Chapitre 9 : Réseaux complexes

Chapitre 9 :
Réseaux complexes
Motivation
• La modélisation utilise la plupart du temps des réseaux réguliers.
Pourquoi ne pas considérer des structures complexes ?
• Qu’est-ce qu’un réseau complexe ? aléatoire ?
• Différents types de réseaux, modèles...
Réseaux réguliers
• Réseaux Archimédiens : 11 réseaux composés de polygones réguliers
• Hexagonal, Carré, Triangulaire, Kagomé.
• Coordination : nombre de voisins k
• Dimension : N (`) ⇡ `d
`
• Arbre de Cayley : nombre de voisins fixé
N (`) ⇠ exp(`)
d!1
k=5
Percolation
L
P
L
P
⇥ (p
pc )
p
0
1
pc
réseau
d
k
pc
xc
nid d’abeille
2
3
0,6962
0,6527
carré
2
4
0,5927
1/2
triangulaire
2
6
1/2
0,3473
cubique
3
6
0,3116
0,2488
hypercubique
4
8
0,197
0,1601
p
• Loi pour le seuil de percolation ? seulement des conjectures
pc (k, d)
• Seuils de percolation sur un arbre de Cayley : structure hiérarchique
pc =
1
k
1
Réseaux aléatoires
• Théorie des graphes : Euler
• Modèle aléatoire (Erdös-Rényi, 1959) : connections aléatoires
N (N
1)/2 liens
addition successive de liens avec probabilité p
p = 0.1
• Degré d’un noeud : variables ki
p = 0.2
• Distribution binomiale des degrés
k
P (ki = k) = CN
k
p
(1
1
hki = pN
hki
P (k) ⇡ exp [ hki]
k!
• Un seul réseau lorsque : N p > 1
• Transition entre entités isolées
et entités connectées :
ln N
pc =
N
(seuil de connexité)
p)N
1 k
• Modèle «Small World» (Watts-Strogatz, 1998) :
construction d’un réseau régulier
processus de reconnection avec probabilité p
• Distance moyenne entre deux noeuds ` ⇠ ln N
• Modèle «Scale Free» (Barabasi-Albert, 1999) :
croissance d’un réseau
ki
attachement préférentiel avec probabilité p(ki ) = P
i ki
1/10
1/12
2/10
1/10
?
2/12
1/12
1/10
3/10
?
1/12
4/12
1/10
1/10
1/12
1/12
1/12
5 ⇥ 1 + 1 ⇥ 2 + 1 ⇥ 3 = 10
6 ⇥ 1 + 1 ⇥ 2 + 1 ⇥ 4 = 12
formation de «hubs»
pas de noeud caractéristique !
0
10
0
10
A
-2
10
-2
P(k)
10
P(k)
• Distribution des degrés : P (k) ⇠ k
-4
10
-6
10
-4
10
-6
10
10
-8
0
10
1
10
2
k
10
3
10
0
2 [2, 3]
FIG. 2. (A) The power-law connectivit
obtained from the model (see text), using m
The exponential connectivity distribution f
(!), m0 = m = 5 (") and m0 = m = 7
Exemples de réseaux aléatoires
• Structure d’internet : noeuds = servers
• Réseau de collaborations scientifiques : noeuds = chercheurs
• Interactions entre protéines : noeuds = protéines
Percolation sur réseaux aléatoires
exponentiel
sans échelle
hki = pN
hki =?
1
pc =
hki 1
pc ! 0
un réseau invariant d’échelle ne peut se débarrasser d’un virus !