ 2 strictement inclu
2
dans ⺓ . Nous nous proposons de calculer le groupe Autw ⌺ x des f g
Autw⺓ 2 x qui laisse ⌺ invariant Ži.e., f Ž ⌺ . s ⌺ .. La proposition suivante
precise
un resultat
de w4x:
´
´
PROPOSITION 5.6. A¨ ec les notations ci-dessus, Autw ⌺ x est constitue´ des
automorphismes qui fixent 0 Ž dans ⺓ 2 . et qui laissent Geo
´ Ž g . globalement
w
x
in¨ ariante. De plus Aut ⌺ ne contient pas d’automorphisme qui agisse par
symetrie
´ sur Geo
´ Ž g .. Finalement Autw ⌺ x est isomorphe a` un produit semi-direct
⺪ i ⺪rn⺪ pour un certain n g ⺞*.
Preu¨ e. Pour montrer que tout ´
element
dans Autw ⌺ x laisse invariante
´
Geo
on a
´ Ž g . il suffit de montrer que pour tout f g Autw ⌺ x de type Henon
´
Geo
´ Ž f . s Geo
´ Ž g . Žvoir preuve de la prop. 4.10.. Pour cela, quitte `a
prendre des puissances de f et g il suffit de montrer que d Ž fgfy1 gy1 . s 1.
STEPHANE
LAMY
´
436
On remarque que fgfy1 admet un point fixe contractant p s f Ž0. de
q
Ž
w x.
bassin ⌺, d’ou
de
` Jq
´ `
g s J f g fy1 s ⭸ ⌺ voir 2 . Alors par le theoreme
q
q
q
y 1 Žen effet ⭸⭸ Ž G
Sibony ␮ g s k. ␮ f g fy1 Žavec k ) 0., d’ou
` Ggq s k.Gq
fgf
g
q
y k.Gf g fy1 . s 0, on a ainsi une application pluriharmonique nulle sur ⌺,
donc nulle partout.. Finalement on obtient la relation Ggq ( fgfy1 gy1 s Ggq ,
d’ou
` dŽ fgfy1 gy1 . s 1 par la proposition 5.2.
Remarquons que f ne peut pas agir par symetrie
sur Geo
´
´ Ž g .; sinon,
d’apres
jacobien de module 1 ce
` la remarque 4.11 g aurait un determinant
´
qui interdirait l’existence d’un point fixe contractant.
Montrons maintenant que tout f g Autw ⌺ x fixe 0. On vient de voir que f
laisse invariante Geo
´ Ž g ., ce qui implique que f commute avec g m pour un
certain m Žsi dŽ f . s 1 alors m s 2 convient par la proposition 4.1; et si
dŽ f . G 2 on a vu que f n s g m pour certain n et m.. Considerons
w g ⌺,
´
on a donc f Ž w . g ⌺. On a
lim g k Ž f Ž w . . s 0 « lim g k m Ž f Ž w . . s 0
kªq⬁
kªq⬁
« lim f Ž g k m Ž w . . s 0
kªq⬁
« f Ž 0 . s 0.
Reciproquement
supposons que f Ž0. s 0, et que f laisse Geo
´
´ Ž g . globalement invariante. Il existe m g ⺞ tel que f commute avec g m , donc f
laisse invariant Kq
g , en particulier f agit sur les composantes connexes de
Ž .
l’interieur
de Kq
que la composante
´
´
g . Comme f 0 s 0, on en deduit
q
connexe de K g contenant 0 est fixee
´ par f, autrement dit ⌺ est fixe´ par f.
Le groupe des automorphismes qui fixent globalement Geo
´ Ž g . et qui
Ž
.
preservent
l’orientation de Geo
´
´ g est isomorphe `a ⺪ i ⺪rp⺪ pour un
certain p g ⺞* Žvoir preuve de la prop. 4.10.. Le groupe Autw ⌺ x ´
etant un
sous-groupe de ce groupe est donc bien un produit semi-direct ⺪ i ⺪rn⺪
Žen fait il est facile de voir que n s 1 ou p ..
REMERCIEMENTS
Au cours de la redaction
de cet article de nombreuses discussions m’ont ´
ete
´
´ profitables. Je
remercie en particulier M. Nicolau, W. Dicks, N. Sibony et surtout D. Cerveau qui m’a
propose
de
´ les problemes
`
´etudies
´ dans la section 5. Quant `a l’idee
´ d’utiliser la theorie
´
Bass-Serre pour ´
etudier les sous-groupes de Autw⺓ 2 x, elle a ´
ete
´ suggeree
´ ´ par E. Ghys.
´ ´
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L’ALTERNATIVE DE TITS POUR Autw⺓
2x
437
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