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Differentiation Formula
(chain rule form)
d
 ku  ku'
k = constant
dx
d
kf (u)  kf '(u)
dx
d
 f (u)  g(u)  f '(u)  g'(u)
dx
Integration Formula for f (u)
u = g(x)
 du  u  C
 kf (u) du  k  f (u) du  C
  f (u)  g(u) du   f (u) du   g(u) du
d
 u  v   u  v ' v  u'
dx
d  u  v  u'  u  v '

dx  v 
v2
 u dv  u  v   v du
d n
u   nu n 1u'

dx
 u n du 
d
 sin u  u'cos u
dx
d
cos u  u'sin u
dx
d
 tan u  u'sec 2 u
dx
d
 sec u  u'sec u tan u
dx
d
 cot u  u'csc 2 u
dx
d
 csc u  u'csc u cot u
dx
 cos u du  sin u  C
u n 1
C
n 1
(integration by parts)
n  1
 sin u du   cos u  C
 sec
2
u du  tan u  C
 sec u tan u du  sec u  C
 csc
2
u du   cot u  C
 csc u cot u du   csc u  C
 tan u du  ln sec u  C   ln cos u  C
 cot u du   ln csc u  C  ln sin u  C
 sec u du  ln sec u  tan u  C   ln sec u  tan u  C
 csc u du   ln csc u  cot u  C  ln csc u  cot u  C
Second Fundamental Theorem of Calculus:
u

d 
  f (t ) dt   u ' f (u )  v' f (v)
dx  v

where u  g (x) and v  h(x)
(First) Fundamental Theorem of Calculus:
b
 f ( x) dx  F (b)  F (a)
a
 
d u
a  u'a u ln a
dx
d u
e  u'e u
dx
u'
d
ln u 

u
dx
au
C
ln a
u
u
 e du  e  C
u
 a du 
 
1
 u du  ln u  C
 ln u du  u ln u  u  C
d
u'
arcsin u 

dx
1  u2
 d

   arccos u
 dx

d
u'
arctan u 

dx
1  u2
 d

   arccot u
 dx

d
u'
arcsec u 

dx
u u2  1
 d

   arccsc u
 dx

 arcsin u du  u arcsin u 
1  u2  C

du
a 2  u2

1
du
a
2
 arcsin
u
C
a
 u
1  
 a
1
du
du
1
1
u
a
 a 2  u 2  a   u  2  a arctan a  C
1  
 a
1
du
du
1
1
a
 arcsec
 u u2  a 2  a 
2
a
 u  u
1

   
 a  a
1
du
du
1
1
u
a

 a 2  u 2 a   u  2  a arctan a  C
1  
 a
1
du
du
1
1
a
 arcsec
 u u2  a 2  a 
2
a
 u  u
    1
 a  a
 arccos u du  u arccos u 
1  u2  C
 arctan u du  u arctan u  ln
u2  1  C
 arc cot du  u arccot u  ln
u2  1  C
 arcsec du  u arcsec u  ln
u  u2  1  C
 arccsc u du  u arccsc u  ln
u  u2  1  C
u
a
u
a
C
C

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