Modélisation, Optimisation, et Simulation des Syst`emes

Transcription

Actes des Résumés
”MOSSYS”
Modélisation, Optimisation,
et Simulation des Systèmes
Rabat, 29-30 juin, 1 juillet 2011
20 ans du LERMA
LERMA-EMI
20ème Anniversaire du LERMA : MOSSYS
29, 30 juin, 1 juillet 2011, EMI - Rabat
Préface
Les journées scientifiques de Modélisation, Optimisation et Simulation des
Systèmes ”MOSSYS” organisées du 29 juin au 1er juillet 2011 en l’occasion des
20 ans du LERMA, sont une occasion pour réunir les enseignants chercheurs
et les chercheurs formés au laboratoire avec leurs partenaires universitaires et
professionnels.
Cette rencontre permettra une mise au point de la recherche scientifique
développée au sein du LERMA d’une part et un repositionnement concernant la
recherche actuelle et future dans le domaine de la modélisation, de l’optimisation
et la simulation des systèmes en concertation avec les partenaires du laboratoire
d’autre part.
MOSSYS permettra de faire quelques synthèses, de susciter des collaborations
au niveau national et international et d’initier également d’autres thématiques,
qui intéressent aussi bien le monde académique que le monde socioéconomique et
industriel.
Les sessions concernant les méthodes numériques, les problèmes inverses, la
biomathématique, le contrôle optimal, la modélisation et la simulation présentent
des opportunités d’échanges mutuels et de confrontation de points de vue entre
universitaires et professionnels.
La session contrôle optimal est organisée en hommage à notre collègue Jamila Karrakchou, nous sommes heureux d’y recevoir des anciens du LERMA et
particulièrement A. Namir premier docteur du laboratoire. Un hommage à feue
Soumaya Gourari qui a eu son doctorat au LERMA en 2006 et qui a disparu en . . .
Les posters présentent une cartographie des sujets de recherche en cours
de développement au sein du LERMA par une équipe de jeunes chercheurs. La
variété des problèmes traités ainsi que des méthodes développés nous confortent
dans l’idée que le travail des jeunes ”lermistes” est sur la bonne voie.
Le comité d’organisation remercie les conférenciers invités venus de France,
d’Italie et de Tunisie ainsi que tous les collègues venus d’Algérie, de France et du
Maroc, qui ont répondu à notre sollicitation et qui ont bien voulu enrichir cette
manifestation par leurs contributions scientifiques. Nous sommes très contents de
voir parmi les conférenciers plusieurs docteurs du LERMA.
Le comité d’organisation adresse ses remerciements à toutes les institutions
qui ont soutenu cette manifestation. Nos chaleureux remerciements à l’Université
Mohammed V- Agdal, l’Ecole Mohammadia d’Ingénieurs (EMI), le Centre National de la Recherche et Technologie (CNRST), l’Ecole Nationale de l’Industrie
ii
Minérale (ENIM), la Société Marocaine de Mathématiques Appliquées (SM2 A),
la Caisse de Dépôt et Gestion (CDG capital), Fidaroc Grant Thornton, Wafa
Gestion, pour leur soutien moral et financier.
Nous tenons à souligner l’excellent travail de l’équipe junior du LERMA,
qui a fait de la réussite de cette manifestation un défi à relever. Nous saisissons
cette occasion pour les féliciter et les remercier et plus particulièrement A.
Darouichi, N. Moussaid, E. El Guarmah, M. Ziani, A. Benjouad, H. Bouloiz, W.
El Alem, S. El Moumen, H. Hachimi, B. Lotfi, I. Medarhri, M. Mraoua.
Nos vifs remerciements à Aziz Darouichi qui a travaillé pour la réalisation
de ces actes. Ces remerciements s’adressent également à toutes les personnes qui
n’ont ménagé aucun effort pour le succès de ces journées.
Rajae Aboulaich
Rachid Ellaia
Mohamed Tkiouat
iii
Comité d’organisation
?
ABOULAICH Rajae
?
ELLAIA Rachid
?
TKIOUAT Mohamed
Comité Junior
?
DAROUICHI Aziz
?
MOUSSAID Noureddine
?
El GUARMAH El Mahdi
?
ZIANI Mohammed
?
AAJAJ Tarik
?
BENJOUAD Abdelghani
?
BOULOIZ Hafida
?
EL ALEM Wafae
?
ELMOUMEN Samira
?
HACHIMI Hanae
?
KHAMLICHI Fahd
?
LOTFI Bouchra
?
MEDARHRI Ibtissame
?
MRAOUA Mohamed
iv
Invités d’honneur
?
Professeur Abderrahmane ALj, Directeur de l’EMI (1981-1986),
?
Professeur e-mérite Jacques Baranger, Université Claude Bernard Lyon 1
?
Professeur Said Belcadi, Directeur de CNRST
?
Professeur Taieb Bennani, Directeur de l’EMI (1989-1994)
?
Professeur Omar Debbaj, Directeur de l’ENIM
?
Professeur Jamila Karrakchou, EMI
v
Table des matières
Conférences plénières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Some a posteriori error estimators for nonconforming approximation of elliptic
problems
B. Achchab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Liquidity Adjusted VAR (L-VAR)
A. Alami Idrissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamic Programming Principle for Viscosity Solutions Connected to Optimal
Stopping and Stochastic Controlled Differential Games of Jump Diffusions
F. Baghery-Kabbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On the use of constitutive law error functionals : Two illustrations
A. Ben Abda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un schema sparse grids adaptatif pour la propagation de front en grande dimension
O. Bokanowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regards sur les Mathématiques au Maghreb au temps d’Ibn Khaldūn
A. Cheddadi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A New Approach of Reliability-based Design Optimization in embedded mechatronical system
A. El Hami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude de convergence d’algorithmes itératifs pour la diffraction d’ondes en domaine non borné et lien avec les méthodes de décomposition de domaines
N. Gmati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Préconditionnement FIT pour des résolutions de systèmes FEM
F. Guyomarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmes hybrides pour l’optimisation globale. Application en forgeage
A. Habbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Time domain formulation of sampling methods for inverse scattering problems
H. Haddar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topological sensitivity analysis to solve geometrical inverse problems
M. Jaoua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On the use of Slepian Basis Functions for an Inverse Problem in Physical Geodesy
M. Moakher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A propos de quelques problèmes de fluides
K. Najib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
1
2
3
4
7
10
11
13
17
18
22
22
23
25
25
Modélisation mathématique comme outil, culture et discipline de service
A. Namir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Non-parametric Performability Estimation for Semi-Markov Processes : An Application to Credit Risk
B. Ouhbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correction d’une décomposition spectrale approchée pour une matrice
symétrique
B. Philippe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transport optimal et imagerie médicale dynamique
J. Pousin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Techniques de contrôle et d’Optimisation des Micro-réseaux Intelligents et des
Systèmes de puissance
R. Sacile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination de la distribution de probabilité de solutions numériques de
problèmes dépendant de variables aléatoires
J. E. Souza de Cursi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planification de trajectoires et analyse d’atteignabilité
H. Zidani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sessions invités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamics of harvesting linear discrete-time models : Projected system
S. Achchab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stopping criteria for data boundary recovering
B. Achchab, A. Ben Abda et A. Sakat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude Numérique d’Écoulement Non-Newtonien dans une Artère Partiellement
Occluse (la Sténose)
S. Boujena, A. Boukbir, N. El Khatib et O. Kafi . . . . . . . . . . . . .
Modélisation spatial-temporelle des précipitations au Maroc
K. Bouzaachane et Y. Benghabrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Existence analysis and numerical approximation to an inverse free boundary
problem
A. Chakib, A. Nachaoui et M. Nachaoui . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation numérique par méthodes spectrales des transitions gouvernées par
les équations de Navier-Stokes d’un écoulement visqueux incompressible :
Etude de la stabilité linéaire
A. Cheddadi et E. El Guarmah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contôle optimale des sytèmes distribués discrets : quelques applications & perspectives
L. Chraibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Global Stochastic Optimization Method for Large Scale Problems
W. El Alem, A. El Hami et R. Ellaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Necessary and sufficient condition for stability of generalized average
A. El Kaabouchi et Sumiyoshi Abe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude du Modèle de Biot Stochastique
M. Lakhdar Hadji et M. Riadh Remita . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
27
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55
vii
Quelles incidences économiques de quelques réformes fiscales visant la promotion d’emploi ?
I. Haggouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Nash game algorithm for solving inverse boundary value problems
M. Kallel et A. Habbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observer For Discrete Systems with Unknown Dynamic
H. Laarabi, M. Rachik, N. Yousfi, J. Bouyaghroumni et E. Labriji . . . .
Mathematical Modeling and Brain Tumor Growth
F. Nouri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude des écoulements sanguins dans les fistules artério veineuses
Y. Sefiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Posters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pricing of an European Lookback Option
R. Aboulaich, A. Alami et S. Mohammed Lamarti . . . . . . . . . . . .
Modélisation en Finance Islamique
R. Aboulaich, A. Alami et S. Omrana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude numérique de la convection thermosolutale dans un espace annulaire
cylindrique
R. Aboulaich et B. Cheddadi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations integro-differentielles Stochastique pour le Pricing des options
R. Aboulaich, F. Baghery-Kabbaj et A. Jraifi . . . . . . . . . . . . . .
Estimation de la volatilité locale par hybridation d’une méthode de
régularisation avec l’équation de Dupire
R. Aboulaich et I. Medarhri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Delayed Kaldor-Kalecki Model of Business Cycle
S. Achchab, A. Benjouad, I. Haggouch, A. Kaddar et A. Souissi . . . . .
Modélisation de la politique fiscale : Elaboration d’un modèle d’aide à la
décision
F. Ameur et M. Tkiouat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec
des calculs simples
R. Belhaj et M. Tkiouat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stress Testing sur le système financier marocain
A. Berrerhdoche et M. Tkiouat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Management des risques inhérents aux délais de réalisation des projets immobiliers et définition d’un modèle d’aide à la décision
A. Challal et M. Tkiouat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Particle Swarm Optimization with Simulated Annealing Applied in Information
System Interoperability
N. El Hami, R. Ellaia et M. Itmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Learning machines & Quantitative Trading
F. Idrissi Khamlichi, R. Aboulaich et A. El Idrissi El Mrhari . . . . . .
Choix des fournisseurs : Elaboration d’un nouveau modèle
Y. Raji et A. Skalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
57
59
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66
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67
67
67
viii
A hybrid Nelder Mead search with representation formula for global optimization
H. Zidani, R. Ellai et J. E. Souza de Cursi . . . . . . . . . . . . . . . .
68
ix
Conférences plénières
1
Some a posteriori error estimators for nonconforming
approximation of elliptic problems
B. Achchab
LAMSAD & LM2CE, Université Hassan 1st FSJES and EST, B.P.
218, Berrechid, Morocco.
[email protected]
We develop a new a posteriori error estimate for the P1 nonconforming finite
element approximation, of a diffusion-reaction equation and for Stokes problem.
We adopt the error in a constitutive law approach [1, 2 , 3] in two and three
dimension space, for not necessary piecewise constant data of problems.
We give also an a posteriori error estimator for nonconforming finite element
approximation of diffusion-reaction problem and Stokes problem, which relies on
the solution of local problems on stars [4]. It is proved to be equivalent to the
energy error up to a data oscillation, without requiring Helmholtz decomposition
of the error nor saturation assumption. Numerical experiments illustrate the
good behavior and efficiency of this estimator for generic elliptic problems.
References
[1] B. Achchab, A. Agouzal, J. Baranger, F. Oudin, Estimations d’erreurs
en lois de comportement [Error estimators using constitutive laws], C. R. Acad.
Sci. Paris Sr. I Math. 326 (8) (1998) 1007-1010.
[2] B. Achchab, A. Majdoubi, D. Meskine, and A. Souissi, A posterior error
analysis using constitutive law for the Crouzeix-Raviart element. Appl. Math.
Lett. Vol. 22, Issue 8, 1145-1314 (2009).
[3] P. Ladevèze, D. Leguillon, Error estimate procedure in the finite element
method and application, SIAM J. Numer. Anal. 20(30) : 485-509 (1983).
[4] P. Morin, R.H. Nochetto and K.G. Siebert. Local Problems on Stars : A
Posteriori Error Estimators, Convergence, and Performance. Math. Comp., Vol
72, N 243, pp 1067-1097 (2003).
2
La Liquidity Adjusted VAR (L-VAR)
A. Alami Idrissi
OPTIMA FINANCE Consulting, Casablanca, Maroc.
[email protected]
Durant la récente crise des subprimes, le système financier international a été
confronté à une crise de liquidité sans précédent. Cette dernière a mis en péril
nombre d’établissements de renom et a obligé les autorités de tutelle à injecter
des montants astronomiques pour tenter de stabiliser les marchés. En théorie de
la finance, l’hypothèse de marchés sans frictions et de liquidité des actifs est communément admise et le facteur liquidité est rarement intégré dans la modélisation
des risques, conduisant ainsi à une mauvaise appréciation du risque réel. Il est
usuel de distinguer entre la liquidité de marché et la liquidité de refinancement,
même si ces deux types de liquidité sont liés (Brunnermeier and Pedersen (2009)).
Nous nous intéressons dans ce papier à la modélisation du risque de liquidité du
marché, et nous nous distinguons de Bangia, Diebold, Schuermann and Stroughair
(1999) et de Ernst ; Stange and Kaserer (2008) en retenant un modèle GARCH,
puis de volatilité stochastique, pour la volatilité. Nous examinons également les
effets de l’hétéroskewness et de l’hétérokurtosis sur les résultats des estimations,
puis comparons les différents modèles
3
Dynamic Programming Principle for Viscosity
Solutions Connected to Optimal Stopping and
Stochastic Controlled Differential Games of Jump
Diffusions
F. Baghery-Kabbaj et I. Massa-Turin
Laboratoire LAMAV, Université de Valenciennes,
59313 Valenciennes, France.
[email protected]
Abstract. We study stochastic differential games of jump diffusions driven by
Brownian motion and compensated Poisson random measures, where one of the
players can choose the stochastic control and the other player can decide when
to stop the system. We give Dynamic Programming Principle (DPP) for this
mixed control-stopping problem and prove that the value function of the game is
a viscosity solution of associated Hamilton-Jacobi-Bellman variational inequality
(HJBVI).
Résumé. On étudie un problème de jeux différentiels stochastiques pour
des diffusions à sauts dirigées par des mouvements browniens et des mesures
de Poisson compensées. Le premier joueur utilise un contrôle stochastique alors
que le second peut choisir d’arrêter le système. On établit un Principe de
Programmation Dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle mixte et on
montre que la fonction valeur correspondante au jeu est solution de viscosité de
l’inéquation variationnelle d’Hamilton Jacobi Bellman associée.
Keywords : Stochastic control ; optimal stopping ; differential games ; jump
diffusion process ; Dynamic Programming Principle ; viscosity solution.
Introduction
Under appropriate assumptions, let the state Y (t) = Y u (t), be given by equation
Z

 dY (t) = b(Y (t), u (t))dt + σ(Y (t), u (t))dB(t) +
γ(Y (t− ), u1 (t, z), z)Ñ (dt, dz);
0
0
k
R0

Y (0) = y ∈ Rk .
(1)
The performance functional by equation
Z τ
τ,u
y
J (y) = E [
f (Y (t), u(t))dt + g(Y (τ ))
(2)
0
and the value function by equation
∗ ∗
τ,u
Φ(y) = inf sup J (y) = J τ ,u (y)
u∈A
τ ∈T
(3)
4
where A and T denote respectively the sets of admissible controls and stopping
times.
Let us define a HJB variational inequality by
u
max inf [A ϕ(y) + f (y, u(y))], g(y) − ϕ(y) = 0,
(4)
u∈K
and
ϕ = g on ∂S
(5)
Where S ⊂ Rk is a given open solvency set and Ay ϕ(y) is defined by
k
X
u
A ϕ(y) =
bi (y, u0 (y))
i=1
∂ϕ
(y)
∂yi
k
1 X
∂2ϕ
(σσ t )ij (y, u0 (y))
(y)
2
∂yi ∂yj
+
i,j=1
k Z
X
+
j=1
{ϕ(y + γ (j) (y, u1 (y, z), z)} − ϕ(y)
R
− ∇ϕ(y).γ (j) (y, u1 (y, z), z)}νj (dz); ϕ ∈ C 2 (Rk ).
Proposition 1. (Dynamic Programming Principle) Let Φ be as in (3). Then we
have
(i) ∀h > 0, ∀y ∈ Rk ,
Φ(y) = sup inf E
τ ∈T u∈A
y
Z
τ ∧h
f (Y (s), u(s))ds + g(Yτ )1τ <h + Φ(Yh )1h≤τ .
0
(ii) Let > 0, y ∈ Rk , u ∈ A and define the stopping time
= inf{0 ≤ t ≤ τs ; Φ(Yty,u ) ≤ g(Yty,u ) + }.
τy,u
, for all u ∈ A, we have that :
Then, if τu ≤ τy,u
Φ(y) = inf E
u∈A
y
Z
τu
f (Y (s))ds +
0
Φ(Yτyu )
.
Theorem 2. Under appropriate assumptions the value function is a viscosity
solution of (4) − (5).
References
[1] I.H. BISWAS. On zero-sum stochastic differential games with jump-diffusion
driven state : a viscosity solution framework. Submitted to Siam J. Opt. and
Control.
[2] FLEMING, W. H. and SOUGANIDIS, P. E. On the existence of value
5
functions of two-player, zero-sum stochastic differential games. Indiana Univ.
Math. J. 38, 293-314, (1989).
[3] N.V. Krylov. Controlled Diffusion Processes. Springer Verlag Berlin (1980)
[4] S. Mataramvura, B. Oksendal, Risk minimizing portfolios and HJB equations
for stochastic differential games. Stochastics 80, n◦ 4, 317–337 (2008).
6
On the use of constitutive law error functionals : Two
illustrations
A. Ben Abda
LAMSIN/ENIT-Tunis, Tunisie.
[email protected]
This talk is concerned with the numerical treatment of a class of inverse
problems defined by overspecified boundary data.
We will show how a constitutive law error functional can be naturally introduced
in order to treat numerically such problems.
Up to our knowledge this misfit functional has been introduced in [1] in the
context of aposteriori estimator in the finite element method. In this context,
the minimization of the constitutive law error functional allows to detect the
reliability of the mesh without knowing the exact solution. Within the inverse
problems communauty this functional has been introduced by R.V.Kohn and
A.McKenney (see [2] and references there in) in the context of parameter
identification. It has been widely exploited in the same context in [3]. It has also
been used for Robin type boundary condition recovering [4] and in the context
of geometrical flaws identification (see [5] and references therein). For lacking
boundary data recovering (i.e. Cauchy problem resolution) in the context of
Laplace operator, the energy error functional has been introduced in [6]. A study
of similar techniques can be found in [7] and the analysis found in these papers
uses elements taken from the domain decomposition framework [8].
Recently, this error functional has been used for solving the Bernoulli problem.(see [9])
In this talk we will focus on two applications :
1. The missing boundary data recovering
Given a flux Φ and the corresponding temperature T on Γc , one wants
to recover the corresponding flux and temperature on the remaining part of Γi
where Γc and Γi constitute a partition of the whole boundary ∂Ω of the domain
of interest Ω. The problem is therefore set as follows :
Find (ϕ, t) on Γi such that there exists a temperature field u satisfying :

 ∇.k(x)∇u = 0 in Ω,
k(x)∇u.n = Φ on Γc ,
(1)

u = T on Γc ,
where the conductivity field k(x) is real analytic in L∞ (Ω).
We propose to reconstruct directly both lacking data (ϕ, t) using an energy error
7
function. In fact, we transform the problem as follows :
Assuming the data (Φ, T ) are compatible extending the data means finding (ϕ, t)
such that :

∇.k(x)∇u = 0 in Ω,

u = T, k(x)∇u.n = Φ on Γc ,
(2)

u = t, k(x)∇u.n = ϕ on Γi ,
The approach in the error functional method developed by S. Andrieux, T. Baranger, A. ben Abda (see [6]) follows in two steps :
First, for a given pair (η, τ ), the two following mixed well-posed problems are
considered :

 ∇. (k(x)∇uD ) = 0 in Ω
uD = T on Γc
(3)

k(x)∇uD .n = η on Γi
The second one is called the Neumann problem (with Neumann condition on Γc )

 ∇. (k(x)∇uN ) = 0 in Ω
uN = τ
on Γi
(4)

k(x)∇uN .n = Φ on Γc
The second steps is to build an error functional on the pair (η, τ ).
The data completion problem is then solved via the following minimization one :
(ϕ, t) = arg min E(η, τ )
η,τ
(5)
Z
(k(x)∇uD − k(x)∇uN ) . (∇uD − ∇uN ) dx
E (η, τ ) =
(6)
Ω
where η ∈ H −1/2 (Γi ), τ ∈ H 1/2 (Γi ), uD and uN being the solution of (3) and
(4).
2. The Bernoulli problem (see [9])
Given a bounded domain A ⊂ R2 , with boundary Υ0 and λ > 0, the interior
Bernoulli problem consists in finding a bounded domain B ⊂ A with boundary Γ
and a function u defined on Ω = B \ A such that :

∆u = 0
in Ω,





on Υ0 ,
(7)
u = 0
u=1





 ∂u = λ
∂ν
on Γ,
on Γ,
where ν is the interior unit normal to Γ.
We are interested in formulating the Bernoulli problem as a shape optimization
8
problem. The originality of this approach relies on the use of a constitutive law
error functional.
References :
[1] P. Ladeveze and D. Leguillon. Error estimate procedure in the finite
element method and applications. SIAM J.Num.Anal., 20(3) :485-509,1983.
[2] R.V. Kohn and A. McKenney. Numerical implementation of a variational
method for electrical impedance tomography. Inverse Problems, 6(3) :389,1990.
[3] M. Bonnet and A. Constantinescu. Inverse problems in elasticity. Inverse
Problems, 21(2),2005.
[4] S. Chaabane and M. Jaoua. Identification of robin coefficients by means of
boundary measurements. Inverse Problems, 15(6) :1425,1999.
[5] A. Ben Abda, M. Hassine, M. Jaoua, and M. Masmoudi. Topological sensitivity
analysis for the location of small cavities in stokes flows. SIAM J.Cont.Opt.,2009.
[6] S. Andrieux, T.N. Baranger and A. Ben Abda. Solving cauchy problems by
minimizing an energy-like functional. Inverse Problems, 22 :115-133,2006.
[7] M. Azaiez, F. Ben Belgacem and H. El Fekih. On cauchy’s problem :
II.Completion regularization and approximation. Inverse Problems, 22 :13071336,2006.
[8] A. Quarterioni and V. Alberto. Domain Decomposition Methods for Partial
Differential Equations. Oxford University Press, 1999.
[9] A. Ben Abda, F. Bouchon, G.H. Peichl, M. Sayeh and R. Touzani. A
Dirichlet-Neumann cost functional approach for the Bernoulli problem (in
progress).
9
Un schema sparse grids adaptatif pour la propagation de front en
grande dimension
O. Bokanowski
Université Paris-Diderot (Paris 7)
LJLL, Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
and INRIA Commands/ENSTA UMA.
[email protected]
Résumé :
On propose un schéma sparse grids adaptatif semi-lagrangien, motivé par
des applications potentielles pour le contrôle, et donnons quelques illustrations
numériques sur des exemples académiques de propagation de front.
10
Regards sur les Mathématiques au Maghreb au temps
d’Ibn Khaldūn
A. Cheddadi
Ecole Mohammadia d’Ingénieurs,
Avenue Ibnsina B.P. 765
Agdal-Rabat, Maroc.
[email protected]
Résumé
Qui d’autre plus qu’Ibn Khaldūn (1332-1406) pourrait incarner, historiquement, l’unité scientifique et culturelle du Maghreb ? Né à Tunis où il reçoit une
éducation de haut niveau dispensée par les grands maı̂tres de l’époque, il découvre
les sciences des Anciens avec les savants de Fez arrivés à la capitale hafçide dans
le cortège du sultan mérinide Abū al-Hasan, qui tente une dernière fois d’unifier
le Maghreb. Ibn Khaldūn s’installe ensuite à Fez où il est le secrétaire et homme
de confiance de plusieurs sultans mérinides. Une belle carrière d’homme d’état
s’annonce devant lui. Mais, excédé par les intrigues de palais, il finit par délaisser
la politique et se retire à la Qalc a des Banū Salāma au Maghreb Central où il
rédige la première version de son oeuvre monumentale : la Muqaddima [1,2].
Dans ce ”Discours sur l’Histoire Universelle”, il critique les méthodes des
historiens, anciens et contemporains, et analyse, avec une méthodologie nouvelle,
les changements sociaux, les montées et déclins des empires et des civilisations.
Observateur lucide de son époque, il note les grands bouleversements qui affectent
alors le Maghreb, notamment sur les plans politique, social et culturel.
Dans les chapitres qu’il dédie à l’histoire des sciences au Maghreb, il transmet
une foule de renseignements très importants, sur les centres d’enseignement, les
disciplines enseignées, les manuels utilisés etc . . . C’est à travers l’évocation par
Ibn Khaldūn des grands maı̂tres de Fez, Tlemcen, Bougie ou Tunis, ainsi que de
leurs oeuvres, que nous pouvons retracer l’évolution des mathématiques et des
autres sciences rationnelles à cette époque et à celle immédiatement antérieure,
celle de l’empire almohade.
On reconnaı̂t une tradition à l’origine héritière des pensers d’al-Andalus.
Cette école andalou-maghrébine, d’abord entièrement tributaire du savoir des
centres scientifiques de l’Orient musulman, se distingue à l’époque almohade par
un dynamisme propre [3]. Au XIIè s., al-Haççar, qui traite -entre autres- des
problèmes arithmétiques dans la tradition des continuateurs d’al-Khwārizmi, est
l’inventeur du trait de fraction. Ibn al-Yāsamīn, célèbre pour son poème consacré
à l’Algèbre, utilise un embryon de notation symbolique qui va être complété
ensuite et permettra aux mathématiciens maghrébins d’écrire les équations
11
algébriques à n’importe quel ordre. Cet étonnant système de notation connaı̂t
une certaine renommée et est utilisé jusqu’au Caire.
Les mathématiciens de premier plan ne sont pas rares, tel Ibn Munc im,
qui traite dans son oeuvre Fiqh al-Hisāb [4] du triangle attribué plus tard à
Pascal. Un certain nombre de travaux originaux sont consacrés à l’Analyse
Combinatoire. La richesse de la vie scientifique et culturelle de l’époque est par
ailleurs représentée par les discussions et critiques que les mathématiciens de
Ceuta engagèrent à propos d’un algorithme proposé par al-Haççār, permettant
la résolution d’un problème d’arithmétique posé par lui-même dans son ouvrage
al-Bayān wal-Tadhkār [5,6].
Mais au XIVè s., la stagnation des mathématiques est déjà visible. En dépit
des multiples ouvrages mathématiques de haut niveau écrits par Ibn al-Bannā
de Marrakech [7], tel Rafc al-Hijāb, celui en vogue est son abrégé des opérations
de calcul : Talkhīç Ac māl al-Hisāb. Commenté et glosé sans cesse par les élèves
et les successeurs de son auteur, le sort réservé au Talkhīç résume bien l’esprit
de l’époque. Un esprit qui ne concerne pas que les mathématiques, et qu’Ibn
Khaldūn dénonce vigoureusement dans la critique d’ensemble qu’il adresse aux
méthodes d’enseignement et aux curricula de son époque, tout en notant avec
amertume le déclin scientifique du Maghreb et d’al-Andalus [8]. Une longue
période de stagnation s’annonce alors pour les mathématiques au Maghreb
jusqu’à l’époque contemporaine.
Références
[1] Yves Lacoste : Ibn Khaldoun - Naissance de l’histoire, passé du tiers monde,
Paris, François Maspero, 1978.
[2] Abdesselam Cheddadi : Ibn Khaldûn L’homme et le théoricien de la civilisation, Paris, Gallimard, 2006.
[3] Abdelkhalek Cheddadi : Mathematics in the Maghrib XI-XVI - An overview,
International Conference on History of Mathematics, Hardwar, India, December
16-19, 1999.
[5] Abdelkhalek Cheddadi : Un problème d’arithmétique et sa résolution par le
mathématicien marocain al-Hassār, International Congress of Mathematicians,
Berlin, August 18-27, 1998.
[6] Abdelkhalek Cheddadi : Le ”problème de Ceuta”, un exercice de mathématiques
maghrébines au temps des Almohades, 8è Colloque Maghrébin sur l’Histoire des
Mathématiques Arabes, Tunis, 18-20 décembre 2004.
12
A New Approach of Reliability-based Design
Optimization in embedded mechatronical system
A. El Hami
LMR - INSA of Rouen, France.
[email protected]
Reliability-Based Design Optimization (RBDO) in embedded electronics and
mechatronical system is a very important part in several industrial fields. The
RBDO analysis of industrial systems is a very important engineering issue, in
order to guarantee their functional behavior. Most of the critical failures are
generated by the interactions between the sub-systems, implemented in different
technologies, e.g. mechanics, electronics, and software. Therefore the analysis of
the system as a whole is not enough and it is necessary to study all the interactions in order to estimate the system reliability. In the embedded electronics
and mechatronical system design, it is very important to minimize the structural
cost and to maximize safety. Few designers (or researchers) can work with these
two opposite philosophies. The basic idea is to know the role of each parameter
in our design using advanced technologies in CAD (Computer-Aided Design)
domain such as sensitivity analysis, optimization concept and reliability analysis.
Our main challenge is to integrate the reliability analysis in the optimization
procedure that allows us to define the best compromise between cost and safety.
This model is called Reliability-Based Optimization. We applied reliability-based
optimization on the three structural optimization families.
Model 1 : The Reliability-Based Design Optimization (RBDO) consists of
the integration of reliability analysis into the optimization procedure. The
classical RBDO approach is carried out in two spaces : normalized space and
physical one. Therefore, the nested problems necessitate a high computational
time. In order to overcome this problem, we propose a new hybrid formulation
consisting in solving the problem in a Hybrid Design Space (HDS), containing all
numerical information about the optimization process. Application of Dynamical
and fatigue of structures.
Model 2 : The Reliability-Based Shape Optimization (RBSO) consists of
the coupling between several models : geometrical modeling, numerical simulation, and reliability analysis and optimization methods. The hybrid method
can be used efficiently to reduce the computational time. Since the structural
geometry may be updated during the optimization process, a flexible model has
to be used. After having studied different ways of geometrical modeling, we
select a parametric boundary description such as B-spline curves. Furthermore,
the design model may be different than the mechanical one and may then
give inaccurate results of the structure behavior. We study the relationship
between CAD and FEA (Finite Element Analysis) models in order to define the
13
suitable method that updates the geometry with a small cost. Furthermore, the
optimization process generally needs gradient evaluations at each iteration. Two
problems can be found : the computing time and the result accuracy. Therefore,
we propose a new numerical derivative to balance the computing time and
the precision. Application of dynamical and noise of structures. Model 3 : The
Reliability-Based Topology Optimization (RBTO) is based on the introduction
of the reliability criteria into the topology optimization procedure. The resulting
reliability-based topologies are different than the resulting deterministic one.
Moreover, the advantage of RBTO is to provide the designer with several
solutions in function of the target reliability During this talk, I will present
the last developments of Reliability-based Design Optimization in embedded
electronics and mechatronical system.
References
[1] A. Mohsine, A. El Hami. A robust study of reliability-based optimization methods under eigen-frequency. Computer Methods in Applied Mechanics
and Engineering, Volume 199, Issues 17-20, 1 March 2010, Pages 1006-1018
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of Natural Phenomena, EDP Sciences, 2010.
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of the composite fabric, International Journal of Mathematical and Computer
Modelling. Vol 49, Issue 7-8 April 2009, pages 1337-1349.
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Research Vol 4, N˚2, 2009, pages : 35-46
[7] G. Kharmanda, S. Sharabaty, A. Makhloufi, H. Ibrahim, A. El Hami.
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Optimization, EDP Sciences, 2009 on line (Accepted).
[9] B. Radi, A. Makhloufi, A. El Hami, M. Sbaa. International Journal for
Simulation and Multidisciplinary Design Optimization, EDP Sciences, 2009 on
line (Accepted).
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14
(Accepted).
[11] A. Cherouat, B. Radi, A. El Hami. The frictional contact of the shaping of
the composite fabric, International journal Acta Mecanica, Springer, Volume 199,
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inside the piezoelectric motor, Applied Mathematical Sciences, Vol.2, 2008, no.
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and heuristic optimization techniques of composite laminates using element-free
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Design Optimization, EDP Sciences, Volume 2, N˚ 2, April 2008, pages 157-169.
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numerical modelling of immerssed structures, International Journal of Design
and Innovation Research Volume 4,N˚1 Janvier 2008, pages 69-78.
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optimization for stochastic analysis of an industrial structure, International Journal for Simulation and Multidisciplinary Design Optimization, EDP Sciences,
Volume 2, N˚ 2, April 2008, pages 135-141.
[20] A. EL HAMI, B. RADI, Eléments d’analyse : Calcul intégral et différentiel,
équations différentielles : Cours, exercices et problèmes de synthèse corrigés,
Editions-Ellipses, ISBN 978-2-7298-5279-5, 2009 (240 pages) 2.
[21] D. Lefebvre, H. Chafouk, A. El Hami, M. Bennouna. Titre : Diagnostic des
systèmes complexes, ISBN 9954 - 8992 - 0 - 0, 2008. Assala Graphics -Maroc (230
pages).
[22] M. Karama, A. El Hami, A. Menou, A. Mouden : Special Issue : Composite
and Aircraft Materials, International Journal for Simulation and Multidisciplinary Design Optimization EDP Sciences. Vol. 2 No. 2 (2008)
[23] A. EL HAMI (Co-auteur). Design Optimization in Computational Mechanics,
Edited by Piotr Breitkopf and Rajan Filomeno Coelho, ISBN :9781848211384.
Wiley/ISTE November 2009 (512 pages).
[24] A. EL HAMI (Co-auteur). Optimisation multidisciplinaire en mécanique
(deux volumes) : volume N˚1 :Démarche de conception, stratégies collaboratives et
15
concourantes, multiniveaux de modèles et de paramètres. Volume N˚2 : Réduction
de modèles, robustesse, fiabilité, réalisations logicielles, aspects théoriques sous la
direction de Rajan Filomeno Coelho Piotr Breitkopf. Hermes Sciences - Lavoisier
Avril 2009. SBN : 978-2-7462-2194-9. (Livre réalisé à l’issue du projet ANR OMD
2006-2009). Les 2 volumes (590 pages).
16
Etude de convergence d’algorithmes itératifs pour la
diffraction d’ondes en domaine non borné et lien avec
les méthodes de décomposition de domaines
N. Gmati
LAMSIN-ENIT, Tunis, Tunisie.
[email protected]
Nous nous intéressons à la résolution numérique d’un problème de propagation
d’ondes en domaine non borné, modélisé par l’équation de Helmholtz. Nous
utilisons la méthode de couplage entre éléments finis et représentation intégrale
[A. Jami et M. Lenoir, 1978] qui consiste à résoudre un problème équivalent au
problème d’origine en imposant sur une frontière fictive délimitant la zone de
calcul, une condition aux limites issue de la représentation intégrale de la solution
à l’extérieur.
Nous analysons la convergence de divers algorithmes permettant la résolution
du système linéaire obtenu. Nous montrons la convergence linéaire d’un algorithme de type Richardson, interprété comme une technique de Schwarz
avec recouvrement total [J.Liu et J.M. Jin, 2001], [F.Ben Belgacem, L.Fournié,
N.G, F.Jelassi, 2003, 2005]. Ce premier algorithme est également utilisé comme
préconditionnement de la méthode GMRES [J.Liu et J.M. Jin, 2002].
Une analyse approfondie du comportement de ce second algorithme prouve sa
convergence superlinéaire [N.G, B.Philippe, 2008] pour le problème discret. Pour le
problème continu la méthodologie empruntée à des travaux de [R.Winther, 1980],
se base sur des résultats de la théorie spectrale et nous permet de donner les taux
de convergence en dimensions deux et trois [F.Ben Belgacem, N.G, F.Jelassi, 2009,
2010].
17
Préconditionnement FIT pour des résolutions de systèmes FEM
F. Guyomarch∗ Y. Le Mennach∗∗ et A. Tinzefte∗∗
∗ LIFL,
INRIA Lille Nord Europe, France.
[email protected]
∗∗ L2EP,
Université de Lille 1, France.
[email protected]
Pour la simulation de machines électriques, très souvent, la méthode des
élèments finis (F.E.M) est utilisée pour discrétiser le problème. Les deux formulations (potentiels scalaires ou vecteurs avec condition de jauge) conduisent à un
système linéaire creux, symétrique défini positif qu’il faut résoudre. L’algorithme
du gradient conjugué est alors une méthode de choix. En fonction de la formulation initiale, la convergence est plus ou moins longue et pour l’améliorer, un bon
préconditionnement est généralement nécessaire lors du traitement de problèmes
réels. CODECARMEL[2] est un environnement de simulation de phénomènes
électromagnétiques. Les systèmes sont résolus par la méthode du gradient
conjugué en utilisant des préconditionneurs classiques [3] : Jacobi, SSOR, factorisations incomplètes telle la factorisation de Cholesky sans remplissage (Crout).
La technique d’intégration finie (F.I.T) [1] peut, tout comme la méthode des
éléments finis, être utilisée pour calculer efficacement les différents phénomènes
électromagnétiques. Cette méthode a la particularité d’utiliser des maillages à base
d’éléments hexaédriques. Les matrices des systèmes d’équations linéaires Ax = b
sont également symétriques définies positives et creuses pour les deux formulations. Ces matrices ont une structure simple et régulière due à la régularité des
maillages pour F.I.T (éléments hexaédriques). En effet, les matrices issues des
formulations potentiel scalaires et vecteurs contiennent respectivement au plus 7
éléments (resp. 13 éléments) non nuls par ligne, ce qui permet un assemblage très
simple et rapide des systèmes linéaires.
Afin de résoudre efficacement ces systèmes, nous avons développé un solveur direct
parallèle [4], dont la mise en œuvre nécessite trois phases :
1. Renumérotation : la technique des dissections emboitées est utilisée pour
renuméroter les noeuds (arrêtes pour les formulations en potentiels vecteurs)
afin de réduire le remplissage qui se produit lors de la factorisation et aussi
pour permettre un meilleur parallélisme dans le cadre de l’assemblage et la
factorisation.
2. Assemblage et factorisation : la matrice factorisée de A par l’algorithme de
Cholesky est assemblée directement et en parallèle.
3. Résolution : la résolution des systèmes triangulaires ainsi construits se fait
par bloc avec parallélisation (phase de descente-remontée).
18
Fig. 1 – Convergence du préconditionnement FIT
Ce solveur direct parallèle permet une répartition équilibrée de l’assemblage et
de la résolution des systèmes linéaires générés par la F.I.T sur les processeurs
de l’architecture parallèle, tout en minimisant les temps de calcul et la place
mémoire utilisée.
Il est communément admis que les résultats fournis par la F.I.T sont
légèrement moins bons que ceux fournis par la F.E.M. L’idée est alors d’utiliser
ce solveur F.I.T comme préconditionnement pour le système F.E.M. Dans ce
cadre d’utilisation du solveur F.I.T en préconditionnement, nous avons opté pour
une approche multi-niveau. Cela permet d’assembler un système F.I.T bien plus
petit que la taille du système initial car le problème electromagnétique résolu en
F.I.T est juste le ”même” mais sur un maillage grossier et hexaédrique.
Pour les essais numériques, nous avons commencé par valider cette approche
sur un problème du cube métallique contenant un cube d’air en son sein. Le
maillage hexaédrique utilisé pour la discrétisation F.I.T est 20 fois plus grossier
par dimension que le maillage F.E.M trétraédrique. Après discrétisation, le
système obtenu est résolu par la méthode du gradient conjugué. La figure 1
montre les résultats de convergence pour différents préconditionnements : Crout,
SSOR et FIT. Et pour le préconditonnement de type FIT multi-niveau, plusieurs
lissages sont aussi proposés : Jacobi et SSOR.
Nous pouvons y voir la grande efficacité en terme de convergence du
préconditionnement F.I.T. Ce gain en nombre d’itérations se répercute directement sur le temps nécessaire à la résolution du système car une exécution du
19
préconditionneur F.I.T a un coût du même ordre que celui d’une itération SSOR
sur le problème F.E.M.
Enfin la figure 2, montre une comparaison entre le préconditionneur F.I.T
précédent et un préconditioneur multi-niveau où le solveur interne est le même
que l’externe (ici de type F.E.M). Nous pouvons voir un leger gain avec le solveur
interne de type F.I.T. Le problème traité ici est un manchon de cable électrique
utilisé par EDF, mais cette tendance s’est retrouvée lors de nos tests sur différents
problèmes sans que nous ayons, pour l’instant, d’explication.
Fig. 2 – Comparaison du solver interne : FEM ou FIT
Le préconditionnement F.I.T s’est révélé très efficace en terme de gain sur la
convergence du gradient conjugué, et donc sur le temps de calcul de la solution
du problème, même lors d’une résolution séquentielle. La suite de ce travail passe
maintenant par l’intégration du solveur F.I.T parallèle dans une version parallèle
du gradient conjugué. Nous aurions ainsi un solveur entièrement parallèle avec
un préconditionnement efficace, pour maximiser les gains en temps lors d’une
exécution sur une machine parallèle.
20
References
[1] M. Clemens, S. Feigh, and T. Weiland, Geometric multigrid algorithms
using the conformal finite integration technique, Magnetics, IEEE Transactions
on, 40 (2004).
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direct solver for the finite integration technique in electrokinetic problems,
Magnetics, IEEE Transactions on, 46 (2010), pp. 3269-3272.
21
Algorithmes hybrides pour l’optimisation globale. Application en
forgeage
A. Habbal
Université Nice Sophia Antipolis.
[email protected]
On introduit deux algorithmes hybrides d’optimisation évolutionnaire basés
sur le principe d’approximation du critère en se servant d’un nombre limité
d’évaluations exactes de la fonction et de son gradient. Le premier algorithme utilise un ansatz discontinu avec classification de la génération courante. Le second
utilise l’interpolation de Liszka-Orkisz et garde en mémoire les évaluations exactes
des générations précèdentes. Ces deux méthodes sont appliquées à un problème
3D d’optimisation de forme en forgeage, avec un critère combinant l’énergie totale
de forgeage et une fonction de mesure de défaut.
On présente des résultats numériques qui illustrent l’efficacité de ces algorithmes.
Time domain formulation of sampling methods for inverse
scattering problems
H. Haddar
DEFI/INRIA Saclay - Île-de-France & CMAP/Ecole Polytechnique.
[email protected]
We propose and analyse theoretical and numerical extension of so called sampling methods to solve inverse scattering problems with time dependent measurements of scattered fields. We focus on the scalar problem and the reconstruction
of the geometry of obstacles with Dirichlet boundary conditions. In a first step
we analyze the Linear Sampling Method for near field data. Then we investigate
the application of the Factorization method in the case of farfield data.
22
Topological sensitivity analysis to solve geometrical inverse
problems
M. Jaoua
Université Française d’Egypte, Egypt.
[email protected]
The present work presents the use of topological asymptotic analysis in setting
up algorithms to solve inverse problems. Two problems shall be considered : the
detection of small cavities in Stokes flow from over-specified boundary data, and
the identification of the plasma confinement zone in a tokamak.
The first problem arises for example in moulds filling, since the industrial
process may generate small gas bubbles which are trapped inside the material
while solidifying. The inverse problem aims to locate these defects in order to
decide whether the moulded piece is safe or not. The forward problem simulation
relies on quite complex and heavy models, based on the incompressible NavierStokes equations in the liquid phase, and taking into account the liquid-gas free
surface as well as the solidification process.
In this work we assume that the mould is filled with a viscous incompressible
fluid and we aim to locate the unknown gas bubbles locations from boundary
measurements. The velocity and pressure of the liquid particles are governed by a
simplified model based on the Stokes equations. The gas bubbles are modelled as
small cavities having an homogeneous Neumann condition on their boundaries.
We rephrase the geometrical inverse problem under consideration into an
optimal design one. The optimal design functional to minimize in order to find
out the flaws is the misfit, with respect to some appropriate norm, between a
”Dirichlet” solution based on the measurements, and a ”Neumann” one based on
the prescribed loads. To minimize this misfit functional we resort the topological
gradient method. It consists in studying the sensitivity of the cost function with
respect to a small topological perturbation of the domain.
In the theoretical part, we derive a topological sensitivity analysis for the
Stokes system with respect to the insertion of a small flaw in the fluid flow domain
with Neumann condition on the boundary. The obtained results are general and
valid for a large class of cost function. The topological sensitivity of the misfit
functional with respect to the presence of a “small flaw” is computed , and
it turns out to rely only on quantities needing to be computed on the safe domain.
In the numerical part, we propose a simple, fast and accurate identification
procedure. The flaws location are obtained as the most negative local minima
of the discrepancy functional sensitivity. The efficiency of the proposed method
23
is illustrated by several numerical experiments. The sensitivity of the proposed
method to some numerical parameters or practical possibly occurring situations
such as the relative mesh/flaw size, the flaw’s depth, the noisy data and the
multi-flaws situations are discussed.
As for the Tokamak problem, the topological asymptotics seem to be an
appropriate approach. As results need to be computed in real time, as the
experiment is running, a fast method is indeed mandatory, even at the price of
accuracy.
The difference here is that the operator, i.e. the Grad-Shafranov one, is a non
constant coefficients one. However, the asymptotic analysis runs the same way,
with similar though slightly different technicalities. The topological sensitivity
expressions are calculated for both the Dirichlet and Neumann boundary condition
on the flaw boundary. The so computed expressions are numerically validated, but
their use as a main tool to find out the confinement zone still needs to be improved.
The point is that, unlike the location of small flaws, which can content with that
of their centers, more accuracy is here needed on the boundary location. The ”one
shot” algorithms might thus be not enough, and the first obtained results indeed
lack accuracy. Our ongoing work is focusing on this issue, as well as on the use of
various discrepancy functions.
24
On the use of Slepian Basis Functions for an Inverse Problem in
Physical Geodesy
M. Moakher
Based on a joint work with Amine Abdelmoula and Bernard Philippe
LAMSIN/ENIT-Tunis, Tunisie.
[email protected]
Abstract
We solve a geodetic inverse problem for the determination of a distribution
of punctual masses (characterized by their intensities and positions), such
that the generated potential best approximates a given potential field. On
the whole earth a potential function is usually expressed in terms of spherical
harmonics which are basis functions with global support. The identification
of the two potentials is done by solving a least-squares problem. When only
a limited area of the earth is studied, the estimation of the point-mass parameters by means of spherical harmonics is prone to error, since they are no
longer orthogonal over a partial domain of the sphere. The construction of a
local spherical harmonic basis that is orthogonal over the specified limited domain of the sphere, allows us to treat the local point-mass determination problem.
A propos de quelques problèmes de fluides
K. Najib
Ecole Nationale de l’Industrie Minérale, Rabat
B.P.753 Rabat-Agdal, Maroc.
[email protected]
Résumé
On étudie un problème d’intrusion marine avec le modèle d’interface nette
dans un aquifère libre. Le modèle est un système couplé en dimension deux de
deux équations paraboliques dégénérées. L’analyse de ce système présente deux
difficultés : le couplage des deux équations et la dégenérescence. On établit un
théorème d’existence et des estimations d’erreur à priori.
On présente des résultats numériques pour valider le modèle.
25
Modélisation mathématique comme outil, culture et discipline de
service
A. Namir
Faculté des Sciences Ben M’Sik - Casablanca, Maroc.
[email protected]
Les mathématiques appliquées font de nos jours l’objet d’une intense activité
scientifique. Elles sont devenues actuellement comme un outil, une culture et
une discipline de service pour les autres sciences. Les phénomènes rencontrés
en Physique, en Chimie, en Biologie, en Médecine, en Economie et d’une façon
générale en Sciences de l’Ingénieur en témoignent quotidiennement. Puisque un
bon nombre de ces phénomènes sont représentés par des images mathématiques
qu’on appelle modèles mathématiques. Ces modèles mathématiques définissent
mathématiquement l’état du système considéré. Cet état peut être une évolution
ou un mouvement ou une production . . .
Une fois le modèle mathématique est précisé, c’est l’étape de la modélisation
mathématique, on passe à l’analyse théorique (contrôler et commander ou
observer, estimer et prévoir ou étudier la stabilité et stabiliser ou optimiser
c’est-à-dire maximiser ou minimiser, . . . ). Puis passer à la simulation numérique
(approximer la solution théorique pour qu’elle soit exploitable par l’Ingénieur
ou l’Automaticien ou l’Economiste). Et en fin passer à la confrontation avec
l’expérience c’est-à-dire la mise en uvre pratiquement de qui ce qui est trouvé
théoriquement et numériquement.
Notre objectif principal consiste à expliquer partiellement pourquoi la
modélisation mathématique est devenue indispensable et une démarche de base
dans :
1. La préparation des expériences, des essais et leurs interprétations.
2. Les études techniques.
3. Les développements.
4. Les fabrications.
5. La maintenance.
6. La fiabilité.
7. La sécurité pour les techniques modernes.
8. Etc.
26
Non-parametric Performability Estimation for Semi-Markov
Processes : An Application to Credit Risk
B. Ouhbi
Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers,
Marjane II, Meknès Ismailia, B.P. 4024
Béni M’Hamed, Meknès, Maroc.
[email protected]
Abstract
In this paper the evolution of the semi-Markov process with finite state space
is considered. We propose a procedure for non-parametric estimation for the expectation of a functional of semi-Markov process. The functional considered here
generalize those known in performability studies literature. It is seen that this
estimator is Strongly consistent and the weak convergence is proved for this estimator. An implementation of the method is presented, based on nonparametric
estimators of the conditional hazard rate functions. We use the resulting estimators for dealing with a central issue in credit risk. We consider the problem of
obtaining estimates of the historical corporate default and rating migration probabilities using a dataset on credit ratings.
Keywords : Performability, Semi-Markov processes, Non-parametric estimation,
Credit risk.
References
[1] Alvarez, E.E.E. (2005), Smoothed Nonparametric Estimation in Window Censored semi-Markov Processes, Journal of Statistical Planning and Inference Vol
131, pp 209- 229.
[2] Lando, D. and T.M. Skdeberg (2002), Analyzing rating transitions and rating
drift with continuous observations, Journal of Banking and Finance, Vol 6, pp
423-444.
[3] J. Janssen and R. Manca (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability, Springer Science+Business Media.
[4] B. Ouhbi and N. Limnios (1999), Non-parametric estimation for semi-Markov
processes based on its hazard rate. Statist. Infer. Stoch. Processes 2(2), pp 151173.
[5] B. Ouhbi and N. Limnios (2003), Non-parametric Reliability Estimation of
Semi- Markov Processes. J. Statist. Plann. Infer., Vol. 109(1/2), pp. 155-165.
[6] B. Ouhbi and N. Limnios (2006), Nonparametric Estimation of Integral
Functionals for Semi-Markov Processes with Application in Reliability, Statistical Models and Methods for Biomedical and Technical systems, F. Vonta et
al.(Eds),Birkhauser, pp : 405-419.
[7] R. Pyke and R. Schaufele (1966), The existence and uniqueness of stationary
measures for Markov renewal processes. Ann. Math. Statist., 37 : 1439-1462.
27
[8] R. Pyke (1961), Markov renewal processes : définitions and preliminary properties. Ann. Math. Statist., 32 : 1231-1241.
28
Correction d’une décomposition spectrale approchée pour une
matrice symétrique
F. Jézéquel1 and B. Philippe2
1
LIP6, Paris, France.
[email protected].
2 INRIA de Rennes, France.
[email protected]
Définition du problème. Dans certaines applications physiques, on voit
apparaı̂tre une suite de matrices symétriques (Ak )k≥0 ⊂ Rn×n représentant
l’évolution d’un opérateur en fonction d’un paramètre tel que le temps. On se
place dans le cas, où l’on cherche à déterminer toutes les décompositions spectrales de ces matrices. Si la dépendance par rapport au paramètre n’est pas trop
rapide, on peut espérer tirer profit de la connaissance du spectre d’une matrice
voisine. Supposons que l’on connaisse la décomposition spectrale Ak = Uk Dk UkT ,
où Uk est la matrice orthogonale des vecteurs propres de Ak et Dk une matrice
diagonale, dont la diagonale principale porte les valeurs propres de Ak . Alors en
considérant
Bk+1 = UkT Ak+1 Uk ,
(1)
on peut espérer que cette matrice est presque diagonalisée, c’est-à-dire qu’une
base Vk+1 de ses vecteurs propres est proche de l’identité. Si on détermine cette
matrice, on pourra alors écrire
T
T
, avec Uk+1 = Uk Vk+1
(2).
Bk+1 Vk+1 = Dk+1 , et donc Ak+1 = Uk+1 Dk+1 Uk+1
Vk+1
La décomposition spectrale totale d’une matrice symétrique d’ordre n peut
être réalisée directement à un coût de 9n3 + O(n2 ) opérations (tridiagonalisation
puis méthode QR, voir [1]). Pour qu’une méthode par correction soit efficace, il
faut que (i) le calcul de Bk+1 , (ii) sa diagonalisation et (iii) le changement de
base entraı̂nent au total moins d’opérations que la méthode directe. L’étape (i)
nécessite 3n3 + O(n2 ) opérations (en tenant compte de la symétrie de Bk+1 ) et
l’étape (iii) nécessite 2n3 opérations ; on aboutit alors à la contrainte que le nombre
d’opérations Ck+1 pour la diagonalisation de Bk+1 doit vérifier
Ck+1 ≤ 4n3 + O(n2 ).
(3)
Cette contrainte est à moduler en fonction des architectures et du type des calculs ;
par exemple, les produits de matrices sont souvent les procédures qui permettent
les plus grands débits de calcul sur les architectures modernes.
Correction par la méthode de Jacobi. La méthode classique de Jacobi
[1] est une méthode itérative qui consiste à appliquer successivement des transformations J(is , js , θs ) à la matrice B [0] = Bk+1 , avec is < js , pour s ≥ 0
29
et tels que les éléments d’indices (is , js ) et (js , is ) de la matrice B [s+1] =
J(is , js , θs )T B [s] J(is , js , θs ) soient annulés. Les matrices J(is , js , θs ) prolongent
à l’espace Rn entier une rotation qui diagonalise la matrice 2x2 extraite de
[s]
B [s] = (βij ) aux lignes et colonnes is et js . En définissant par off(M ) la norme
de Frobeniusq
de la partie hors diagonale d’une matrice carrée M = (µij ) d’ordre
P
2
n (off(M ) =
i6=j µij ), on a à l’étape s
[s]
off(B [s+1] )2 = off(B [s] )2 − 2(βis js )2 .
(4)
La méthode de Jacobi classique consiste à annuler à chaque étape un élément
hors diagonal de plus grande valeur absolue de manière à converger au plus vite.
Pour éviter une recherche de ce plus grand élément à chaque étape, on préfère
procéder par balayage avec seuil : un balayage est l’application d’une seule rotation
successivement sur tous les élements hors diagonaux (donc n(n−1)
rotations) du
2
moment que la valeur absolue de l’élément est supérieure à un seuil. Chaque
rotation est accumulée dans une matrice : V0 = I et Vs+1 = Vs J(is , js , θs ). Quand
le critère de convergence est satisfait, alors on choisit Dk+1 = B [s] et Vk+1 = Vs .
En tenant compte de la symétrie, l’application de la rotation de l’étape (4)
nécessite 6n+O(1) opérations. La mise à jour de la matrice des vecteurs propres en
nécessite autant. Donc au total 12n + O(1) opérations par rotations. Un balayage
complet entraı̂ne donc 6n3 + O(n2 ) opérations. On espère que, dans notre cas,
un balayage réel ne comporte que quelques rotations. Pour être efficace, cette
approche doit converger en moins d’un équivalent des 2/3 d’un balayage.
Correction par développement limité des projecteurs spectraux. La
matrice Bk+1 définie en (1) peut être décomposée en Bk+1 = D + ∆ où la matrice
D est diagonale et la matrice ∆ est considérée comme une perturbation. Dans
[3], on considère le développement de Taylor des projecteurs spectraux de D + ∆
en fonction de ∆. Ce développement est obtenu à travers le développement de la
résolvante dans le théorème spectral (voir [2]) qui caractérise le projecteur spectral
de la matrice D + ∆ correspondant aux valeurs propres incluses dans un intervalle
J, diamètre d’un cercle Γ :
Z
1
PD+∆,J =
(5)
(zI − D − ∆)−1 dz = PD,J + T (1) + T (2) + R,
2πi Γ
où PD,J est définie par une partie de la base canonique de Rn et où
kRk = O(k∆k3 ).
La correction de premier ordre V = PD,J +T (1) nécessite 2n2 +O(n) opérations
et celle de deuxième ordre V = PD,J +T (1) +T (2) nécessite 2n3 +O(n2 ) opérations.
Dans les deux cas, il est nécessaire d’orthogonaliser les vecteurs obtenus, ce qui
nécessite 2n3 + O(n2 ) opérations (algorithme de Gram-Schmidt modifié [1]) et
3n3 + O(n2 ) opérations supplémentaires pour transformer la matrice avec la nouvelle base trouvée. Il en ressort que le seul espoir est d’appliquer des corrections
de premier ordre et de les limiter à une ou deux itérations.
30
Essais numériques. Des essais montreront que : (i) la méthode par correction du spectre est en général moins coûteuse que la méthode de Jacobi ; (ii)
les méthodes ne peuvent rivaliser avec l’algorithme classique (Tridiagonalisation+QR) que lorsque la norme kAk+1 − Ak k est faible.
References
[1] G. H. Golub and C. F. Van Loan. Matrix computations. The John Hopkins
University Press, Baltimore and London, 3rd edition, 1997.
[2] T. Kato. The perturbation theory for linear operator. Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, New-York, 1980.
[3] B. Philippe. Perturbation de la décomposition spectrale d’une matrice
hermitienne, rapport de recherche INRIA n˚269, Rocquencourt, février 1984.
31
Transport optimal et imagerie médicale dynamique
J. Pousin
INSA de Lyon, France.
[email protected]
L’objectif de l’imagerie cardiaque dynamique est de reconstituer le mouvement du
coeur à partir d’images de coupes 2D de celui-ci à des temps fixés. Je montrerai
que l’utilisation de méthodes de transport optimal dans ce contexte est appropriée.
La possibilité de traiter des contraintes ponctuelles non convexes afin de prendre
en compte des informations issues d’autres modalités, ou de définir des zones
d’intérêt est aussi possible.
Le modèle mathématique couramment utilisé pour décrire le mouvement d’un
objet est le flot optimal ou le flot optimal étendu, qui exprime respectivement l’invariance du niveau de gris des pixels au cours du mouvement (ou plus précisément
sur les trajectoires des pixels) ou la conservation de la quantité de gris (masse de
gris). Si nous notons ρ la fonction intensité de gris, et par v la vitesse du mouvement apparent de la brillance ou de l’intensité de gris une suite d’images est
considérée via l’application niveau de gris ρ : Q = (0, 1) × Ω → IR où Ω ⊂ IRd ,
le support des images, pour d = 1, 2, 3, est un domain Lipschitzien borné. Si les
points de l’image se déplacent avec un champ de vitesse v : Q → IRd , alors sur
les trajectores X(t, x), les valeurs du niveau de gris ρ(t, X(t, x)) sont constantes.
C’est ce que traduit l’équation du flot optique standard :
∂t ρ(t, X(t, x)) + v · ∇x ρ(t, X(t, x)) = 0.
(1)
L’hypothèse que le niveau de gris ne change pas au cours du mouvement est
parfois trop restrictive. Une hypothèse plus faible est considérée qui remplace la
constance du niveau de gris par la conservation de la masse de gris et qui est
appelée l’équation du flot optique généralisé. Elle s’écrit :
∂t ρ + v · ∇x ρ + div (v)ρ = 0.
(2)
L’équations précédente conduit à un problème mal posé pour les inconnues
(ρ, v). Des formulations variationnelles ou des problèmes de minimisation relaxés
pour calculer simultanément (ρ, v) ont été proposés, d’abord par [?] puis après par
beaucooup d’autres auteurs. Ici notre propos est quelque peu différent. Trouver
(ρ, v) simultanement est possible en résovant le problème de transport optimal de
masse (voir le problème ).
Soit ρ0 et ρ1 les images cardiaques entre deux temps arbitrairement fixés à
zero et un, le problème mathématique s’énonce (voir Benamou-Brenier) : trouver
ρ la fonction niveau de gris définie de Q à valeurs dans [0, 1] veriant
∂t ρ(t, x) + div(v(t, x)ρ(t, x)) = 0, in (0, 1) × Ω;
ρ(0, x) = ρ0 (x); ρ(1, x) = ρ1 (x).
(3)
32
la fonction vitesse v est déterminée telle qu’elle minimise la functionnelle suivante
où distance au carré de Wasserstein-Kantorovich :
Z 1Z
inf
ρ(t, x)kv(t, x)k2 dtdx.
(4)
ρ,v
0
Ω
Ainsi nous obtenons une suite d’images au travers de l’application niveau de gris
ρ pour tous les temps entre l’image de départ ρ0 et l’image d’arrivée ρ1 .
Pour les propriétés générales du transport optimal, nous renvoyons au livre de
C. Villani.
33
Techniques de contrôle et d’Optimisation des Micro-réseaux
Intelligents et des Systèmes de puissance
Ahmed Ouammi, Roberto Sacile
University of Genoa, Faculty of Engineering, Genoa, Italy.
[email protected]
Les problèmes d’énergie sont aujourd’hui si aigus au niveau international qu’il
n’est plus possible de satisfaire les besoins en énergie constamment croissants,
tout en continuant d’exploiter, comme par le passé, une gamme de ressources
trop limitée. Il en résulte que la communauté internationale est confrontée
au défi immédiat de faire des changements structurels, économiques, sociaux,
technologiques et environnementaux exigés par la transition à l’ère nouvelle de la
diversification des sources énergétiques à travers notamment une utilisation plus
large des énergies renouvelables.
L’émergence de productions décentralisées, renouvelables ou cogénération,
ainsi que l’objectif fixé par la commission européenne d’efficacité énergétique à
l’horizon 2020 imposent de modifier le mode de gestion classique du réseau pour
y intégrer plus de sources renouvelables dont beaucoup sont prévisibles. Nous
disposons de ressources en énergie renouvelable inépuisables, que nous sommes
en mesure d’exploiter de plus en plus facilement et proprement. Néanmoins,
longtemps négligées, les techniques de génération de la puissance à partir
des ressources renouvelable nécessitent des recherches et développements plus
approfondis visant à fiabiliser et à baisser les coûts de fabrication, d’usage et de
maintenance, ainsi que d’augmenter l’efficacité énergétique. L’évolution relative à
l’approvisionnement en énergie, à son coût et à son importance dans l’économie, a
conduit tous les pays à mettre en uvre des politiques visant à améliorer l’efficacité
des modes de consommation énergétique, à accroı̂tre sa conservation, à explorer
et mettre en valeur des sources d’énergies nouvelles et renouvelables.
Les systèmes de distribution actifs sont l’une des mesures les plus prometteuses pour l’introduction de sources d’énergie renouvelables dans les systèmes
de distribution. Ils ont la capacité de permettre l’intégration des ressources
énergétiques distribuées à un coût raisonnable, ouvrant de nouvelles opportunités
commerciales. L’intégration des sources d’énergie renouvelables a favorisé la
pénétration de la production distribuée d’énergie à proximité des consommateurs.
Ces systèmes peuvent comprendre plusieurs technologies, comme les microturbines, les modules photovoltaı̈que, les éoliennes, les piles à combustible et
d’autres.
Un micro-réseau est une interconnexion des points de production d’énergie
décentralisée intégrés aux dispositifs de stockage, et les réseaux de distribution
de basse tension. L’intérêt croissant pour micro-réseau est causé par la croissance
34
considérable des énergies renouvelables et des systèmes de production distribués.
En outre, l’interconnexion entre les sources de production peut offrir de grandes
opportunités pour la fiabilité et la stabilité globale du système. Par conséquent,
une bonne coordination, gestion, contrôle, optimisation et communication entre
ces sources distribuées constituent une solution permettant une utilisation
optimale. Un des principaux avantages des micro-réseaux est la possibilité
d’utiliser une exploitation coopérative des sources d’énergies renouvelables et
les points de production distribués malgré leur séparation physique. En d’autres
termes, chaque micro-réseau peut échanger de puissance avec les autres réseaux
afin de satisfaire les demandes. Du point de vue de la coopération, une approche
de contrôle optimal peut jouer un rôle clé en cas de présence d’un seul décideur
ayant pour but l’obtention d’une stratégie optimale pour l’échange de puissance
entre l’ensemble du système de micro-réseaux, afin de stocker l’énergie au niveau
local, et d’acquérir de l’énergie du réseau principal.
L’objectif est de présenter un modèle d’aide à la décision optimale dans un
réseau de micro-réseaux, qui est formalisé comme un problème d’origine discrète
et centralisée, défini comme un réseau de coopération des réseaux électriques
intelligents. Les variables du contrôle sont les flux de puissances instantanés
échangés entre les micro-réseaux, et qui peuvent être obtenus à partir de la
solution d’un problème linéaire quadratique gaussien (LQG) sur un horizon
temporel fixe. L’État du système est représenté par l’énergie stockée dans chaque
micro-réseau. L’objectif est de minimiser les variations de l’énergie stockée dans
chaque dispositif de stockage à partir d’une valeur de référence, ainsi que de
minimiser l’échange d’énergie entre les micro-réseaux.
Chaque micro-réseau est modélisé par différentes modules, consommation domestique, système de production d’énergie, système de stockage, les flux de puissance interne/externe et unité de contrôle. Figure 1 représente le modèle d’un
micro-réseau.
Figure 1 : modèle d’un micro-réseau.
35
Détermination de la distribution de probabilité de solutions
numériques de problèmes dépendant de variables aléatoires
J. E. Souza de Cursi
LMR - INSA de Rouen, France.
[email protected]
Cet exposé concerne la détermination de la loi de probabilité associée à la solution
numérique d’un problème conprenant des variables aléatoires.
Considérons à titre d’exemple une équation algébrique de la forme
F (x, z) = 0,
où l’inconnue est x et z est un paramètre. Dans une telle situation, la solution
x dépend de z et l’équation définit une fonction implicite = x(z). Lorsque z est
une variable aléatoire, pour chaque valeur possible z = z(ω), la solution prend la
valeur x(ω) = x(z(ω)), de manière que x devient une variable aléatoire.
Nous nous intéressons ici à la détermination de la distribution de probabilité
de x lorsque des informations concernant celle de z sont disponibles.
Par exemple, nous pouvons considerer une variable aleatoire connue r (pour
N
X
”random”) et construire une seconde variable aleatoire X =
xi φi (r) telle que
i=1
x ≈ X ou, plus simplement, ayant une distribution proche de celle de x par de
differentes methodes :
– Si la distribution du couple (r, z) peut être déterminée (ou estimée), il est
possible de considérer le système d’équations E(φi (r)F (X, Z)) = 0, i =
1, . . . , N pour les inconnues (x1 , . . . , xN ) dont la résolution permet la
détermination de ces coefficients.
– Lorsqu’un echantillon {(ri , zi )}1≤i≤ns du couple (r, z) peut etre construit,
ns
X
1
nous pouvons considerer E(φi (r)F (X, Z)) ≈ ns
φi (rk )F (X, zk ) (api=1
proximation de la moyenne par la moyenne empirique), puis determiner
les coefficients (x1 , . . . , xN ) de la meme maniere.
– Une autre approche consiste en determiner les coefficients en minimisant une
distance ou, plus generalement, pseudo-distance d(x, X), telles par exemple,
kx − Xk ou kMp (x) − Mp (X)k (avec Mp (u) = (E(u), . . . , E(up ))) (vecteur
des moments jusqu’à l’ordre p). Comme pour l’approche précédente, il est
possible de construire un échantillon {(ri , zi )}1≤i≤ns , ce qui permet de determiner x = (x(z1 ), . . . , x(zns )), ainsi que les valeurs X = (X(r1 ), . . . , X(rns )).
36
Les coefficients en minimisant une sistance ou pseudo-distance d(x, X), telle,
ns
ns
X
1 X p
1
kx − Xk ou kMp (x) − Mp (X)k (avec Mp (u) = ( ns
ui ).
ui , . . . ,
ns
i=1
i=1
Le choix de la variable r et des fonctions de base φi a une influence sur la qualite
du resultat et doit etre analyse. Le choix le plus simple, mais qui reste neanmoins
efficace consiste a prendre r = z et {φi }i∈N une base ou famille totale de L2 (a, b),
avec a et b convenables.
Cette approche s’étend à de nombreuses situations, telles par exemple :
– Systèmes linéaires A(z)x = B(z)
– Détermination de valeurs et vecteurs propres A(z)x = λx
– Optimization sans contrainte : x = argminy∈Rn J(y, z)
– Optimization sous contrainte : x = argminy∈C J(y, z)
– Systèmes d’équations non linéaires F (x, z) = 0
– Equations différentielles
– Calcul de cycles-limite . . .
Dans un souci d’efficacité, il est souhaitable d’intégrer ces approximations dans les
algorithmes numériques, tels, par exemple, la méthode de Newton, les puissances
ou sousespaces itérés, les méthodes de descente etc. Nous présenterons quelques
exemples illustrant une telle approche.
References
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Multidisciplinary Optimization, Lisboa, Portugal, 2009.
Lopez, R. H ; Souza de Cursi, J. E. Approximation of random variables having an optimization process as non-linear filter In : XXX CILAMCE, Búzios,
RJ, Brésil, 2009.
Lopez, R. H ; Souza de Cursi, J. E ; Lemosse, D. Approximating the probability density function of the optimal point of an optimization problem.
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Croquet, R ; Souza de Cursi, J. E. Statistics of Uncertain Dynamical Systems. In :
Tenth International Conference on Computational Structures Technology, 2010,
Valencia. Proceedings of the Tenth International Conference on Computational
Structures Technology, 2010.
37
Planification de trajectoires et analyse d’atteignabilité
H. Zidani
ENSTA de Paris, France.
[email protected]
Nous nous intéresserons à la planification de trajectoires pour des systèmes
dynamiques nonlinéaires. Ce sujet a suscité un grand intérêt en théorie du
contrôle. Nous donnerons ici un cadre général basé sur des techniques de
commande optimale et sur la résolution d’équations nonlinéaires de type
Hamilton-Jacobi (HJ).
Cette approche fournit un outil performant pour étudier et analyser de
nombreuses applications, comme le problème de cible et/ou obstacles mobiles, le
cas de modèles soumis à des incertitudes, ou encore des problèmes de jeux
différentiels.
La pertinence de l’approche sera montrée sur plusieurs exemples numériques
(planification de trajectoires avec évitement d’obstacles).
38
Sessions invités
39
Dynamics of harvesting linear discrete-time models : Projected
system
S. Achchab
Ecole Nationale Supérieure d’Informatique et d’Analyse des Systèmes,
Madinat Al Irfan, B.P. 713 Agdal Rabat, Maroc.
[email protected]
Abstract
We consider in this paper a linear time varying discrete-time systems, that
describe a dynamics of harvesting stage-structured population. An associated
system on projective space is introduced as a basic tool to understand the linear
dynamics. We study controllability properties of this system and this asymptotic
behavior on projective space.
Keywords : Time-varying, discrete-time, controllability, harvesting term,
life cycle, stage-structured population, projected system.
References :
[1] E. Akin, The general Topology of Dynamical Systems, Grad. stud. Math. 1,
American Mathematical Society, Providence. RI, 1993.
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periodic age-dependent population dynamics, SIAM J. Appl. Math, 58(1998), pp.
1684-1666.
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discrete models, J. Biological Systems 3, 603-612 (1995).
[5] H. Caswell, Matrix Population Models, Sunderland, Sinauer Associates Inc.
(1989)
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stability of linear stochastic systems, Theory Probab. Appl., 12 (1967), pp.
144-147
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for Discrete-time systems, Systems control Lett., to appear.
[8] F. R. Wirth, Dynamics of time-varying Discrete-time Linear Systems :
Spectral Theory and the Projected System, SIAM J. Control Optim, 36 (1998),
pp. 447-487. 6
40
Stopping criteria for data boundary recovering
B. Achchab1 , A. Ben Abdab2 and A. Sakat3
1
LM2CE and LMASAD, Hassan 1st University,
Economics Sciences Faculty of Settat
and Higher School of Technology (EST),
B.P. 218, Berrechid, Morocco.
[email protected]
2
LAMSIN, National Engineering School of Tunis,
BP 37, 1002 Tunis Belvédère, Tunisia.
[email protected]
3
Département de Mathématiques et Informatique,
Faculté polydisciplinaire de Safi,
UCAM, Morocco.
abdeljalil [email protected]
Abstract
In this work, we define a posteriori error estimator for data completion
method for the Cauchy problem for Laplace equation ; the lower and upper
bound for the error is obtained. This estimator is used as a stopped criteria and
give knowledge of the stability of the problem. Numerical application is given for
the conjugate gradient method of data completion.
Keywords : Cauchy problem, Laplace equation, data completion problem,
a posteriori error estimation, conjugate gradient method.
Résumé
Dans ce travail, on définit un estimateur d’erreur à posteriori pour le problème
de complétion de données pour l’équation de Laplace. Cet estimateur peut être
utilisé comme un teste darrêt ou comme indicateur sur la stabilité du problème.
Enfin on présente une application numérique pour une méthode de complétion
de données.
Mots-Clés : Problème de Cauchy, l’équation de Laplace, complétion des
données, estimation d’erreur à posteriori, méthode du gradient conjugué.
References :
[1] S. ANDRIEUX, A. BEN ABDA AND T. N. BARANGER, Solving Cauchy
41
problems by minimizing an energy-like functional, Inverse Problems 22, 115-133,
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the Faculty of Graduated Studies in Partial Fulfillment of Requirements for the
Degree of Doctor of Philosophy, 1993.
42
Etude Numérique d’Écoulement Non-Newtonien dans
une Artère Partiellement Occluse (la Sténose)
S. Boujena1 , A. Boukbir1 , N. El Khatib2 et O. Kafi1
1
Université Hassan II-Casablanca, Faculté des Sciences,
B.P 5366. Maarif. Casablanca
2 INRIA Sophia Antipolis.
[email protected] ; [email protected],
[email protected] ; [email protected]
Le sang a pour rôles le de transport d’espèces chimiques vers les organes cibles ;
la régulation de la température, du pH et de la balance hydro électrolytique ; la
défense contre les corps étrangers et la prévention des hémorragies par coagulation.
La troisième fonction implique, en particulier, l’amarrage de lymphocytes
sur la face mouillée de l’endothélium vasculaire puis la traversée de la paroi. Un
phénomène similaire participe à la constitution des plaques athéromateuses. Le
stade initial de l’athérogénèse est caractérisé par l’accumulation de lipoprotéines
dans la couche sous-endothéliale, lorsque le flux entrant n’est plus compensé par le
flux sortant. Ces molécules sont ensuite capturées par les macrophages circulants,
attirés dans la paroi où ils vont former des cellules spumeuses. Ce processus
auto-amplifié est compensé par la sécrétion de cytokines anti-inflammatoires(antiinflammation biochimique) et la migration des cellules musculaires lisses pour
former une chape fibreuse qui couvre le noyau lipidique. Cette chape fibreuse
avec le noyau lipidique s’appellent la plaque d’athérosclérose. Celle-ci change la
géométrie du vaisseau sanguin en le rétrécissant et interagit avec du flux sanguin.
Cette interaction peut avoir des conséquences dangereuses liées à la rupture de
plaque ou à la formation du caillot de sang.
Figure 1 : Schéma simplifié d’une chape fibreuse avec le noyau lipidique.
Les dépôts de particules convectées sont préférentiellement localisés dans les
régions où le gradient de la vitesse à la paroi est faible, c’est-à-dire lorsque le
temps de résidence à proximité de la paroi est plus long, comme, par exemple,
43
à la frontière d’un décollement. Il est donc primordial d’étudier la structure de
l’écoulement du sang au niveau de la sténose tout en analysant l’influence des
facteurs géométriques sur la déformation des champs de vitesse et de la pression.
Nous avons mis en œuvre un code numérique aux éléments finis sous Free FEM
permettant d’approximer numériquement les champs de vitesse et de pression en
tenant compte de l’écoulement non-Newtonien du sang en présence d’une sténose.
Nous avons, pour cela, considéré un écoulement en régime permanent, dans un
domaine géométrique bidi-mentionnel comportant une sténose. Nous avons réalisé
des simulations pour des fluides non-Newtonien suivant différentes lois de comportement. Les équations utlisées dans notre modèle sont des équations de NavierStokes fortement non linéaires, avec comme conditions aux limites en entrée le
Womersley qui est la fonction qui représente le mieux les pulsations du coeur,
en sortie il semble naturel de laisser le fluide faire ”ce qu’il veut” puisqu’on a
des sorties droites et nous avons finalement supposé que u = 0 sur les parois du
vaisseau :

Conservation de la quantité de mouvement :







∂u

sur Ω, t > 0


∂t + (u.∇)u − ∇.(2η(∇u)D(u)) + ∇p = f







Conservation de la masse (incompressibilité) :








∇.u = 0
sur Ω, t > 0







Conditions aux limites :




u =0
sur Γ1 , t > 0



∂u


pn − η(∇u) ∂n = 0
sur Γ2 , t > 0




u
=
0
sur
Γ3 , t > 0



2π
∂u

pn
−
η(∇u)
=
p
sin(
t)n
sur
Γ4 , t > 0

in
∂n
T







Condition initiale :







u =0
sur Ω, t = 0
où Γ1 et Γ3 représentent les parois, Γ4 l’entrée et Γ2 la sortie du vaisseau. n désigne
la composante normale extérieure et pin est la pression à l’entrée.
T)
étant le tenseur de déformations.
D(u) = (∇u+∇u
2
44
Modélisation spatial-temporelle des précipitations au
Maroc
K. Bouzaachaneb1 et Y. Benghabrit2
1
Ecole Supérieure de Technologie,
Département de Mathématiques et informatiques, Essaouira
2 Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers,
Université Moulay Ismail,
PB 4024, Meknès.
[email protected]
Résumé
Au Maroc, aucun système opérationnel n’existe réellement pour la prévision
tôt de l’année de sécheresse ou d’une année humide. La prévision face à un
scénario présumé de réchauffement global est très importante, en particulier pour
l’économie agricole au Maroc. Le besoin d’une modélisation adéquate de l’ensemble de données de précipitations est essentiel. Afin de prévoir une année de
sécheresse ou une année humide, nous avons besoin des modèles de prévisions de
précipitations qui peuvent exactement capturer les caractéristiques principales des
précipitations à travers l’espace et le temps.
Le but de ce travail est de choisir le modèle spatial-temporel adéquat pour les
données mensuelles de précipitations au Maroc.
Spatial-temporal Model for Rainfall Data of Morocco
Abstract
In Morocco, no operational system actually exists for the early prediction of
the drought year or a wet year. The prediction in the face of a hypothesized
global warming scenario is very important, particularly for agricultural economy
in Morocco. The need for accurate modelling of the rainfall data set is vital. In
order to forecast a drought year or a wet year, we need rainfall forecasting models
that can accurately capture the main characteristics of the rainfall across the
space and time.
The aim of this work is to choose the adequate spatial-temporal model for
monthly rainfall data in Morocco.
45
Existence analysis and numerical approximation to an inverse
free boundary problem.
A. Chakib1 , A. Nachaoui2 et M. Nachaoui1,2
1
Laboratoire de Mathématiques et Applications
Université Sultan Moulay slimane,
Faculté des Sciences et Techniques,
B.P.523, Béni-Mellal, Maroc.
2 Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
UMR6629 CNRS, Université de Nantes,
2 rue de la Houssinière, BP92208 44322
Nantes, France.
[email protected].
This work deals with an inverse problem for non coercive elliptic equation in a
free boundary domain. To solve this problem, we propose a shape optimal design
formulation. This is described by the following problem :

find Ω∗ ∈ Θad solution of




J(Ω∗ ) = inf J(Ω)


Ω∈Θad

Z


1


|T (Ω) − T0 |2 dσ
where
J(Ω)
=


2 Γ0
and T (Ω) the solution of





V · ∇T = ∇ · (λ∇T ) + f in Ω



 0

∂T


(SP )

= 0 on Γ0 ∪ Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3
λ




 ∂ν
T = Td on Γ4 , T = Tf on Γ,
where Ω is the domain with a free boundary part Γ, and V0 , λ and f are given
parameters. The quantities Td , T0 and Tf are given values of the solution in some
boundary. Θad denote the set of admissible domains.
In the shape optimization formulation that we propose, it appears a state
problem governed by a non-coercive equation. This complicate the study of the
existence of an optimal solution and more precisely, the uniform extension of the
solution of the state problem with respect to domain. In this work, we show the
existence of an optimal solution by using recent results on the uniform Poincaré
inequality, and some Sobolev inequalities. Then, we study the approximation of
this problem using the linear finite element method. More precisely, we show the
existence of a discrete optimal solution and we give the convergence analysis of
the discrete optimal solution, to the solution of continuous problem.
To give the numerical solution of this problem, we investigate the efficiency
of various evolutionary algorithms based on genetic algorithm [1] combined with
fuzzy logic [2]. The parallel version of these algorithms combined with the fuzzy
logic Controller, to form a hybrid methodologies, is tested and compared and
proved particulary promising. The numerical tests presented demonstrate the
46
computational advantages of discussed methods.
References
[1] Michalewicz Z. Genetic algorithms + data structure = evolution programs. Springer, 1999
[2] Mamdani E. H., Efstathiou H. J., and Sugiyama K., Developments in fuzzy
logic control, in Proc. 23rd Conf. on Decision and Control, pp. 888-893, Las
Vegas, NV, Dec. 1984.
47
Simulation numérique par méthodes spectrales des
transitions gouvernées par les équations de
Navier-Stokes d’un écoulement visqueux
incompressible : Etude de la stabilité linéaire
A. Cheddadi1 et E. El Guarmah2
1
Equipe de Recherche ”Systèmes Thermiques et Ecoulements Réels”,
Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, Université Mohammed V,
Avenue Ibnsina B.P. 765, Agdal, Rabat, Maroc.
2 Ecole Royale de l’Air, DFST, BEFRA,
Laboratoire de Mathématiques et Informatique,
Menara, Marrakech
[email protected] ; [email protected]
Résumé
Nous présentons dans ce travail une simulation numérique par méthodes spectrales d’un modèle d’écoulement gouverné par les équations de Navier-Stokes
couplées à celle de la chaleur. Le problème mathématique considéré est issu de la
modélisation de la convection naturelle dans un milieu fluide confiné entre deux
cylindres coaxiaux horizontaux isothermes, le cylindre intérieur étant le plus chaud
(Figure1). Ce problème continue à être le centre d’intérêt de plusieurs équipes de
recherche de par le monde. De récents développements peuvent être trouvés dans
[2, 3, 4, 5, 9].
Les hypothèses de bidimensionnalité de l’écoulement et les simplifications de
Boussinesq ont été adoptées, ce qui fait apparaı̂tre trois nombres sans dimensions,
importants pour notre étude : Rayleigh Ral basé sur l’épaisseur de la couche
annulaire, Prandtl Pr et rapport de forme R. Ensuite nous avons exprimé les
équations gouvernantes dans un système de coordonnés polaires en introduisant
la fonction de courant Ψ et le rotationnel de la vitesse ω. Une transformation
conforme transformant le domaine d’étude en domaine rectangulaire a été adoptée.
Un développement en séries de Fourier de la température, de la fonction de courant
et de la vorticité a été considéré. Il conduit à un système d’équations différentielles
du 2ème ordre couplées du type Helmholtz. Nous avons appliqué, enfin, la technique de discrétisation de Collocation, [1], pour obtenir des systèmes algébriques.
Différents points de Gauss-Lobatto sont utilisés.
48
Figure 1 : Géométrie annulaire
L’influence du choix des conditions initiales sur l’obtention de structures multicellulaires a été mise en évidence. La transition entre les écoulements unicellulaires
et multicellulaires a été observée et discutée.
Une des originalités de ce travail réside dans le traitement des conditions aux
limites, de type Dirichlet et Neumann, dans le cas d’un fluide à nombre de Prandtl
fini.
La stabilité de cet écoulement est en cours de traitement. Une première étude
de stabilité est menée dans une cavité rectangulaire ayant la géométrie de la
Figure 2. Le mouvement convectif est provoqué par les deux parois verticales
différentiellement chauffées, L étant la longueur de la cavité, H sa hauteur et
T0 la température. Les hypothèses de bidimensionnalité de l’écoulement et les
simplifications de Boussinesq ont été adoptées, ce qui fait apparaı̂tre trois nombres
sans dimension : Grashof Gr, Prandtl Pr et rapport d’aspect A.
L’étude est basée sur la théorie de stabilité linéaire envisageant une perturbation des équations du mouvement. Le cas des liquides à faible nombre de Prandtl
pour des conditions aux limites rigides a été considéré. Un grand nombre de travaux relatifs à ce problème sont référencés dans [6, 8]. La procédure de CollocationChebyshev est mise en œuvre pour résoudre un système d’équations différentielles
du 2ème ordre couplées. Différents points de Gauss-Lobatto sont utilisés. L’analyse
linéaire classique du problème a été effectuée, elle consiste à déterminer la valeur
critique de nombre de Grashof Gr en fonction de Pr pour laquelle l’écoulement
de base perd sa stabilité. Pour cela on cherche les valeurs propres du système
obtenu par suppression des termes non linéaires. La validation de la méthode a
été effectuée en comparant à un cas déjà étudié dans [7]. Les résultats obtenus
sont très satisfaisants.
Figure 2 : Cavité rectangulaire
49
Références
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Collocation-Chebyshev Procedure for the Numerical Simulation of Navier-Stokes
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des transi tions gouvernées par les équations de Navier-Stokes d’un écoulement
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transitions for natural convection in horizontal annuli, Int J Heat Mass Transfer,
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50
Contôle optimale des sytèmes distribués discrets :
quelques applications & perspectives
L. Chraibi
LABTIC, Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger,
B.P 1818 Tanger principale
[email protected]
Résumé
Au cours de ces dernières décennies, la théorie de l’analyse et de contrôle
des systèmes distribués, ne cesse de susciter un intérêt scientifique considérable,
il en témoigne le nombre important de publications et d’ouvrages réalisés dans
ce domaine. Littérature dans laquelle, l’analyse des systèmes distribués discrets
occupe une place importante ; ceci s’explique par la forte tendance chez l’ingénieur
et l’automaticien de formuler certains problèmes de contrôle par des modèles
discrets, ce qui permet alors d’épargner certaines complications mathématiques
comme le choix de l’espace et la régularité de la solution. En plus, la nature
discrète de la solution obtenue favorise une mise en œuvre pratique basée sur des
algorithmes numériques efficaces.
Dans cet exposé, nous proposons de faire un tour d’horizon sur les principaux
problèmes de contrôle optimal associés aux systèmes distribués discrets qui ont
été abordés par l’équipe du contrôle optimal sous la direction du Pr Jamila Karrakchou , tels que la contrôlabilité, le problème de contrôle linéaire quadratique
avec contraintes et les problèmes lié au routage de la trajectoire. Des applications
spécifiques aux systèmes de production et inventaire seront également présentées.
51
A Global Stochastic Optimization Method for Large
Scale Problems
W. El Alema,b , A. El Hamib et R. Ellaiaa
a
Laboratory of Study and Research in Applied Mathematics,
Mohammed V university
Engineering Mohammedia School,
BP. 765, Ibn Sina avenue,
Agdal, Rabat, Morocco.
b Laboratory of Mecanics of Rouen,
National Institute for Applied Sciences - Rouen
BP 08, university avenue 76801,
St Etienne du Rouvray Cedex, France.
[email protected]
Abstract
In this paper, a new hybrid simulated annealing algorithm for constrained
global optimization is proposed. We have developed a stochastic algorithm called
ASAPSPSA that uses Adaptive Simulated Annealing algorithm (ASA), ASA is
a series of modifications done to the basic simulated annealing algorithm (SA)
that gives the region containing the global solution of an objective function. In
addition, Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation (SPSA) method,
for solving unconstrained optimization problems, is used to refine the solution.
We also propose Penalty SPSA (PSPSA) for solving constrained optimization
problems. The constraints are handled using exterior point penalty functions.
The combination of both techniques ASA and PSPSA provides a powerful hybrid
optimization method. The proposed method has a good balance between exploration and exploitation with very fast computation speed, its performance as a
viable large scale optimization method is demonstrated by testing it on a number
of benchmark functions with 2 - 500 dimensions. In addition, applicability of
the algorithm on structural design was tested and successful results were obtained.
References :
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using orthogonal design method. Applied Mathematics and Computation 206
(2008), No. 1, 56–69
52
[4] Z. Huang, X. Miao, P. Wang. A revised cut-peak function method for box
constrained continuous global optimization. Applied Mathematics and Computation 194 (2007), No. 1, 224–233.
[5] D. G. Luenberger. Introduction to Linear and Nonlinear Programming.
Addison Wesley, 1973.
[6] S. Sitarz. Ant algorithms and simulated annealing for multicriteria dynamic
programming. Computers and Operations Research 36 (2009), No. 2, 433–441.
[7] J. C. Spall. Multivariate Stochastic Approximation using a Simultaneous
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37 (1992), No. 3, 332–341.
[8] J. C. Spall. Adaptive Stochastic Approximation by the Simultaneous Perturbation Method. IEEE transactions on automatic control 45 (2000), No. 10,
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[9] PJM. Van Laarhoven, EHL. Aarts. Simulated annealing : theory and applications. Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, Kluwer, 1987.
[10] L. Wang, K. Chen, Y. S. Ong (Eds). Advances in Natural Computation.
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Mathematics, 206 (2007), No. 2, 1015–1026.
53
Necessary and sufficient condition for stability of
generalized average
Aziz El Kaabouchia , Sumiyoshi Abe
a
a,b,c
Institut Supérieur des Matériaux et Mécaniques Avancés,
44 F. A. Bartholdi, 72000 Le Mans, France.
b Department of Physical Engineering,
Mie University, Mie 514-8507, Japan.
c Inspire Institute Inc., Alexandria,
Virginia 22303, USA.
Abstract
A class of generalized definitions of average is often employed in nonequilibrium statistical mechanics for complex systems. Here, the necessary and sufficient condition is presented for such a class to be stable under small deformations
of a given arbitrary probability distribution.
54
Etude du Modèle de Biot Stochastique
M. Lakhdar Hadji∗ et M. Riadh Remita∗∗
∗ LIRIMA-Département
de Mathématiques
Département de Mathématiques
Université Badji Mokhtar Annaba, Algérie.
∗∗ LANOS-
[email protected]
Le but de notre travail consiste à étudier l’existence et l’unicité du modèle de
Biot complet dégénéré [2] et [3], quand la force extérieure subit une perturbation
aléatoire, en utilisant la méthode de Faedo-Galerkin [1]. L’évolution d’un vecteur
u représentant le déplacement d’une structure solide et du champ scalaire p (pression d’un fluide), en fonction du temps est modélisé par le système d’équations
couplées, dans un milieu isotrope et de paramètres physiques variables

2
∂
(divu) − ∇((λ(x) + µ(x))divu) −
 ρ(x) ∂∂t2u − ∇(λ∗ ∂t
div(µ(x)∇u) + αn∇p = f (t, x)

∂u
c0 (x) ∂p
∂t + αdiv ∂t − div(k(x)n∇p) = h(t, x)
ρ est la densité du milieu poreux, λ∗ est le paramètre de consolidation
secondaire, c0 est un coefficient positif ou nul qui combine la porosité du milieu et
la compressilité de l0 ensemble fluide-solide et k(x) est un coefficient strictement
positif qui prend en compte la perméabilité du milieu et la viscosité du fluide, c0est
une mesure du flux obéissant à la loi de Darcy pour un gradient de pression donné.
References
[1] H. Barucq, M. Madaune-Tort, P. Saint-Macary, Some Existence-Uniqueness
Results for a Class of One-dimensionel Nonlinear Biot Models, Nonlinear analysis
61 (2005), pp. 591-612.
[2] M. A. Biot, Nonlinear and Semilinear Rheology of Porous Solids, J ; Geoph.
Res ; 78, 23 (1973), pp.597-620.
[3] P. Ladevèze, D. Leguillon, Error estimate procedure in the finite element
method and application, SIAM J. Numer. Anal. 20(30) : 485-509 (1983).
[4] A. Zenisek, The Existence and Uniqueness Theorem in BIot’s Consolidation
Theory, Aplikace Matemtily 29 (1984), pp. 194-211.
55
Quelles incidences économiques de quelques réformes fiscales
visant la promotion d’emploi ?
I. Haggouch
DEPF/Ministère de l’Economie et des Finances, Maroc.
[email protected]
Au moment où les problèmes de l’emploi se posent avec acuité dans notre
pays une évaluation quantitative s’impose. L’enjeu principal de cette dernière
est permettre un approfondissement de l’analyse du marché du travail au Maroc
de préciser le rôle des politiques des pouvoirs publics en matière d’éducation, de
formation et de protection sociale dans un contexte d’une stratégie pluriannuelle
de promotion d’emplois au Maroc. Diverses décisions politiques et économiques
furent prises pour lutter contre le chômage, en particulier celui des diplômés.
Une vision intégrée et cohérente semble faire défaut dans ce domaine. La recrudescence des crises et les problèmes économiques qu’elles ont engendrés a remis
en cause la vision traditionnelle selon laquelle la lutte contre le chômage passe
nécessairement par la création de l’emploi indépendamment du niveau de qualification et d’adaptation de la main d’øeuvre qualifiée ou non au changement de
l’environnement dans lequel l’économie évolue. Cela nous amène à nous interroger
sur les possibilités de soutenir à l’avenir des taux de croissance de plus de 5
Pour atteindre cet objectif, il est nécessaire de disposer d’outils appropriés
d’évaluation. Le choix est porté ici sur un modèle d’équilibre général calculable
ne comprenant pas la sphère financière. Cette restriction est imposée par
l’état de l’information dans notre pays et par le manque de temps nécessaire
à l’établissement d’une base de données aussi fruste soit elle incluant à la fois
l’aspect réel de l’économie et sa partie financière et monétaire.
Le plan du la présentation que nous nous proposons d’entreprendre consiste
dans un premier temps à l’analyse des tendances du marché de travail : situation
actuelle, étude de sa structure et la qualité de l’emploi offert.
Dans une deuxième phase voir à la lumière des simulations à l’aide du modèle
d’équilibre général calculable, construit pour le cas du Maroc, quelles sont les
répercussions d’une réforme fiscale, visant une réduction du taux de l’imposition
sur le revenu des entreprises (IS) ou celui portant sur le revenu des ménages (IR),
sur l’activité nationale, sur les finances publiques et sur le marché de travail.
56
A Nash game algorithm for solving inverse boundary value
problems
M. Kallel1 and A. Habbal2
1
Laboratoire LAMSIN-ENIT & IPEIT,
Université de Tunis, Tunisia.
[email protected]
2
Laboratoire J.A.Dieudonné,
Université de Nice, France.
[email protected]
Abstract
Let Ω be a bounded domain in R
I d (d = 2, 3) with smooth boundary ∂Ω, which
has two connected components Γc and Γi . The considered elliptic Cauchy problem
is given in the following framework : Finding a solution u such that,

∇ . (k∇u) = 0 in Ω,





u=f
on Γc ,





k∇u . ν = Φ on Γc ,
where k, f and Φ are given functions, ν is the unit outward normal vector
on the boundary. The Dirichlet data f and the Neumann data Φ are the
Cauchy data, which are given in the accessible part Γc of the boundary ∂Ω.
The completion data problem consider the reconstruction of the Dirichlet and
Naumann traces of the solution u at the part of the boundary Γi , where no
data are available. This problem arises in many inverse problems and has wide
applications ranging from bioelectrical field to mechanical engineering.
The problem under study is known to be ill-posed since the solution
does not exist for any pair of data (f, Φ), and even if such a solution exists,
it does not always depend continuously on the data. This feature makes classical numerical methods inappropriate, we need to regularize the Cauchy problem.
In this work we propose a control–type regularized data recovering process. We
propose to address the Cauchy problem, especially the completion data problem,
as a Nash game. We define two players : one is Dirichlet data, and the other is
Neumann data. Each player considers a cost function splits into a classical least
square term on Γc and a regularizing one fading through the iterations. The two
players play a static game with complete information, and we consider as solution
57
to the game the so-called Nash Equilibrium. For the computation of this equilibrium we present an iterative method with relaxation. The results of numerical
experiments show the relevance and efficiency of the proposed algorithm.
58
Observer For Discrete Systems with Unknown Dynamic
H. Laarabi, M. Rachik, N. Yousfi, J. Bouyaghroumni and E.
Labriji
[email protected]
Abstract
In this work, we present design procedure for full and reduced-order observers
for a class of linear finite dimensional discrete systems in which the dynamics are
partially unknown. We are going to study four cases according to the position of
the unknown elements of the dynamics. Finally, we illustrate the obtained results
by some examples and numerical simulations.
Keywords : Observers, Discrete time systems, Perturbed systems, LMIs.
References
[1] David G. Luenberger, An Introduction To Observers, IEEE Transactions On Automatic Control, (1971), Vol. AC-16, No.6, 596-602.
[2] M. Rachik, H. Laarabi, O. El Kahlaoui, S. Saadi , Observer for perturbed
linear continuous systems, Applied Mathematical Sciences, (2010), Vol. 4, 2010,
no. 14, 681 - 689.
[3] O’Reilly, J., Observers for Linear Systems, Academic Press, London, (1983).
[4] W. Colmenares, Sur la robustesse des systèmes linéaires incertains : approche
quadratique, retour de sortie , Thèse de doctorat. Rapport LAAS-CNRS No
96414 Université Paul Sabatier, Toulouse, France, (1996).
59
Mathematical Modeling and Brain Tumor Growth
F. Nouri
Laboratoire de Mathématiques Appliquées - LIRIMA
Université Badji Mokhtar Annaba, Algérie.
fz [email protected]
Abstract.
Mathematical tumor growth models have started to attract attention from
the medical image analysis community in last years. These models could help
better understanding of the mechanical influence and the diffusion process of
gliomas. For the clinical applications, they would provide tools to identify the
invaded areas that are not visible in the MR images in order to better adapt the
resection in surgery or the irradiation margins in radiotherapy. As one of the
most important goals, they would give the opportunity to identify from patient
images some model parameters that could help characterizing the tumor and
perhaps predict its future evolution.
Research conducted on brain tumor growth modeling can be coarsely classified
into two large groups :
Microscopic models : observations in the microscopic scale as a result
formulate the growth phenomena at the cellular level.
Macroscopic models : observations at the macroscopic scale like the ones
provided by medical images, formulation of the average behavior of tumor cells
and their interactions with underlying tissue structures, which are visible at this
scale of observation (eg. MRI, MR-DTI), detecting real boundaries (grey matter,
white matter, bones...).
Almost all diffusive macroscopic models use the reaction-diffusion formalism.This formalism models the invasive tumor by adding a diffusion term to
simple solid tumour growth models, which formulates proliferation of cells. However because of the the different nature of the brain tissues (see Figure 1), the
change of tumour cell density at a point u(x) should be described by an anisotropic
diffusion and a nonlinear reaction process. We propose
∂u
∂t = ∇ . (D(x)∇u) + ρ.R(u)
→
D(x) ∇u .−
η =0
The infiltration of tumour cells is explained by the diffusion process ∇(D(x)∇u),
which is characterised by the diffusion tensor D. The proliferation of tumour cells
are embedded in the reaction part ρ.R(u) with the mitosis rate ρ and R(u) a non
linear function. The Neumann boundary conditions dictates that tumour cells will
60
not pass through the skull nor the ventricles. (See numerical results in Figure 2).
Figure 1 : Diffusion properties of different tissues in the brain.
Figure 2 : From (a) to (h), the wavefront splits to pass around and meets again
after the obstacles. developing a shock at the intersections. Here the reaction
term is taken to be : R(u) = u(1 − u).
61
References :
[1] Giese, A., Kluwe, L., Laube, B., Meissner, H., Berens, M., Westphal,
M., 1996. Migration of human glioma cells on myelin. Neurosurgery, 38.
[2] Giese A. Clatz, O., Sermesant, M., Bondiau, P. , Delingette, H., Warfield, S.
Malandain, G., Ayache, N., 2005. Realistic simulation of the 3d growth of brain
tumors in mr images coupling diffusion with biomechanical deformation. IEEE
TMI, 24.
[3] Konukoglu, E., Clatz, O., Bondiau, P., Sermesant, M., Delingette, H., Ayache,
N., 2007. Towards an Identification of tumor growth parameters from time series
of images, Miccai 2007.
[4] F. Z. Nouri in collaboration with C. Bell, E. Chang, A. Foss, L. Hazelwood,
J.O’Flaherty, C. Please, G. Richardson (B. Gorilla), A. Setchi, R. Shipley, J.
Siggers, M. Tindall, and J. Ward, Mechanisms and localised treatment for complex
heart rhythm disturbances, UK MMSG Cardiac Arrhythmias 2010.
62
Etude des écoulements sanguins dans les fistules artério veineuses
Y. Sefiani
CHU, Rabat, Maroc.
[email protected]
Résumé
Ce sujet concerne une pathologie importante qui est celle des patients insuffisants rénaux nécessitant la confection de ces fistules pour démarrer la dialyse. la
pratique de la dialyse est donc liée à la réussite de cette intervention (la fistule)
qui necessite bien sûr le savoir faire technique mais qui est aussi une création d’un
flux sanguin ”anormal” mais nécessaire.
63
Posters
64
Pricing of an European Lookback Option
R. Aboulaicha , A. Alamib et S. Mohammed Lamartia
a
b
LERMA, Ecole Mohammadia d’Ingénieurs,
Avenue Ibnsina B.P. 765 Agdal-Rabat, Maroc.
[email protected]
Modélisation en Finance Islamique
R. Aboulaicha , A. Alamib et S. Omranaa
a
b
[email protected]
Etude numérique de la convection thermosolutale
dans un espace annulaire cylindrique
R. Aboulaich et B. Cheddadi
[email protected]
Equations integro-differentielles Stochastique pour le
Pricing des options
R. Aboulaicha , F. Baghery-Kabbajb et A. Jraifia
a
Avenue Ibnsina B.P. 765 Agdal Rabat Maroc
b LAMAV-Université de Valenciennes.
[email protected], [email protected],
[email protected]
65
Estimation de la volatilité locale par hybridation d’une
méthode de régularisation avec l’équation de Dupire
R. Aboulaich et I. Medarhri
[email protected]
Delayed Kaldor-Kalecki Model of Business Cycle
S. Achchaba , A. Benjouadb , I. Haggouchc , A. Kaddard et A.
Souissib
a
b
ENSIAS, Univ. Mohammed V-Souissi, Rabat.
GAN, LMA-FSR, Univ. Mohammed V-Agdal, Rabat & LERMA-EMI, Rabat.
c Ministère de l’économie et des finances & LERMA-EMI, Rabat.
d FSJES, Univ. Mohammed V-Souissi, Sala Al-Jadida.
[email protected]
Modélisation de la politique fiscale : Elaboration d’un
modèle d’aide à la décision
F. Ameur et M. Tkiouat
ameur [email protected]
Une bonne modélisation permet de répondre à des
questions complexes avec des calculs simples
R. Belhaj et M. Tkiouat
[email protected]
66
Stress Testing sur le système financier marocain
A. Berrerhdoche et M. Tkiouat
amine [email protected]
Management des risques inhérents aux délais de
réalisation des projets immobiliers et définition d’un
modèle d’aide à la décision
A. Challal et M. Tkiouat
[email protected]
Particle Swarm Optimization with Simulated
Annealing Applied in Information System
Interoperability.
N. El Hamia , R. Ellaiaa et M. Itmib
a
b LITIS, INSA de Rouen, France.
[email protected]
Learning machines & Quantitative Trading
F. Idrissi Khamlichia , R. Aboulaichb et A. El Idrissi El Mrharic
a
b
Laboratory for Research in Applied Mathematics, EMI, Morocco.
[email protected]
Laboratory for Research in Applied Mathematics, EMI, Morocco.
[email protected]
c Trader at BNP Paris Bas, Paris.
[email protected]
67
Choix des fournisseurs : Elaboration d’un nouveau
modèle
Y. Raji et A. Skalli
[email protected]
A hybrid Nelder Mead search with representation
formula for global optimization
H. Zidania,b , R. Ellaiaa et J. E. Souza de Cursib
a LERMA,
EMI, Rabat, Morocco.
INSA Rouen, France.
[email protected]
b LMR,
68
Le Comité d’Organisation tient à remercier,
pour le soutien financier les organismes suivants :
?
L’Université Mohammed V - Agdal - Rabat,
?
L’École Mohammadia d’Ingénieurs (EMI), Rabat
?
Le Centre National de la Recherche Scientifique et Technique (CNRST)
?
L’École Nationale de l’Industrie Minérale (ENIM), Rabat
?
La Société Marocaine de Mathématiques Appliquées (SM2A)
?
L’Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA), Sophia Antipolis
?
La Caisse de Dépôt et de Gestion ( CDG Capital)
?
Fidaroc Grant Thornton
?
Attijari Wafa Gestion
69

Modélisation, Optimisation, et Simulation des Syst`emes

Transcription

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