Intégration TD1 Intégrale de Lebesgue : théorèmes de convergence

Intégration TD1
Intégrale de Lebesgue : théorèmes de convergence
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan.
e-mail : [email protected]
On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré.
L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant :
Z
|f |dµ < ∞
X
1
Énoncés :
Théorème de convergence monotone : (ou Beppo-Levi) [2], p.117
Soit (fn )n≥1 une suite croissante de fonctions mesurables de X dans R+ .
Alors la fonction f := lim fn est définie sur X, à valeurs dans R+ et mesurable.
n→∞
Z
Z
f dµ, la convergence ayant éventuellement lieu dans R+ .
fn dµ −→
De plus :
X
n→∞
X
Attention !
L’appellation “théorème de convergence monotone” peut laisser penser que le théorème s’applique pour
les suites décroissantes mais, comme on va le voir en exercice, ce n’est pas le cas !
Lemme de Fatou : [2], p.132
Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables positives, alors :
Z
Z
0≤
lim fn dµ ≤ lim
fn dµ ≤ +∞
X
X
Théorème de convergence dominée : [1], p.24
Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions complexes mesurables sur X. On suppose que :
1. fn (x) converge presque partout vers une limite : f (x).
2. Il existe g ∈ L 1 (µ) telle que, pour tout n ∈ N on ait : |fn (x)| ≤ |g(x)| presque partout en x.
Alors f ∈ L 1 (µ) et la suite (fn )n≥0 converge vers f dans cet espace :
Z
|fn − f |dµ −→ 0
n→∞
X
2
Exercices :
Exercice 1 : [1], p.30
1. Soit E une partie de X et E c son complémentaire. Vérifier que l’inégalité de Fatou peut-être stricte
grâce à la suite suivante : fn := 1E si n pair, fn := 1E c si n impair.
2. Justifier que la domination est indispensable dans le théorème de convergence dominée.
Z
f = c ∈ R∗+ . Soit a ∈ R∗+ . Montrer que :
3. Soit f : R → R∗+ mesurable et telle que
R
Z
n ln 1 +
lim
n→∞
R
f (x)
n
a 1

 ∞ si 0 < a < 1,
c si a = 1,
dx =

0 si 1 < a,
4. Exhiber un contre-exemple justifiant qu’une hypothèse de “monotonie” serait insuffisante dans le
théorème de convergence monotone.
5. Énoncer (et démontrer) un théorème de “convergence décroissante” valable.
Exercice 2 : Le cas des séries
Soit (fn )n≥1 une suite de L 1 (µ). On suppose que
∞ Z
X
n=1
|fn |dµ < ∞
X
1. [1], p.27 : Montrer que la série
∞
X
fn (x)
n=1
converge presque partout et, à un ensemble négligeable près, définit un élément de L 1 (µ) : f ,
vérifiant :
Z
∞ Z
X
f dµ =
fn dµ
X
n=1
X
2. Calculer :
Z
1
0
ln(x)
dx
1−x
Exercice 3 : [2], p.137-138
1. Lemme de Borel-Cantelli. Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de A . Montrer que si :
X
µ(An ) < ∞,
n≥1
alors presque aucun point de X n’appartient à une infinité de An .
2. En utilisant le lemme précédent, vérifier la continuité de l’intégrale par rapport à la mesure : soit
f ∈ L 1 (µ), alors :
Z
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀A ∈ A , µ(A) ≤ δ ⇒
|f |dµ ≤ ε
A
Indication :On pourra écrire la négation de la phrase logique précédente.
Exercice 6 :
1. Calculer les limites suivantes, pour n → +∞ (si la suite explose, on donnera un équivalent) :
Z
An :=
n
0
1−
x n
dx, Bn :=
n
1
Z
0
∞
X
ne−x
n
dx, Cn :=
2
nx + 1
nk + k + 1
k=1
2. [2], p.147 : Montrer que
Z
0
+∞
X 1
sin(x)
dx =
x
e −1
n2 + 1
n≥1
2
Exercice 7 :
Soit (ai )i∈N une famille sommable de nombres complexes.
Soit In une suite de P(N).
On pose
\ [
J :=
Ip
k≥0 p≥k
Montrer que si la suite de sommes partielles
X
ai converge vers un nombre complexe x, alors il en de
i∈In
même de la suite
X
ai .
i∈In ∩J
Exercice 8 : Méthode de Laplace [3], p.339
Soit [a, b[ un intervalle réel, borné ou non, ϕ ∈ C 2 ([a, b[, R+ ) et f : [a, b[→ C telles que e−t0 ϕ(x) f (x) ∈ L 1 ([a, b[)
pour un certain t0 . On suppose f continue en a et non nulle en ce point.
Le but de cet exercice est de trouver un équivalent, quand t → +∞, de l’intégrale :
Z
F (t) :=
b
e−tϕ(x) f (x)dx
a
1. On suppose a = 0 et ϕ(x) = x. Montrer que :
F (t)
f (0)
t→+∞ t
∼
Indication : On pourra d’abord découper l’intégrale en deux morceaux [0, b[= [0, α[∪[α, b[ et étudier
le premier par convergence dominée.
2. On suppose que ϕ0 > 0 sur [a, b[. Montrer que :
F (t)
∼
t→+∞
1 f (a) −tϕ(a)
e
ϕ0 (a) t
Indication : Effectuer le changement de variable y = ϕ(x) − ϕ(a) pour se ramener au cas précédent.
3. On suppose a = 0 et ϕ(x) = x2 . Montrer que :
√
F (t)
∼
t→+∞
π f (0)
√
2
t
.
4. On suppose que ϕ0 > 0 sur ]a, b[, ϕ0 (a) = 0 et ϕ00 (a) > 0. Montrer que :
r
π f (a) −tϕ(a)
√ e
F (t) ∼
t→+∞
2ϕ00 (a) t
Indication : Effectuer le changement de variable y 2 = ϕ(x) − ϕ(a) pour se ramener au cas précédent.
5. Donner un équivalent de la fonction Γ, pour t → +∞ :
Z ∞
Γ(t + 1) :=
e−x xt dx
0
Indication : On effectuera le changement de variable x = t(u + 1) et on découpera l’intégrale en deux
bouts pour appliquer les résultats précédents.
Références
[1] W. Rudin. Analyse réelle et complexe (3ième édition).
[2] Marc Briane, Gilles Pagès. Théorie de l’intégration (4ième édition).
[3] F. Rouvière. Petit guide de calcul différentiel (deuxième édition).
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