DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D`UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.
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DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D`UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.
TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 1/10 CORRIGÉ EXERCICE 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. .............................. 1 CORRIGÉ EXERCICE 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2 Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2 Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3 CORRIGÉ EXERCICE 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. .................................................................. 4 Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ...................................................................................................... 4 CORRIGÉ EXERCICE 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. .................................................................... 5 Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5 Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ............................................................................................ 9 Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes différentes : par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan), à l’aide de la relation de Willis. Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les différentes configurations possibles de ce train. Caractéristique du train épicycloïdal Satellite 2 Porte Planétaire Planétaire satellite A B 4 1 3 Relation de Willis 1/0 .3/0 1 .4/0 0 Raison de base du train 1/0 3/0 0 4/0 z z ( 1)1. 2' . 3 z1 z2'' Utilisation possible Pièce Pièce de Pièce d’entrée sortie fixe/bâti 0 Relation de Willis simplifiée avec e et s, et en tenant compte de la pièce qui est fixe Rapport de transmission : i e /0 1 3 4 e /0 .s /0 0 1 4 3 e /0 1 .s /0 0 3 1 4 s /0 .e/0 0 3 4 1 .e /0 1 .s /0 0 i e /0 4 1 3 s /0 1 .e /0 0 i e /0 4 3 1 .s /0 1 .e /0 0 i e /0 4, 3 1 MPSI-PCSI i i s /0 e /0 s /0 i s /0 s /0 s /0 s /0 1 e /0 s /0 e /0 1 1 1 1 1 s /0 .e1/0 1 .e2/0 0 Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 2/10 Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. Exemple 2.1 : Poulies Redex. (Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004) 5 6 10 24 31 Satellite Porte satellite 1er cas : on choisit Planétaire A Planétaire B 6, 10 5 2ème cas : on choisit Planétaire A Planétaire B 31 24 24 31 Train épicycloïdal (de raison de base 1 ) : Train épicycloïdal (de raison de base 2 ) : 31/0 1.24/0 1 1 .5/0 0 24/0 2 .31/0 2 1 .5/0 0 avec 1 31/0 z z ( 1)2 . 6 . 24 1,17 24/0 0 z31 z10 5/0 Utilisation : D'où : 24 fixe par rapport à 0, s /0 1 1 .e /0 0 e /0 s /0 5 est l'entrée e avec 2 24/0 z z ( 1)2 . 10 . 31 0,856 31/0 0 z24 z6 5/0 et 31 la sortie s D'où : 1 5,9 1 1 (5=e et 31=s) 2 .s /0 2 1 .e /0 0 e /0 s /0 2 2 1 5,9 On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas. Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 3/10 Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. 8 Moteur 2 9B 9C 10 11 13 Moteur 1 Sortie Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre e1/0 , e2/0 et s /0 . Train épicycloïdal : 8/0 Satellite Porte satellite Planétaire A Planétaire B ( 1)1. Train simple : 13/0 Utilisation : 10 e1 D'où : 9 13 10 11 10/0 .11/0 1 .13/0 0 z z avec 10/0 ( 1)2 . 9B . 11 11/0 0 z10 z9C 13/0 z13 z8 8 e2 11 s z z z z z e1/0 9B . 11 .s /0 9B . 11 1 . 8 .e2/0 0 z10 z9C z10 z9C z13 Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les zi liée aux conditions géométriques de montage des roues dentées. Pour le train épicycloïdal : R10 R9B R11 R9C z10 z9B z11 z9C MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont égaux, car d=m ;z 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 4/10 Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. Voir exemple donné dans le cours (page 24) pour le schéma cinématique et le calcul... MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 5/10 Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein). Question 1 : Compléter le repère des pièces dans le tableau décrivant les 2 trains épicycloïdaux (droite et gauche). Train Train épicycloïdal 1 épicycloïdal 2 Satellite 2 5 Porte satellite 4 7 Planétaire A 1 4 Planétaire B 10d (droite) 10g (gauche) 10g 5 22 10d 2 25 7 4 1 23 Tambour (qui était non représenté sur le plan ci-dessus) Emplacement du câble Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les z i . D10d D1 2.D2 Pour le 1er train épicycloïdal : (pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10d m1 m2 ) Pour le 2ème train épicycloïdal : D10g D4 2.D5 z10d z1 2.z2 z10g z4 2.z5 (pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10g m4 m5 ) Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système. Pièce d’entrée : arbre 1 Pièce de sortie : arbre 7 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 6/10 Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission. Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) : 1/0 1.10d /0 1 1 .4/0 0 1 avec 1/0 z z z ( 1)1. 10d . 2 10d 10d /0 0 z2 z1 z1 4/0 Train épicycloïdal 2 (de raison de base 2 ) : 4/0 2 .10g /0 2 1 .7/0 0 Utilisation : 10d /0 10g /0 0 1/0 e /0 7/0 s /0 2 avec 4/0 10g /0 ( 1)1. 28/0 0 z10g z5 z10g . z5 z4 z4 (10d et 10g solidaires du bâti). Par conséquent : Train épicycloïdal 1 donne : e /0 1 1 .4/0 0 Train épicycloïdal 2 donne : 4/0 2 1 .s /0 0 D’où : e /0 1 1 . 2 1 .s /0 0 e /0 s /0 z z10g 1 1 . 2 1 10d 1 . 1 z1 z4 e /0 s /0 ( z1 z10d )( z4 z10g ) z1.z4 Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres primitifs des différents pignons ou couronnes. Pignon arbré 1 Nombre Diamètre Module de dents primitif 21 2 42 Pignon rapporté 2 51 2 102 Couronne 10d 123 2 246 Pignon arbré 4 23 3 69 Pignon rapporté 5 34 3 102 Couronne 10g 91 3 273 m10d m1 m2 On a Di mi zi et m10g m4 m5 Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système. A.N. : e /0 s /0 MPSI-PCSI 34 Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 7/10 Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein). Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique. Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5. On aura certainement besoin d’utiliser : I2/0 D et I5/0 G (tout point de RSG est un CIR). Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au bâti 0 : VF5/0 . (Justifier les différentes étapes de la construction). I5/0 VE5/0 VE4/0 VF7/0 VF5/0 A VC4/0 VC2/0 I2/0 VB2/0 VB1/0 NB : 10d = 10g = 0 le bâti. 1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc : B I2/1 D I2/0 E I5/4 G I5/0 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient VB2/0 VB2/1 VB1/0 VB1/0 (car, comme B I2/1 , on a VB2/1 0 ). 3) Connaissant I2/0 et VB2/0 , on détermine VC2/0 par la répartition linéaire des vitesses. 4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient VC4/0 VC4/2 VC2/0 VC2/0 (car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a VC4/2 0 ). 5) Connaissant A et VC4/0 , on détermine VE4/0 VE5/0 par la répartition linéaire des vitesses. 6) Connaissant I5/0 et VE5/0 , on détermine VF5/0 VF7/0 par la répartition linéaire des vitesses. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 8/10 Question 9 : Justifier que VF5/0 VF7/0 . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès (proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la relation entre VF7/0 , VB1/0 , R1 , R2 et R4 . En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient VF7/0 VF7/5 VF5/0 VF5/0 (car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a VF7/5 0 ). D’après le théorème de Thalès, on a successivement : VF5/0 VE5/0 R5 2.R5 d’où VE4/0 1 2 VC4/0 VF5/0 VE5/0 . VE4/0 VC2/0 . VC4/0 VC2/0 R4 R1 R2 VB2/0 VB2/0 R2 2.R2 1 2 R4 1 1 . . 2 R1 R2 2 R4 1 . . VB2/0 4 R1 R2 VF5/0 donc Question 10 : En déduire, en fonction de R1 , R2 , R4 et R5 , le rapport de transmission. Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc : VF7/0 7/0 .A ' F 7/0 .(R4 R5 ) VB1/0 1/0 .AB 1/0 .R1 En remarquant que les deux vecteurs vitesses VF7/0 et VB1/0 ont même sens, on obtient le rapport de transmission : 1/0 4.(R4 R5 )(R1 R2 ) R4 1 7/0 .(R4 R5 ) . .1/0 .R1 4 R1 R2 7/0 R4 .R1 Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents. Comme R10d R1 2.R2 et R10g R4 2.R5 On a : 1/0 7/0 1/0 7/0 4.(R4 R10g R4 2 )(R1 (voir question 2) R10d R1 2 ) R4 .R1 2.R4 R10g R4 R4 .R1 (R4 R10g )(R1 R10d ) 4.( 1/0 7/0 R1.R4 1/0 7/0 )( 2.R1 R10d R1 2 ) R4 .R1 (R1 R10d )(R4 R10g ) C'est-à-dire en fonction du nombre de dents : 2 (D1 D10d )(D4 D10g ) D1.D4 (m1.z1 m1.z10d )(m2 .z4 m2 .z10g ) m1.z1.m2 .z4 ( z1 z10d )( z4 z10g ) z1.z4 On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 9/10 Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse », puis en fonctionnement « Grande Vitesse ». Entrée Petite vitesse 8 34 13 25 36 37 28 Sortie MPSI-PCSI 17 Entrée Grande vitesse 19 Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012 TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Satellite Porte satellite Planétaire A Planétaire B Train épicycloïdal 1 37 17 19 25 Page 10/10 Train épicycloïdal 2 36 28 17 8 Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) : 19/0 1.25/0 1 1 .17/0 0 avec 1 19/0 z z 83 ( 1)1. 25 . 37 4,37 25/0 0 z37 z19 19 17/0 Train épicycloïdal 2 (de raison de base 2 ) : 17/0 2 .8/0 2 1 .28/0 0 avec z z 79 2 17/0 ( 1)1. 8 . 36 4,65 8/0 0 z36 z17 17 28/0 Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 : 34/0 z 41 13 41 (plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche) 13/0 z34 1 Utilisation : On a 19/0 18/0 , 28/0 1/0 et De plus 8/0 0 (8 solidaire du bâti). 25/0 13/0 (pièces solidaires entre elles) Par conséquent : Train épicycloïdal 1 donne : 18/0 1. 34/0 1 1 .17/0 0 41 Train épicycloïdal 2 donne : 17/0 2 1 .1/0 0 D’où 18/0 1. 34/0 1 1 . 2 1 .1/0 0 41 34/0 1 1/0 18/0 1. 41 1 1 . 2 1 1/0 0,033.(18/0 0,107.34/0 ) Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0 0 et 34/0 1500tr / min ) 1/0 5,3tr / min Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0 34/0 1500tr / min ) 1/0 44,2tr / min ou 54,8tr / min NB : si on choisit de prendre : -0,107, on trouve 1/0 5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0 44,2tr / min (grande vitesse) +0,107, on trouve 1/0 5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0 54,8tr / min (grande vitesse) Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont : 1/0 5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0 54,8tr / min (grande vitesse) MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. 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