Licence de Mathématiques Université Joseph Fourier Topologie A
Transcription
Licence de Mathématiques Université Joseph Fourier Topologie A
Licence de Mathématiques Topologie A Université Joseph Fourier 2013-2014 Feuille d’exercices n◦ 3 Quelques exemples de distances Exercice 1 1. Montrer que d(x, y) = | arctan x − arctan y| définit une distance sur R. 2. R, muni de la distance ci-dessus, est-il complet ? 3. Si ϕ est une fonction de R dans R, à quelle(s) condition(s) la formule d(x, y) = |ϕ(x) − ϕ(y)| définit-elle une distance sur R ? Exercice 2 Soit (X, d) un espace métrique, et soit ϕ une application de [0, +∞[ dans [0, +∞[, telle que : (a) ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0, (b) ϕ est croissante, (c) ∀u, v ≥ 0, ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v) (on dit que ϕ est sous − additive). 1. Vérifier que l’application ϕ(d) := ϕ ◦ d est une distance sur E. 2. Montrer que toute fonction concave non-nulle ϕ : [0, +∞[→ [0, +∞[ telle que ϕ(0) = 0 vérifie les conditions (a)-(c). En déduire que d/(1 + d), min(1, d), log(1 + d), et dα (0 < α < 1) sont des distances sur E. 3. Si d est une distance, on note pour x ∈ E et r > 0, Bd (x, r) la boule ouverte de centre x et de rayon r, c’est é dire {y ∈ E/d(x, y) < r}. On suppose que ϕ est continue en 0. Montrer que pour tout x ∈ E et r > 0, Bϕ(d) (x, ϕ(r)) ⊂ Bd (x, r). Montrer que pour tout x ∈ E et r > 0, il existe r0 > 0 tel que Bd (x, r0 ) ⊂ Bϕ(d) (x, r). Que se passe t-il si ϕ n’est pas continue en 0 ? Exercice 3 (Espace de suites) Soit X l’ensemble des suites réelles x = (xn )n∈N . Montrer que 1 d(x, y) = Σn≥0 n min(|yn − xn |, 1) définit une distance sur X. 2 Soit l’application σ((xn )n∈N ) = (yn )n∈N avec yn = xn+1 pour tout n. Est ce que σ est continue ? Uniformément continue ? Exercice 4 Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans R. On définit pour f ∈ E, Z 1 kf k∞ = sup {|f (x)|; x ∈ [0, 1]} , kf k1 = |f (t)|dt. 0 Vérifier que k.k∞ et k.k1 sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f ∈ E, kf k1 ≤ kf k∞ . Ces deux normes sont-elles équivalentes ? p Exercice 5 Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ R2 , N (x, y) = a2 x2 + b2 y 2 . 1. Prouver que N est une norme. 2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1. 3. Déterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ pk.k2 et le plus grand nombre q tel que qk.k2 ≤ N . 1 |x+ty| . Exercice 6 Soit N l’application de R2 dans R définie par : (x, y) 7→ supt∈R √ 1+t2 2 1. Montrer que N est une norme sur R . 2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≤ N2 (x, y) où N2 est la norme euclidienne 2 sur R . 3. Montrer que les deux normes N et N2 sont équivalentes. Exercice 7 Soit E = C([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose Ng (f ) = kgf k∞ . 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que Ng soit une norme sur E. 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que Ng soit équivalente à la norme infinie sur E. Exercice 8 (Distance SNCF) Si x et y sont deux vecteurs du plan R2 muni de la norme euclidienne k·k, on définit d(x, y) = kx − yk si x et y sont colinéaires et d(x, y) = kxk + kyk s’ils ne le sont pas. 1. Montrer que d est une distance (appelée distance SNCF, pourquoi ?). 2. Décrire géométriquement la boule B(x, r) = {y ∈ R2 | d(x, y) < r} pour x ∈ R2 et r ∈ R?+ quelconques fixés. 3. Existe-t-il une norme N sur l’espace vectoriel R2 telle que d soit la distance associée à N ? Exercice 9 (Distances sur l’espace des polynômes) Si P et Q sont des polynômes à coefficients réels, on définit d0 (P, Q) = Supx∈[0,1/2] |P (x) − Q(x)|, Z 1 d1 (P, Q) = |P (x) − Q(x)|dx, 0 deg(P − Q) + 1 si P 6= Q, d2 (P, Q) = 0 sinon. 1. 2. Montrer que ce sont des distances sur l’espace R[X]. Quel est le comportement de la suite (X n )n∈N pour chacune de ces distances ? Exercice 10 Soit (E, d) un espace métrique. La formule d(A, B) = inf{d(a, b)/(a, b) ∈ A × B} définit-elle une distance sur l’ensemble des parties non vides de E ? Exercice 11 Soit E un ensemble fini. Lorsque A et B sont deux parties de E, on note A∆B leur différence symétrique ( défini par A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)), et on pose d(A, B) = card(A∆B). Montrer que d est une distance sur l’ensemble des parties de E. Distances provenant d’une norme ou d’un produit scalaire Exercice 12 Soit E un espace vectoriel réel, et d une distance sur E. Montrer que d provient d’une norme sur E si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées : 1. invariance par translation : pour tous x, y, z ∈ E, d(x + z, y + z) = d(x, y) ; 2. action des dilatations : pour tous x, y ∈ E et λ ∈ R, d(λx, λy) = |λ|d(x, y). 2 Exercice 13 Si k · k est une norme sur Rn , on définit, pour toute matrice réelle n × n A, |||A||| = Supx6=0 kAxk . kxk Montrer que ||| · ||| est une norme sur l’espace des matrices réelles n × n, qui vérifie de plus, pour toutes telles matrices A et B : |||AB||| ≤ |||A||| |||B|||. Exercice 14 (Inégalité de Hölder) On fixe dans ce qui suit un réel p > 1, et on note p0 l’unique réel tel que 1/p + 1/p0 = 1 (on a aussi p0 > 1). 1. En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, montrer que pour tous a, b ≥ 0, on a 0 ab ≤ ap /p + bp /p0 2. Inégalité de Hölder. Lorsque x, y ∈ Rn , montrer que n !1/p n !1/p0 n X X X 0 xk yk ≤ |xk |p |yk |p , k=1 k=1 k=1 avec égalité seulement si x et y sont colinéaires (on pourra utiliser la question précédente avec 1 P P 0 1 a = |xk |/( nk=1 |xk |p ) p , b = |yk |/( nk=1 |yk |p ) p0 ). 3. En déduire l’inégalité de Minkowski : pour tous x, y ∈ Rn , n X !1/p |xk + yk |p n X ≤ !1/p |xk |p + !1/p |yk |p . k=1 k=1 k=1 n X P En déduire que l’application x 7→ ( nk=1 |xk |p )1/p est une norme sur Rn . 4. Procéder de même en remplaçant Rn par l’espace des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs réelles (et les sommes, par des intégrales). Exercice 15 (Comparaison de normes sur R2 ) Pour x = (x1 , x2 ) ∈ R2 et p > 0, on pose : 1 Np (x) = (|x1 |p + |x2 |p ) p et N∞ (x) = max(|x1 |, |x2 |) On a démontré que pour tout p ≥ 1, Np est une norme sur R2 . Démontrer que N∞ est une norme sur R2 . Montrer que si p < 1, Np n’est pas une norme sur R2 . 2. Montrer que pour tout vecteur x ∈ R2 , l’application p 7→ Np (x) est décroissante et Np (x) → N∞ (x) quand p → +∞. 1. 3. 1 Pour 0 < p < q < +∞, montrer que Nq ≤ Np ≤ 2 p − 1q Nq Exercice 16 (Distance ultramétrique) Soit E un ensemble et d : E × E −→ R+ telle que i) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x) ii) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y iii) ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z, y)) 1. Montrer que d est une distance et que si d(x, z) 6= d(z, y), iii) est une égalité. (Dans E tous “les triangles sont isocèles”). 2. Montrer que si r > 0 et x ∈ E, pour tout y ∈ B(x, r), B(y, r) = B(x, r). 3 3. Montrer qu’une suite (xn )n≥0 de points de E est de Cauchy si et seulement si la suite (d(xn , xn+1 ))n≥0 tend vers 0. 4. Soit p un nombre premier. Pour tout entier strictement positif, on définit vp (n) comme étant l’exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers. Si x ∈ Z \ {0}, x = ±r avec r entier strictement positif, on pose vp (x) = vp (r). −v (x−y) p p si x 6= y Si x, y ∈ Z, on pose dp (x, y) = 0 si x = y a) Montrer que dp est une distance ultramétrique sur Z. b) Soit n ∈ N et x ∈ Z, déterminer les éléments de la boule ouverte B(x, p−n ) et de la boule fermée B̃(x, p−n ). c) Montrer que la suite de terme général un = 6n converge vers 0 dans (Z, d2 ) mais diverge dans (Z, d5 ). 4