INCERTITUDE SUR LA PENTE D`UNE DROITE

INCERTITUDE SUR LA PENTE D’UNE DROITE
Lorsqu’une valeur expérimentale doit être déterminée à partir de la valeur de la
pente d’une droite sur un graphique, l’incertitude sur cette valeur est liée à
l’incertitude sur la pente elle-même. La position des points sur le graphique ayant
une incertitude, la pente de la droite de tendance présentera elle aussi un domaine
d’incertitude. Analysons cette incertitude à l’aide d’un exemple
#
1
2
3
4
5
Soit une série de données quelconque, composée de coordonnées x et y,
permettant de tracer un graphique comportant une droite de tendance.
Il est possible de faire apparaître sur le graphique résultant les domaines
d’incertitude de chaque point. On peut alors parler pour chaque point d’un
« rectangle d’incertitude », dont la hauteur et la largeur sont indiquées par les
barres d’incertitude. Par un clique-droit sur l’un des points d’une série, choisissez
« Format de la série de données… » et allez dans les onglets « Barre d’erreur… ».
(Remarque : la droite de tendance devrait généralement toucher au rectangle
d’incertitude de tous les points, sans quoi un point peut être considéré comme
erratique et il serait alors pertinent de confirmer les mesures de ce point si
possible. Sur le graphique ci-contre, l’un des points est sans doute problématique.)
1ère étape
x
± 0,5
1,0
3,0
5,0
7,0
9,0
y
±1
2
4
10
10
12
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
Étant donné que les premier et dernier points qu’on doit utiliser pourraient ne pas
coïncider avec la droite, la première étape consiste à transposer ces points
verticalement vers la droite principale. On veut donc déterminer les coordonnées
des points appartenant à la droite et se trouvant, en x, vis-à-vis le premier et le
dernier point de la série de données utilisée (mêmes positions en x, transposées
verticalement sur la droite de tendance). (Voir nouveaux points sur le graphique
ci-contre.)
Utilisez l’équation de la meilleure droite (la droite de tendance), et insérez tour à
tour les coordonnées en x du premier et du dernier point. (Les points y1 et y5 sont
calculés ici pour l’exemple présent, et illustrés par des points gris sur le graphique
ci-contre. Notez le décalage vertical entre les points réels et la droite de tendance.)
0,0
0,0
x
1,0
9,0
4,0
6,0
8,0
10,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
y
=
3
1,
x
+
1
1,
4,0
2,0
0,0
0,0
#
1
5
2,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
y
y1 = 1,3 × 1,0 + 1,1 = 2,4
y5 = 1,3 × 9,0 + 1,1 = 12,8
2e étape
Recréer autour des nouveaux points les rectangles d’incertitude correspondant aux
premier et dernier points. Seuls les coins supérieurs gauches et inférieurs droits de
ces deux rectangles seront utilisés (pour une droite de pente positive).
14,0
12,0
Pente min. ▲
x
x1 - ∆x = 0,5
x5 + ∆x = 9,5
y
y1 + ∆y = 3,4
y5 - ∆y = 11,8
Pente max. ■
x
x1 + ∆x = 1,5
x5 - ∆x = 8,5
10,0
y
y1 - ∆y = 1,4
y5 + ∆y = 13,8
8,0
6,0
4,0
3e étape
2,0
Ajouter au graphique les deux séries de données qui permettront de relier par une
droite le coin supérieur gauche d’un rectangle au coin inférieur droit de l’autre.
(Ces paires de points sont représentées sur le graphique par les marques ▲ et ■.)
1
0,0
0,0
0,5
9,5
3,4
11,8
1,5
8,5
1,4
13,8
-1
,2
57
14,0
1,
77
1x
12,0
=
10,0
y
Pour ajouter ces paires de points, vous pouvez créer des mini tableaux de 2×2
dans votre feuille de calcul (à l’écart du tableau principal) et y insérer les
coordonnées x et y des points qui serviront à tracer les pentes minimale et
maximale. Ci-bas, ces tableaux sont préparés pour l’exemple en cours :
8,0
6,0
y=
4,0
x
33
0,9
3
,93
+2
2,0
0,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
Pour ajouter une série de données à un graphique déjà existant, faites un cliquedroit dans un secteur vierge du graphique et sélectionnez « Données source… ».
Dans la fenêtre de dialogue apparue, allez dans l’onglet « Série » et sous la liste
des séries de points, cliquez sur « Ajouter », puis désignez les coordonnées x et y
à utiliser.
Voir image 4e étape
Faire afficher les droites de tendance de ces deux paires de points, et demander
l’affichage de leurs équations. Les valeurs de pente de ces deux nouvelles droites
(en pointillé sur l’exemple) sont les valeurs extrêmes de la pente (amax et amin) qui
serviront à calculer l’incertitude.
5e étape
Calculer l’incertitude sur la pente à partir des pentes extrêmes, ainsi que la valeur
centrale :
∆a =
a max − a min
1,771 − 0,933
∆a =
= 0,419 → 0,5
2
2
La valeur centrale, calculée par la moyenne des extrêmes, diffèrera de la pente
déjà obtenue pour la meilleure droite. Elle est d’ailleurs plus pertinente, pour que
la valeur donnée soit bien au centre des valeurs min et max :
a
+ a min
a = max
2
a=
1,771 + 0,933
= 1,352 → 1,4
2
14,0
ymax = 1,77x - 1,26
12,0
y = 1,3x + 1,1
10,0
8,0
ymin = 0,93x + 2,93
6,0
6e étape
4,0
2,0
La valeur finale de la pente est donc a ± ∆a :
0,0
0,0
Pente : 1,4 ± 0,5
Présentation du graphique
Les opérations menant à la détermination de l’incertitude sur la pente n’ont pas à
être présentées dans les rapports et sur le graphique. Le graphique final peut ne
montrer, en plus des éléments usuels et de l’incertitude de chaque point, que les
pentes minimale et maximale (avec équations), ainsi que les rectangles
d’incertitude ayant servi à tracer ces droites (voir graphique ci-contre pour une
présentation modèle).
Cas particulier où une droite passe théoriquement par (0, 0)
Dans l’éventualité où la fonction représentée passe théoriquement par l’origine,
les pentes minimale et maximale doivent également passer par l’origine. Dans ce
cas, le traitement est simplifié et seul le point le plus éloigné de l’origine doit être
utilisé pour déterminer les droites extrêmes (toujours en transposant verticalement
le point sur la droite).
2
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0