PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

COLLÈGE LA PRÉSENTATION
classe de 3e
Durée : 2 heures
BREVET BLANC Février 2010
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Présentation et orthographe : 4 points
Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.
PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
Exercice 1 (2 points)
1) Calculer A :
8 3 × 4
8 12 20
A=
=
= =5
1  2× 1,5 1 3
4
2) Pour calculer A, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :
8 + 3 × 4 ÷ 1 +
2 × 1 ⋅ 5 =
Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.
Il n'obtient pas le bon résultat car il aurait dû utiliser des parenthèses pour séparer le calcul
situé au numérateur du calcul situé au dénominateur.
Exercice 2 (4 points)
On considère le programme de calcul ci-contre.
- Choisir un nombre de départ.
- Ajouter 1.
- Calculer le carré du résultat obtenu.
- Lui soustraire le carré du nombre de départ.
- Écrire le résultat final.
1) a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
 1 1  ² −1² = 2² −1² = 4 −1 =3
b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
 2 1  ² − 2² =3² − 2² = 9− 4 =5
c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
 x 1  ² − x²
2) On considère l'expression P =  x 1  2 − x 2 .
Développer puis réduire l'expression P.
P =  x 1  2 − x 2
P = x²  2 x  1− x² = 2 x 1
3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?
P = 15 ⇔ 2 x 1 =15 ⇔ 2 x =14 ⇔ x = 7 .
Pour obtenir un résultat final égal à 15, il faut choisir 7 comme nombre de départ.
Exercice 3 (3 points)
On considère l'expression D=  2 x  3  2   x −5   2 x 3  .
1) Développer et réduire l'expression D.
D=  2 x  3  2   x −5   2 x 3 
D= 4 x 2 12 x  9 2 x 2  3 x −10 x − 15
D= 6 x 2 5 x − 6
2) Factoriser l'expression D.
D=  2 x  3  2   x −5   2 x 3 
D=  2 x  3  [  2 x 3    x −5  ]
D=  2 x  3   3 x −2 
3) Résoudre l'équation D= 0 .
On choisit l'expression factorisée de D pour résoudre l'équation D= 0 .
D= 0 ⇔  2 x 3   3 x − 2  =0
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
Donc 2 x 3 = 0 ou 3 x − 2 = 0
3
2
soit x =− ou x = .
2
3
3
2
L'équation D= 0 a deux solutions : − et .
2
3
Exercice 4 (3 points)
1) Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux.
Les nombres 850 et 714 sont des nombres pairs, donc ils ont au moins 2 comme diviseur
commun. Or, des nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Donc ces deux
nombres ne sont pas premiers entre eux.
2) a) Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de
850 et 714.
PGCD(850;714)=PGCD(714;136)=PGCD(136;34)=34 car 136 = 4 ×34 .
850
b) En déduire la fraction irréductible égale à
.
714
850 850 ÷34 25
=
= .
714 714 ÷34 21
PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)
Exercice 1 (4 points)
On donne la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur et qui n'est pas à reproduire.
Les points M, O et Q sont alignés ainsi que les
points N, O et P.
Les segments [OM] et [OQ] sont des diamètres
des deux cercles tracés ; on donne :
OM = 7,5 cm et OQ = 4,5 cm.
1) Prouver que le triangle MNO est
rectangle en N.
Le point N appartient au cercle de
diamètre [OM].
Or, si un triangle est inscrit dans un
cercle de diamètre l'un de ses côtés,
alors ce triangle est rectangle et ce côté
est l'hypoténuse.
Donc le triangle MNO est rectangle en
N.
On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.
2) Justifier que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
Le triangle MNO est rectangle en N, donc (MN) ⊥ (NO).
Le triangle OPQ est rectangle en P, donc (PQ) ⊥ (PO).
Les points N, O, P sont alignés, donc les droites (PO) et (NO) sont confondues.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre
elles.
Donc (MN) et (PQ) sont parallèles.
3) Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP. Justifier.
Les droites (MQ) et (NP) sont sécantes en O. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
OM ON MN
=
=
D'après le théorème de Thalès, on a :
OQ OP QP
7,5
5
=
En remplaçant par les valeurs numériques :
4,5 OP
5 × 4,5
= 2,4 .
On en déduit : OP =
7,5
Donc OP = 2,4 cm.
Exercice 2 (4 points)
On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.
1) Construire le triangle EFG. (voir figure)
2) Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
Le plus grand côté est [FG] ; d'une part : FG 2 = 7,52 =56,25;
d'autre part : EF 2  G E 2 = 62  4,52 =56,25.
On constate que FG 2 = EF 2  EG 2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle EFG est rectangle en E.
3) Construire le point M, milieu de [EF], et contruire la droite parallèle à [EG] passant
par M ; elle coupe [FG] en N.
(voir figure)
4) Montrer que N est le milieu de [FG].
Dans le triangle EFG, M est le milieu de [EF] et la parallèle la [EG] passant par M coupe
[FG] en N.
Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [FG].
Exercice 3 (4 points)
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire.
Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.
Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.
AB = 3 cm
FC = 8,4 cm
FG = 11,2 cm.
A
B
1) Calculer la longueur CA.
Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C, les droites
(AB) et (GF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès,
CA CB AB
=
=
on a :
.
CF CG GF
CA AB
=
En particulier :
.
CF GF
G
En remplaçant par les valeurs numériques, cela donne :
CA
3
3× 8,4
=
= 2,25 .
soit encore CA =
8,4 11,2
11,2
Donc CA = 2,25 cm.
C
F
2) Soit D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que : FD = 6,3 cm et
FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.
Dans le triangle CFG, D ∈ [CF] et E ∈ [GF].
FD 6,3 3
=
= =0,75
D'une part :
FC 8,4 4
FE
8,4
3
=
= = 0,75 .
D'autre part :
FG 11,2 4
FD FE
=
On constate que
. De plus, les points F, D, C et F, E, G sont
FC FG
alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de
Thalès, les droites (DE) et (GC) sont parallèles.
PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)
G
A
B
C
D
E
F
Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est
adapté à sa taille.
Première partie
Dans le graphique figurant en annexe, on lit pour une taille comprise entre 150 cm et 200 cm :
– en abscisse, la taille exprimée en cm ;
– en ordonnée, le poids exprimé en kg.
A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.
1) Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant
180 cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près.
D'après le graphique, une personne mesurant 180 cm doit avoir un poids minimum de 60 kg
et un poids maximum de 81 kg.
2) Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé.
De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près.
Une personne de 165 cm doit peser au maximum 68 kg. À 72 kg, elle dépasse donc de 4 kg
le poids maximum conseillé.
3) Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille.
Quelle peut être sa taille ?
Un poids maximum de 72 kg est conseillé pour une personne dont la taille est comprise
entre 170 cm et 198 cm.
Deuxième partie
Dans cette partie, t reprèsente la taille d'une personne, exprimée en cm.
On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note p.
t −150
p, exprimé en kg, est donné par la formule : p =t − 100 −
.
4
1) Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement :
* 160 cm ;
* 165 cm ;
* 180 cm.
Placer les points correspondants sur le graphique figurant en annexe.
Tracer la droite passant par ces points.
160 − 150
10
p  160  =160 −100 −
=60 − =60 − 2,5= 57,5
4
4
165− 150
15
p  165  =165 −100 −
= 65− = 65− 3,75 =61,25
4
4
180 − 150
30
p  180  =180 −100 −
=80 − =80 − 7,5= 72,5
4
4
2) Démontrer que la formule donnant le poids idéal en fonction de la taille peut s'écrire :
p =0,75 t −62,5
3 t −250
p=
t −150
4
p =t −100 −
3 t 250
4
p= −
4 t − 400 −t 150
4
4
p=
p =0,75 t −62,5
4
3) Une personne mesure 170 cm et son poids idéal est égal au poids idéal augmenté de
10 %. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ?
p  170  = 0,75× 170− 62,5= 65
D'après la formule, le poids idéal d'une personne mesurant 170 cm est de 65 kg. Si on augmente de
10%, c'est-à-dire de 6,5 kg, le nouveau poids idéal devient 71,5 kg.
Or, d'après le graphique, le poids maximum conseillé pour une personne de 170 cm est de 72 kg.
Donc cette personne ne dépasse pas le poids maximum conseillé.
NOM :
PRÉNOM :
CLASSE :
ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE