agrandissement et reduction

3ème
2010-2011
Chapitre 4 : « Théorème de Thalès ; agrandissement et
réduction »
I Théorème de Thalès (version 4ème)
1/ Activité
Objectif
On cherche à généraliser la propriété réciproque vue dans le chapitre 2 : « Si une droite passe
par le milieu d'un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu
du troisième côté ».
Que se passe-t-il lorsqu'on a la seule condition suivante « j'ai une droite parallèle à un
côté » ?
Cas particulier
Construis un triangle ABC tel que AC=6 cm ; AB=4 cm et BC=7 cm . M est un point
de [ AC ] tel que AM =1,5 cm . Trace la parallèle à BC  passant par M . Elle coupe
[ AB ] en N .
On remarque que M est situé au
quart de [ AC ] car 1,5=6÷4 .
Est-ce que, par hasard, N est
aussi au quart de [ AB ] . Il semble
que c'est le cas. Si on mesure à la
règle, AN ≈1 cm qui est le quart
de AB=4 cm .
On conclut dans ce cas que AN = AM (égaux à 1 ).
AB AC
4
Mais ce n'est pas fini. On remarque aussi que NM est environ égal au quart de BC .
Donc, il semble que AN = AM = NM .
AB AC BC
On généralise cette idée avec le théorème de Thalès...
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2/ Énoncé et configuration
Configuration de Thalès (simplifiée pour la 4ème)
(MN)//(BC)
(MN)//(BC)
Théorème de Thalès (simplifié pour la 4ème)
Si [ AM  et [ AN  sont deux droites de même origine et si MN  et  BC  sont deux
AB
AC BC
droites parallèles alors AM = AN = MN ou
.
=
=
AM
AN MN
AB
AC BC
Point méthode
• La configuration de Thalès c'est le type de figure dans lequel on peut appliquer le
théorème de Thalès : « deux demi-droites de même origine et deux parallèles » ou
bien « un triangle et une droite parallèle à un côté ».
• AM , AN et MN sont appelés les quotients de Thalès (parfois on dit
AN
AC
BC
« rapports »).
• Ci-contre, on peut voir le petit triangle
AMN et un grand triangle ABC . Pour
retrouver les quotients, on fait « petit côté
sur grand côté » ou inversement.
• Dans AM = AN = MN , les lettres du dernier numérateur se retrouvent dans les
AN AC BC
deux premiers numérateurs. C'est la même chose pour les dénominateurs.
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3/ Exemple d'application
Comment calculer la longueur MS en utilisant le théorème de Thalès ?
K
cm
3,6
J
m
1,2 c
S
?
2, 4 cm
(JM)//(NK)
M
N
• On est bien dans une configuration de Thalès : [ SK  et [ SN  sont deux demidroites de même origine, MJ  et  NK  sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a les quotients suivants :
SJ SM JM
=
=
SK SN NK
• On remplace par les valeurs. Puisqu'on ne connaît pas JM et NK , on conserve que
les deux premiers quotients :
1,2 SM
=
3,6 2,4
1,2×2,4=3,6×SM (produit en croix)
2,88=3,6×SM (dans 2,88 , combien de fois 3,6 ?)
SM =2,88÷3,6
SM =0,8 cm
4/ Méthodes de calcul sur les quotients
Produits en croix
a , b , c et d sont quatre nombres non nuls.
a c est équivalent à
=
a ×d =b×c .
b d
Exemples d'utilisation
Résoudre les équations suivantes
3 5
9 x
=
=
x 7
5 15
3×7=5× x
9×15=5× x
135=5 x
21=5 x
135
21
x=
x=
5
5
x=27
3 9
=
11 x
3 x=11×9
3 x=99
99
x=
3
x=33
x
9
=
11 22
x×22=11×9
22 x=99
99
x=
22
9
x=
2
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5/ Étapes pour utiliser le théorème de Thalès
• On décrit la configuration : « Deux parallèles sur deux demi-droites de même
origine » et on dit qu'on utilise le théorème de Thalès.
• On donne les trois quotients de Thalès.
• On remplace par les valeurs dans deux quotients.
• On calcule grâce au produit en croix.
• On donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un nombre
décimale.
II Agrandissement et réduction
Exemple 1
On considère un triangle IJK tel que IJ =7,3 cm , 
KIJ =30° et 
KJI =55° .
• Construire le triangle IJK .
• Calcule la mesure de l'angle 
IKJ .
• Construire un triangle I ' J ' K ' « une fois et demie plus grand » que IJK .
• Construction
• Dans un triangle, la somme des mesures des
angles est égale à 180 °. Donc :

IKJ =180 – 3055=95°
• Puisque IJ =7,3 cm
I ' J ' = IJ ×1,5=7,3×1,5=10,95 cm . On se doute que les angles sont de même
mesure. D'où la construction
suivante :
• Mesurons les autres
longueurs et comparons-les :
IK =6 cm et I ' K '=9 cm :
on remarque que 6×1,5=9
KJ ≈ 3,7 cm et
K ' J '≈5,5 cm : remarque
que 3,7×1,5≈5,5
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A retenir
Pour agrandir la figure IJK , on a multiplié les longueurs par 1,5 . Ce nombre s'appelle le
coefficient d'agrandissement. Il est forcément plus grand que 1 .
Exemple 2
Le triangle EFG est une réduction du triangle ABC, complète les mesures de longueurs et
d'angles manquantes.
B
E
7,2
A
1,6
40°
6
G
C
75°
4
F
• C'est une réduction donc le coefficient de réduction k est compris entre 0 et 1
petite longueur GF 4 2
k=
=
= =
grande longueur AC 6 3
2
On a bien 0 1 !
3
2
• Donc GE=k × AB= ×7,2=4,8 cm .
3
• Si on cherche une longueur sur la figure « de départ », on divise par le coefficient k :
2
BC = EF ÷ k =1,6÷
=2,4 cm
3

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A retenir
Lors d'une réduction, le coefficient de réduction doit être compris entre 0 et 1 . Pour le trou­
ver, on fait le quotient d'une « petite longueur » par une « grande longueur ».
Quelques remarques importantes
• De manière générale, le coefficient k multiplie ! (Sauf exception)
• Lorsque 0k 1 , il faut bien multiplier pour réduire. Par exemple :
- si k =0,3 : 10 cm×0,3=3 cm
- si k =0,5 : 2 cm×0,5=1 cm
Exemple 3
B
A
?
60°
A'
C
50°
B'
C'
On considère que A' B' C ' est une réduction de ABC . Calcule les mesures d'angle man­
quantes.
ABC =
A' B ' C ' =50 ° .
• On a 
• 
CAB=180 – 6050=180 – 70=110 °
A retenir
Dans une réduction ou un agrandissement, les mesures d'angle sont conservées.
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