Réflexions sur l`optique géométrique matricielle

BULLETIN
Réflexions
DE
L’UNION
DES
sur l’optique
matricielle
PHYSICIENS
819
géométrique
L’utilisation
du calcul matriciel
en optique géométrique
tend
à se généraliser
dans l’enseignement
français, notamment
depuis
qu’il a été recommandé
dans les programmes
d’optique
de « Mathématiques
supérieures
». Cependant,
on reproche très souvent à
la présentation
matricielle
de n’être qu’un ornement
mathématique superflu
qui éloigne
de la réalité
physique.
Ainsi, cette
présentation
est parfois volontairement
ignorée ou même interdite d’emploi
(voir les programmes
de Physique
en Mathématiques supérieures
technologiques
T). Ce reproche
est-il fondé ?
Il me paraît justifié
après la lecture de certains
ouvrages
dans lesquels l’optique
matricielle
est présentée
au début, puis
soigneusement
abandonnée
au profit de la méthode traditionnelle:
dans d’autres
ouvrages,
l’optique
matricielle
est abordée
une
fois le programme
d’optique
achevé (!)
Personnellement,
je pense que la présentation
matricielle
de
l’optique
géométrique
est beaucoup
plus riche que la présentation traditionnelle
et cela pour plusieurs
raisons.
1) Elle permet d’insister
sur l’approximation
linéaire, fondamentale
non seulement en optique géométrique
mais dans toute
la physique. La première
partie du développement
qui suit cette
introduction
rappellera
ce point important.
2) L’accès aux éléments de matrice d’un système optique
centré quelconque
par des méthodes
expérimentales
permet de
déterminer
directement
tous les éléments
cardinaux
de ce
système.
3) En optique électronique
et plus généralement
dans la
construction
des accélérateurs,
il est d’un emploi banal et indispensable.
Même les propriétés
dispersives- (1) de ces systèmes
ainsi que leurs aberrations
géométriques
(2) sont traitées à l’aide
du calcul matriciel.
Nous donnons
comme exemple un prisme
magnétique
analogue
à celui que nous avons adapté sur le microscope électronique
de 1 MV de Toulouse.
4) Dans l’étude des lasers, le calcul matriciel
est très commode puisqu’il
permet de connaître
les propriétés
des cavités à
la suite d’un grand nombre
d’aller et retour de la lumière.
On
820
BULLETIN
pourra
l’article
DE L'UNION
DES PHYSICIENS
se reporter
à l’ouvrage
de GERRARD et BURCH (3) ou à
de PALLET (4) pour une justification
de cet intérêt.
Enfin, ajoutons
à toutes ces raisons l’attrait
que peut produire cette présentation
de l’optique
géométrique
car il faut bien
dire que cette vieille discipline
passionne
peu les étudiants.
On
se ralliera
aisément
à ce dernier
point lorsqu’on
aura constaté
que, du fait de l’enseignement
des mathématiques,
les étudiants
manipulent
aujourd’hui
beaucoup mieux les matrices à 4 éléments
que les triangles
semblables.
1. L’APPROXIMATION
LINEAIRE.
D’abord, elle est à la base de toute décomposition
de signaux
complexes
en signaux
simples ; ce que l’on écrit schématiquement, Ei représentant
le signal d’entrée i et Si le signal de sortie correspondant
:
vz Ei + Si
et
C Ui Ei + Zi ai Si.
i
Les différents
ai étant
Ensuite, elle permet
mules de transformations
des constantes
i
(fig. 1).
une simplification
qui font passer
importante
de Ei à Si.
des for-
Enfin, et c’est primordial,
comme la plupart
des systèmes
ont la symétrie
de révolution,
elle permet de réaliser le stigmatisme tridimensionnel.
En effet, les relations
de ABBE et de
HERSCHELL
qui s’écrivent
avec les notations
de la fig. 2,
no &B,
S~II
a0 = ni AiBi
sin ai
soit
sin Ui
= Cte
Silla,
et :
soit
sin2 (42)
...
sin2 (lUi/Z)
= Cte
:
BULLETIN
sont généralement
DE
L’UNION
DES
821
PHYSICIENS
incompatibles.
En effet, on obtient
la relation
COS .( Cri/2)
= Cte = 1 dont les
COS @LJm
solutions
CXi = a, et Yxi = a0 = 0 présentent
peu d’intérêt.
On voit que l’approximation
linéaire, définie par ai < 1 et a, < 1,
réalise, elle, au moins approximativement,
la compatibilité
de ces
deux relations.
“0
ni
/
Fig. 2
Le dioptre
sphérique.
11 est l’élément
fondamental.
de tous les systèmes centrés.
Etablissons
les conditions,
dites de Gauss, dans lesquelles
il se
comporte
comme un système linéaire.
Explicitant
avec les notations
la relation
vectorielle
de la fig. 3, il vient
z
Fig. 3
de Descartes
:
:
822
BULLETIN
DE
L’UNION
DES
PHYSICIENS
X
nlal-nza2
=
-h.
-
R
n,f4-n2/32
= -a
-
Y
R
d’où
l’on tire :
y1 = (1 -
a12 -
Ces relations
et
fir2)m
y2 = (1 - a** - fi22)1/2.
ne sont pas linéaires
x
puisque
Y
al--PI-+y~
R
x2
112
>1
...
Rr
(
X
Y2
+
1--
R
:
+
y2
connaissant
si l’on
veut
~7, il est nécessaire
1) calcul
de
2) calcul
de h =
3) calculs
de ~22a2 =
4) calcul
de y2,
i2
nl
R2
déterminer
de façon
de procéder
COS il
comme
-
Arc sin
=
-
>1
1--
R
Par conséquent,
112
x2 + y2
Y
a2r-62-
précise
suit
:
nl
+
z
,
n2 COS i2,
an
nl
a1
+
et de
R
AY
n2 f12 =
fi1
-,
R
c’est ainsi que l’on procède avec un calculateur
rapide.
Les relations
précédentes
deviennent
linéaires
si ar et f32 sont
faibles devant 1 rd et si n et y sont faibles devant R.
Alors :
n2 nl
n2a2
=
nlal-
X
R
n2
n2 &
soit,
en introduisant
s
=
a2
+
=
nl
PI -
2
=
nl
R
complexes,
les nombres
i P2,
-
a1
+
ih,
n2 -
Y
x-
=
x
+
iy
:
nl
z*
R
Comme, entre les plans S- ny et S, xy, 5 n’a pas varié,
on peut caractériser
le dioptre sphérique
par la matrice de réfraction T,(S_,.)
telle que :
n2 -a2
=
nlal -
-
BULLETIN
DE
L’UNION
DES
823
PHYSICIENS
5
= T,(S_S+)
I na I -
avec :
0
1
T,(S_+)
=
n2
-
-
nl
1
R
Notons que det T,(S_+)
l’angle optique
na.
Le
milieu
=
1 du fait
de l’introduction
de
homogène.
Dans les conditions
un système linéaire.
A l’aide
de Gauss,
il se comporte
de la fig. 4, on voit que, suivant
X,
et :
=
Xe
(n 4,
De même
suivant
+
aussi
x, on peut
comme
écrire
:
aA,As
= (na),.
y.
A,
A,
Fig. 4
D’où matriciellement,
en introduisant
l-
Th(ms)
=
0
Remarquons
II. SYSTEMES
Matrice
que det Th (&AS)
la matrice,
Th (A,$)
:
A, As
n
1
est aussi égal à 1.
CENTRES.
de
transfert.
Un système centré étant une succession
de dioptres
séparés
par des milieux
homogènes,
on montre aisément
qu’il peut être
caractérisé,
dans l’approximation
de Gauss, par une matrice
à
quatre éléments :
824
BULLETIN
DE
T =
dont
L’UNION
I
DES
PHYSICIENS
Tu
T12
T22
est égal à 1.
le déterminant
T22 I
Fig. 5
Relions la matrice
à T (ES) (fig. 5) :
de passage
T (A,J
D’où les éléments
Tu (4
entre
les plans
= Th (SA,) T(ES)
de matrice
= TII +
de T(A,
SA,
A, xy
et
A, xy
T(AJ?).
A,) :
T21ni
A,
(4
T12
=
T12
SA,
E
+ Tu no
T21W
=
Tu (4
= Tu + T21-.
A,
+-
T21
ni
(
E
-
+ Tzz
- no
T21
A,
nq
On constate que T21 (A) est indépendant
la vergence V = -TZ1.
de A. Aussi
pose-t-on
Si T12 (A) = 0, les plans A, xy et A, xy sont conjugués;
A,
devient A, et A, devient Ai. Alors, on montre aisément que Tll (A)
s’identifie
G, étant
matique,
Helmholtz
au grandissement
transversal
le grandissement
angulaire.
det T(A)
= 1, elle exprime
-
ni
no
G, G, = 1.
G, et TP (A)
à 5
G,,
no
Quant à la relation
mathéla relation
de Lagrange
et
BULLETIN
DE L’UNION
DES
825
PHYSICIENS
Détermination
expérimentale
de la matrice de transfert.
Cette détermination
fait l’objet
d’une manipulation
où l’on
se propose
d’évaluer
numériquement,
pour un système centré
inconnu, les différents
Tij (5).
SAi
G,(A)
= Tn-Vni
-
A,
0
=
Tu
+
TII
SAi
-
ns
G,-1 (A) = Tu La dernière
graphe
relation
G,-r en fonction
ni
-
&E
V -.
no
permet
de -
A,
Tn-V-
+-
no
(
d’obtenir
A,
(fig.
V et T2r à partir
du
SAi
- G,-1 T
en
6 a).
no
La seconde
donne
Tu et Tu à partir
du graphe
Ni
A,
fonction
>
de -
(fig. 6 b).
no
a)
b)
Fig.
6
Une fois cette manipulation
faite, il est possible d’en déduire
tous les éléments cardinaux
comme le montre ce qui suit.
Eléments
cardinaux.
Plans principaux. nlans
s’écrit,
évidemment
T(H,Hi)
La matrice
:
=
I
-v
1
de transfert
0
1 I
entre
ces
BULLETIN DB L'UNION DES PHYSICIENS
826
Par conséquent, pour déterminer ces plans, il suffit d’appliquer les relations précédentes :
SHi
HoE
l= TU-V1 = Tu-Vno
ni
d’où :
ni
SHi = (Tll-l)y
et
EH, = -(Tz-
l)+
Plans nodaux. - Ce sont les plans transversaux tels que
le grandissement angulaire pour les points N, Ni, situés sur l’axe
optique, est égal h 1.
no
ni
-v
De la même façon que précédemment,
d’où :
fi,,
= T,, - V -
SNi
-
et
= TP-V-
NoE
no
ni
ni
Pli
$?Xi = (T~~-$)-$
no
EN, = -
et
(Tz--$-)$
On voit donc que la matrice de transfert permet de situer
très simplement les plans principaux et les plans nodaux.
Relation
de conjugaison
avec
origine
aux
plans
principaux.
Elle s’obtient aisément à partir du produit des matrices :
T (Z&)
1
=
0
avec :
= T (Hii)
pi
ni
T (E-K)
1
T (XX)
0
1
1
0
-PC?
-
no
1
-v
Pi E mi
et
P, = H,&.
Ecrivant que : T12(A) = 0, il vient :
--
no
po
+$=V.
*
1
BULLETIN
DE L'UNION
le foyer
image
827
DES PHYSICIENS
Foyers.
On définit
l’infini
dans l’espace
De même
pour
Il est alors
objet.
Fi par
le conjugué
de A, situé
à
D’où : Hi Fi = $.
le foyer objet
aisé de situer
F, : m,,
les foyers
= -$
F, et Fi.
Application. lentilles
Doublet
de Ramsden
constitué
de deux
Exprimons
la matrice
de transfert
entre 01~
minces.
: a = -
et 02+ sur la fig. 7 en posant
A
,
I_‘...
,,l....“’
.<..” ,
1‘H i
0
9
:
l
0
fi
1
3
= -
e
2
fi2
= -.
. .,.. :;. ._ ..A
__..
I
I
lb
I
s
I
I
I
1
I.
0
3
>
i
F;
Fig. 7
1
0
1
2a
1
1
T (OI-
02+)
=
--
1
3a
d’où
:
1
0
=
-2
0
1
2a
3
4
1
---&-
1
3
828
BULLETIN
DE L'UNION
-
02 Fi
3
-
=
DES PHYSICIENS
9
Hi
+ fi
=
-
u
4
Afin de montrer
le parti que l’on peut tirer du calcul matriciel dans la détermination
des pupilles d’entrée et de sortie, sujet
généralement
considéré
comme délicat, envisageons
le problème
suivant : avec un objet situé dans le plan focal objet (en F,),
quel doit être le rayon Q d’un diaphragme
circulaire
situé dans
le plan médian pour que la monture
de Lz soit pupille
de sortie
du doublet ? Les lentilles
L1 et Lz ont des montures
de même
rayon R. Exprimons
T (F, A), A étant un point courant
de l’axe
situé entre 0, et 02 (01 A = 2).
1
Z
1
0
3a
lT(F,)
=
4
1
..*
0
1
--
1
0
1
3a
1-z
=
...
$(a + z)
3a
1
3
-- 3a
L’angle a, à l’entrée
trée est tel que :
qui définit,
x, = +
x, étant la coordonnée
Pour Lt :
Pour
d’un
z = 0,
x~=R
le diaphragme
D :
z = a,
Pour
point
à partir
4
de F,, la pupille
(a + z) a,
du bord
et
x, = Q et
du diaphragme.
(aA1
(a&
4R
= -.
3a
2P
= -.
3a
Lr :
z = 2a,
Par conséquent,
x,=R
L2 est pupille
et
de sortie
4R
= -.
9a
(a&
si
Q
> 3
2
R.
d’en-
BULLETIN
III.
PRISME
DE L’UNION
DES
829
PHYSICIENS
MAGNETIQUE.
Adapté sous le microscope
électronique
de 1 MV de Toulouse, il a permis
d’étudier
les pertes d’énergie
des électrons
à la traversée des échantillons
(6). Il est constitué
d’un électroaimant à champ uniforme
qui impose aux électrons
une déviation d’angle + = 42 sur une trajectoire
circulaire.
Supposons
pour simplifier
que les faces d’entrée
et de sortie soient normales à la trajectoire
(fig. 8). La loi fondamentale
de la mécanique pour un électron en mouvement
dans le prisme par rap
port au référentiel
OXYZ s’écrit :
d3
m dt
= +?LB,.
Fig. 8
Y
En coordonnées
cylindriques,
elle donne
..
r-r-42
m
‘$(I’R)
r
ZZZ -e
z
:
;
0
?-GA
0
i
B,
m
d’où
:
e%
-r;
m
eB,
soit
r-24=
--7
r2
+ cte (2)
830
BULLETIN
DE L'UNION
DES PHYSICIENS
Considérons
un électron
se déplaçant
culaire r = R = cte. D’après (l), il vient
ce qui s’écrit
:
sur la trajectoire
e B,
6 = Cte = w, = -
m
comme
vitesse
m
la vitesse
orthoradiale
de l’électron
:
re=Ro,
Plaçons-nous
dans
ment de variables x =
à utiliser le référentiel
la trajectoire
moyenne
&=o,(
est approximativement
l+$>’
les équations
égale à la
et
t! = q, R/r.
le cas ou r = R et procédons
au changer-R,
z = r-6, y = -Z,
ce qui revient
en mouvement,
A+~yz, A,, étant un point de
définie par r = R. Il vient :
soit
puisque
d’où
cir-
:
d=wO(l--&)
x < R.
en x et y :
2 + CII,*x = 0
et :
y=0
ce que l’on écrit
dz,
x” = dz2
aussi, en introduisant
x”
+ -$
et :
et
$Y
y” = -,
dz2
= 0
y” = 0.
sont immédiates
; en fonction
Les solutions
de l’inclinaison
à l’entrée, on obtient
:
x = x, COS -
a =
et :
x’
= --sin-
z
R
+ xl0 R sin -
x0
z
R
R
de la position
et
z
R
+ x’,cOS-
z
R
Y = Y0 + Y0 z
Les matrices
l$=- zs- zc
R
’
f3 = y’ = y’o.
de passage de E à S s’écrivent
donc, en notant
BULLETIN
DE
Tx (ES)
L’UNION
DES
+
I Cos
sin +
=
I
--
TY(ES)
Rsin+
l
COS +
R
I
1
et
831
PHYSICIENS
RdJ
=
1 l
I 0
se
comporte
comme un
On voit que le prisme
tique caractérisé
par deux matrices
de transfert
l’absence
de symétrie
de révolution.
Suivant y, le
aucune propriété
de focalisation
V, = (Tu& = 0. Par
vant x, la vergence
est V, = -.
Les focales
objet
et image
aux plans
principaux,
système 0p
du fait de
système n’a
contre, sui-
R
R
suivant
x sont : fox = --
et
sin +
R
fix = + -*
Quant
SHi =
sin +
(COS
ils sont situés
R
sin +
+ -1)
-EH,
important
où + = + +
+ -
1) -.
au plan
médian
:
fix = R
R
confondus
en 0’ (cf. fig. 8) et les foyers
en E et S.
Notant p0 = m,,
suivant x s’écrit alors
et
pi = Hi Ai, la relation
sont
de conjugaison
:
--
L’exemple
tion matricielle
-(COS
par rapport
v, = .-AHi et H, sont alors
situés respectivement
R
=
sin +
Donc H, et Hi sont symétriques
du prisme.
Cas particulier
à :
1
1
1
PO +-=y Pi
du prisme
magnétique
montre
que
n’a pas un intérêt uniquement
formel
la présentamais qu’elle
832
BULLETIN DE L'UNION DES PHYSICIENS
puise sa justification
tique des particules
dans les travaux
chargées.
de recherche
sur
l’op-
En conclusion,
soulignons
que la présentation
que nous proposons rend l’optique
matricielle
complémentaire
de l’optique
traditionnelle
et non concurrente.
En effet, la matrice de transfert
du système optique
sert à déterminer
tous les éléments
cardinaux à partir desquels nous appliquerons
les formules
de conjugaison et nous construirons
les rayons lumineux.
Dans la pratique
de l’enseignement
semestriel
de l’optique
géométrique,
en D.E.U.G.S. A II première
année, cette présentation
nous a permis
d’étudier
la plupart
des instruments
d’optique
depuis l’œil jusqu’aux
télescopes réflecteurs
en passant par les
cavités Laser.
JoséAPhilippe
PÉREZ,
d’optique
électronique
~(Laboratoire
7 Toulouse).
REFERENCES
(1) GR&T
P. - Electron
(2) BROWN K.-L. 1965.
Optics, 1972, Pergamon.
The Review of Scientific
(3)
GERRARD et BURCH. 1975, J. Wiley.
Introduction
(4)
PALLFI P. -
(5)
PERE~ J.-Ph. et CARIOU. -
instrument,
to matrix
no 3, Vol. 36.
methads
in optics,
B.U.P. no 610, p. 503.
Publication
(6) PERE~ J.-Ph. - Thèse Doctorat,
à soumettre
ès sciences, 1976.
au B.U.P.