Machines dont l`agent thermique est un gaz parfait

Machines dont l’agent thermique est un gaz parfait
I75. Cycle de Beau de Rochas (ou d’Otto).
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.mol–1.K–1. Masses atomiques : C : 12 ; H : 1.
p 2
On peut modéliser le fonctionnement du moteur à explosion à quatre temps d’une automobile
fonctionnant à l’essence par le cycle ci-contre décrit réversiblement par n moles d’air (γ = 1,4),
de capacité thermique à volume constant CV. Ce cycle est constitué de deux adiabatiques
1
3
réversibles 23 et 41 et de deux isochores 12 et 34. On note Q12 et Q34 la chaleur reçue par l’air
pendant les deux isochores et W le travail reçu par l’air pendant le cycle.
1) Montrer que Q12 + Q34 + W = 0.
4 V
2) Exprimer Q12 en fonction de CV et des températures T1 et T2 des états 1 et 2.
0
3) Exprimer Q34 en fonction de CV et des températures T3 et T4 des états 3 et 4.
V’
V”
4) Exprimer T1 en fonction de T4, a = V”/V’ et γ.
5) Exprimer T2 en fonction de T3, a et γ.
6) On brûle de l’essence pendant la transformation 12, ce qui produit la chaleur nécessaire. On considère la transformation
34 réalisée par échange thermique avec l’air extérieur ambiant. Justifier que le rendement de ce cycle est r = –W/Q12.
7) Montrer que r = 1 – a1–γ.
8) Désormais, a = 9. Calculer r.
9) L’essence, assimilée à de l’octane C8H18, brûle avec le dioxygène de l’air en donnant CO2 et H2O(g). Cette combustion
dégage une chaleur Qm = 5130 kilojoules par mole d’octane. L’octane est en proportion stœchiométrique avec l’air frais
admis dans la cylindrée V” – V’ = 1 litre (et non dans V’’, car une partie de l’air brûlé reste dans le cylindre et n’est pas
renouvelé). La composition de l’air est O2 + 4 N2 c’est-à-dire qu’il contient une mole de dioxygène pour cinq moles d’air.
Ecrire la réaction de combustion de l’octane.
10) Calculer la quantité nair (en mol) d’air frais admis à chaque cycle sous p0 = 1 atm = 101325 Pa et à θe = 60°C.
11) En déduire la quantité d’octane noctane , en moles, à admettre pour chaque cycle.
12) Calculer la chaleur Q12 obtenue à chaque explosion.
13) Calculer le travail mécanique W’ produit par le moteur pour chaque cycle.
14) Il y a un cycle et une explosion pour deux tours du moteur. Calculer la puissance P mécanique du moteur s’il tourne à f =
6000 tours par minute.
15) Quelle est la masse m d’octane consommée par heure ? Quel est le volume V consommé, en litres par heure, sachant que
la masse volumique de l’octane est µ = 720 g/L ?
16) Si on réduit la vitesse de moitié, par quels facteurs seraient divisées la consommation horaire et la consommation
kilométrique d’essence pour le même rendement en admettant que le moteur sert essentiellement à vaincre la résistance de
l’air qui exerce sur l’automobile une force proportionnelle au carré de la vitesse ?
II42. Centrale 2002 PSI.
1) Pour obtenir, dans une enceinte à vide, un gaz sous une pression P1 faible, le système de pompage le plus classique est
la pompe rotative à palettes (figure 2). Sur la figure 2, ces palettes sont désignées par A et B .
a) Expliquer en quelques phrases le principe de cette pompe.
b) Techniquement, la pression minimale obtenue avec ce type de pompe est d’environ 10−1 Pa . Pourquoi ?
2) Le gaz est supposé parfait de coefficient γ = C p / C v = 1, 4 . On suppose que l’étape de compression dans la pompe
est polytropique et quasistatique : dans une transformation polytropique, si P est la pression et V le volume, au cours de la
transformation PV α reste constant, α étant un coefficient caractéristique de la transformation ( α > 1 ).
À quelle condition sur le coefficient α le gaz cède-t-il physiquement de la chaleur à l’extérieur lors de sa compression ?
3) On appelle P1 la pression du gaz pompé, T1 sa température et P2 la pression de refoulement. Un cycle peut être
assimilé à trois étapes en fonction du volume V de la chambre de compression :
• Admission du gaz à la pression P1 , V variant de 0 à V1 .
• Compression du gaz de la pression P1 à la pression P2 , V variant de V1 à V2 .
• Refoulement du gaz à la pression P2 , V variant de V2 à 0.
Tracer dans le système de coordonnées (P,V ) le diagramme de l’évolution du gaz lors de sa compression de la pression
P1 à la pression P2 . Exprimer en fonction de P1 , V1 , α et du rapport a = P2 / P1 , le travail de compression WC reçu par le
volume V1 de gaz admis dans la pompe lors de sa compression de la pression P1 à la pression P2 , V variant de V1 à V2 .
4) Représenter graphiquement le travail fourni au même volume de gaz V1 par le moteur de la pompe au cours de
l’ensemble des trois phases d’admission, de compression et de refoulement. Exprimer ce travail Wp en fonction des mêmes
grandeurs P1 , V1 , α et a .
5) On néglige l’énergie cinétique macroscopique du gaz. Exprimer en fonction de P1 , V1 , γ , α et a la chaleur QC
effectivement cédée par le volume V1 de gaz au cours d’une phase de compression. Commenter brièvement l’expression
obtenue.
6) Calculer la puissance de la pompe utilisée et son débit en molécules par seconde avec les valeurs numériques suivantes :
T1 = 293 K , P1 = 10−1 Pa , P2 = 105 Pa , V1 = 10 cm 3 , α = 1, 2 et γ = 1, 4 . La pompe comprend deux palettes et
tourne à 600 tours par minute. Commenter.
III52. Cycle de Beau de Rochas à admission partielle.
Dans un moteur thermique, un piston coulisse dans un cylindre entre deux positions extrêmes : le point mort haut (noté PMH)
et le point mort bas (noté PMB). Le volume balayé s'appelle la cylindrée (notée Cy). Le volume d'une même masse de fluide
(pendant le temps de fermeture des soupapes) varie donc entre une valeur maximale V1 et une valeur minimale V2 (on a donc
V1 – V2 = Cy). La variation de la puissance d'un moteur à allumage commandé s’obtient en diminuant la pression et la
quantité de mélange introduit dans le cylindre au moyen d'une vanne papillon. Le moteur est supposé constitué d'un seul
cylindre. Le fonctionnement d'un moteur thermique quatre temps à allumage commandé, à admission partielle, peut se
schématiser, en diagramme de Clapeyron, suivant le cycle suivant, supposé quasistatique :
0–1 : la soupape d'admission est ouverte et la soupape d'échappement
fermée ; il y a admission, à pression constante, du mélange dans le
cylindre ;
1–2 après fermeture de la soupape d’admission, il y a compression
supposée adiabatique ;
2–3 allumage et combustion stœchiométrique instantanée, équivalent à
un apport de chaleur isochore.
3–4 détente supposée adiabatique.
4–5 ouverture de la soupape d'échappement : échappement (les
produits de combustion se détendent dans la conduite d'échappement).
5–6 : balayage, à pression constante, du cylindre (le gaz d'échappement
est repoussé vers l'extérieur lors de la remontée du piston).
6–0 : fermeture de la soupape d'échappement et évolution des gaz
résiduels supposée isochore (hypothèse simplificatrice).
Hypothèses :
– le fluide gazeux (mélange air - carburant, puis produits de
combustion) en évolution dans le moteur a les mêmes propriétés que
l'air ; il se comporte comme un gaz parfait défini par sa capacité
thermique massique à pression constante, notée cp et par sa capacité
thermique massique à volume constant, notée cv.
– Toutes les évolutions sont supposées réversibles.
– On raisonnera pour une masse unitaire de gaz située dans le cylindre
(entre la fermeture et l'ouverture des soupapes : évolution 1–2–3–4) et
non sur la masse réelle de gaz ; en effet, les échanges d’énergie sont
proportionnels à cette masse ; le rendement du moteur est indépendant
de cette masse et sera donc calculé exactement, en faisant abstraction
de la cylindrée.
– Les énergies cinétiques et potentielles seront négligées.
Définitions :
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 2
– Pouvoir comburivore du carburant, noté Pco : c'est le rapport entre la masse d'air et celle de carburant lorsque la combustion
est stœchiométrique.
– Pouvoir calorifique inférieur du carburant, noté Pci : c'est la quantité de chaleur libérée par la combustion stœchiométrique
(à volume constant) d'un kg de carburant.
Notations : on notera
– Pl et T1 : pression et température du gaz aspiré dans le cylindre.
– P5 : pression d'échappement.
– γ = cp/cv et r = cp – cv
– ε = V1/V2, appelé taux volumétrique de compression ; λ = P3/P2 et b = P5/P1.
Etude des évolutions 1–2, 2–3 et 3–4 (soupapes fermées).
1) Exprimer les températures T2, T3, T4 en fonction de T1, ε, γ et λ.
2) Exprimer les travaux massiques (w1–2, w2–3 et w3–4) et les quantités de chaleur massiques (q1–2, q2–3 et q3–4) reçus par le gaz
lors de ces trois évolutions. Ces quantités seront exprimées en fonction de T1, cv, ε, γ et λ.
Etude de la combustion (supposée stœchiométrique).
3a) Exprimer la masse de carburant (supposé gazeux) contenue dans l’unité de masse du mélange gazeux et la quantité de
chaleur massique q2–3 en fonction de Pci et Pco. En déduire les expressions de T3 et λ en fonction de cv, T1 ou T2, Pci et Pco .
–
3b) Application numérique : calculer λ si T1 = 293 K, b = 2, P5 = 1 bar (donc P1 = 0,5 bar), ε = 8, γ = 1,40, cv = 713 J.kg 1.K–
1
, Pco = 15 kg d'air par kg de carburant et Pci = 41500 kJ/kg de carburant.
Etude des évolutions de transvasement (0–1 et 5–6).
4a) Exprimer les travaux massiques w01 en fonction de T1, cv, ε et γ et w56 en fonction de b et w01.
4b) Préciser la valeur des travaux échangés lors des évolutions 4–5 et 6–0.
Etude globale du cycle.
5a) Soit patm la pression atmosphérique. Montrer que, bien que ce ne soit pas vrai à chaque phase du processus (pourquoi ?),
le travail massique utile, noté wu fourni par le moteur est l’opposé du travail fourni au mélange gazeux par le piston.
Exprimer wu en fonction de T1, cv, ε, γ , λ et b .
( γ − 1 )(b − 1 )
1 ⎤
⎡
5b) Montrer que le rendement de ce cycle est ηth = 1 − ε1−γ ⎢ 1 +
1− ⎥.
λ −1
ε ⎦⎥
⎣⎢
5c) Application numérique : b = 2, ε = 8, γ =1,40 et λ calculé lors de la question 3b.
Etude du cas particulier du cycle atmosphérique Beau de Rochas.
Ce cycle est obtenu lorsque la pression d'admission est égale à la pression d'échappement : c'est à dire pour b = 1.
6a) Exprimer le rendement de ce cycle, noté ηth,0 , en fonction de ε et γ.
6b) Application numérique : ε = 8 et γ = 1,40.
Comparaison du cycle Beau de Rochas atmosphérique et celui à admission partielle.
En réalité, nous étudions un moteur dont la cylindrée Cy est égale à 2 litres (on rappelle que V1– V2 = Cy). On ne raisonne
donc plus pour une masse unitaire de gaz. On supposera (hypothèse simplificatrice) que T0 = T1.
7a) Pour chacun de ces cycles, exprimer la masse de gaz aspirée dans le cylindre en fonction de P5, T1, r, Cy et b. On notera
M la masse aspirée lors du cycle à admission réduite et M0 celle aspirée lors du cycle atmosphérique.
–
7b) Application numérique : calculer M et M0 pour chaque cycle avec P5 = 1 bar, T1 = 293 K, r = 285,2 J.kg 1.K–1,
Cy = 2 litres et b = 2.
7c) On note wu le travail utile massique pour le cycle à admission partielle et wu,0 celui correspondant au cycle
atmosphérique. Exprimer le coefficient k = (M.wu)/(M0.wu,0) en fonction de ηth , ηth,0 et b.
7d) Application numérique : calculer k avec b = 2, ηth et ηth,0 calculés précédemment.
7e) Donner une signification au coefficient k.
(
IV. Étude d'un moteur à air comprimé (ENSAIT 1999).
Données :
Constante molaire des gaz parfaits :
R = 8,31 J.mol– 1.K– 1 ;
Pression atmosphérique :
P0 = 1 bar = 105 Pa ;
Température de l'atmosphère supposée constante : T0 = 300 K ;
Rapport des capacités thermiques de l'air :
Cp/Cv = γ = 1,4 ;
Masse molaire moyenne de l’air sec :
Ma = 29 g/mol.
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 3
)
Le moteur à air comprimé présenté dans ce
problème est un moteur à piston, alimenté par de l'air
comprimé qu'on assimile dans tout le problème à un
gaz parfait. Le principe de fonctionnement de ce
moteur est illustré sur la figure l. L'air comprimé arrive
par la canalisation supérieure et ne peut pénétrer dans
le cylindre que lorsque la bille est poussée par le petit
ergot situé sur le piston. L'admission de l'air n'est donc
possible que lorsque le cylindre est en « position haute
» (point mort extérieur). Le cylindre étant doté de
petites ouvertures, l'échappement n’est permis que
lorsque le cylindre est en « position basse » (point mort
intérieur).
L'air comprimé provient d'un réservoir de volume
Vr1 = 0,2 m3 ayant une pression initiale Pr1 = 100 bars
et une température initiale Tr1 = T0.
Figure 1
A40. Étude du réservoir à air comprimé.
Pour répondre aux questions suivantes, relatives aux
détentes proposées, on imagine que le réservoir est un
cylindre fermé par un piston mobile ; la fin de la détente correspond à une pression de l'air égale à Pr2 = 20 bars.
1) On admet dans cette question que l'air est détendu de manière isotherme à la température T0.
1.l) La détente doit-elle être réalisée lentement ou rapidement ? Justifier.
1.2) Exprimer le travail W reçu par l’air enfermé au cours de la détente.
1.3) Exprimer le travail mécanique Wiso maximal récupérable au cours de la détente, compte tenu de ce que la pression
atmosphérique agit sur l’autre face du piston.
1.4) Evaluer numériquement W et Wiso .
2) On admet dans cette question que l'air est détendu de manière adiabatique.
2.1) Exprimer le travail W reçu par l’air enfermé au cours de la détente.
2.2) Exprimer le travail mécanique Wadi maximal récupérable au cours de la détente, compte tenu de ce que la pression
atmosphérique agit sur l’autre face du piston.
2.3) Evaluer numériquement W et Wadi .
2.4) Que vaut la température finale de l'air restant dans le réservoir ? Quel phénomène risque de se produire ?
3) L'expérience montre que l’air ne subit ni une détente isotherme ni une détente adiabatique ; un transfert thermique à
travers les parois du réservoir accompagne la détente. Ce transfert est modélisé par une relation du type
Pth = −a(Tr − T0 ) où Pth est la puissance thermique reçue par l'air, Tr est la température supposé uniforme de cet air au
sein du réservoir et a est une constante.
3.1) De quels facteurs dépend la constante a ? Quelle est son unité ?
La détente étant supposée mécaniquement réversible, on étudie la transformation élémentaire subie par l'air entre les
instants t et t + dt.
3.2) Réaliser un bilan énergétique pour obtenir une relation différentielle liant les variables Tr, Vr et t qui sont
respectivement la température de l'air, le volume occupé par cet air et le temps t
Résoudre cette équation différentielle nécessite de se donner une loi d'évolution du volume Vr avec t. On choisit la loi
d'évolution Vr = Vr 1 ( 1 + t / τ ) , où τ est une constante.
3.3) Montrer que l'équation différentielle de la question 3.2) peut se mettre sous la forme :
Tr − T0
(γ − 1)Tr
dTr
+
=−
Figure 2
dt
t +τ
τ′
où τ’ est une constante caractéristique du dispositif
qu'on exprimera en fonction de a, γ, Pr1, Vr1 et Tr1.
3.4) Comment doit-on choisir τ par rapport à τ' pour
retrouver :
– la transformation isotherme ?
– la transformation adiabatique ?
On justifiera le choix par des arguments physiques.
La résolution de l'équation différentielle et le tracé
de la courbe représentative de la fonction Tr(t) conduit
au graphe de la figure 2 suivant lorsque τ = 200 s et a =
5 SI : (T est en K et t est en s ).
On appelle Tr m la température minimale et tm
l'instant pour lequel cette température est atteinte.
3.5) Interpréter physiquement la courbe.
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 4
3.6) Etablir la relation liant Tr m et tm.
3.7) En appelant Pr m la pression à l'instant tm , établir une relation simple entre Pr m et Tr m et les constantes a, τ, T0 et Vr1.
3.8) Evaluer Tr m sur le graphe et en déduire Pr m.
B35. Étude du moteur.
Dans cette partie, on s'intéresse au moteur lui-même actionné par le gaz comprimé sortant du réservoir.
Pour simplifier , on suppose que le remplissage est instantané lorsque le piston est situé au point mort extérieur ; le volume
offert au gaz dans le cylindre est alors de V1 = 5 cm3. De même, on suppose que l’air s'échappe instantanément du cylindre
lorsque le piston est au point mort intérieur ; le volume offert est alors de V2 = 50 cm3.
1) On constate qu'en fin d'admission, la température de l'air dans le cylindre est T1 = 350 K. Comment expliquez-vous une
température si élevée ?
2) On suppose que lors de la descente du piston (et lors de la remontée), la transformation subie par le gaz est adiabatique et
réversible. Si la pression en fin d'admission est P1, quelle est-elle juste avant l'échappement : P2 ?
3) Calculer numériquement la température juste avant l'échappement T2 si P1 = 100 bars.
4) Si P2 > P0 , une nouvelle détente, au cours de l'échappement, s'opère dans l'air atmosphérique. On admet que cette
détente est de type adiabatique réversible pour l'air restant dans le cylindre.
Quelle est sa pression finale ? En déduire sa température en fonction de T1 , P1 , P0 et des constantes nécessaires.
5 ) Déduire des questions précédentes le travail reçu par l'air :
• W1 lorsque le piston passe du point mort extérieur au point mort intérieur, en fonction de P1, V1, V2 et γ, en l'absence
d'entrée ou de sortie d’air ;
• W2 lorsque ce piston passe du point mort intérieur au point mort extérieur, en fonction de P0 , V2 , V1 et γ, en l'absence
d’entrée ou de sortie d’air.
6) On considère que l’admission et l’échappement sont très rapides et ne représentent qu’une fraction infime de la durée
d’un cycle. Montrer, en tenant compte de l’action de la pression atmosphérique sur l’autre face du piston, que le travail fourni
par le moteur est Wf = −W1 − W2 . En déduire que la relation entre Wf et P1 est de la forme Wf = αP1 − β et calculer
numériquement α et β .
7) Calculer numériquement Wf au début du fonctionnement du moteur, c'est à dire pour P1 = 100 bars.
8) On estime que le moteur s’arrête lorsque Wf s'annule. En déduire la pression minimale du réservoir en deçà de laquelle
le moteur s'arrête.
9) Pouvait-on calculer cette pression minimale plus rapidement et si oui, comment ?
10) Compte tenu de cette valeur, quelle(s) amélioration(s) voyez vous pour un tel moteur ?
11) L’ouverture dans le fond du cylindre du moteur est un cercle de rayon 2 mm fermé par une bille en acier de rayon 3 mm et
de masse volumique 7800 kg.m– 3. Avec quelle force la pointe doit-elle appuyer sur cette bille pour permettre l’entrée d’air
comprimé dans le cylindre du moteur au début de son fonctionnement, lors du point mort extérieur, alors que la pression dans le
réservoir est Pr1 = 100 bars ?
V33. Centrale 1984.
A. On considère un gaz G monoatomique dont l'équation caractéristique relative à un gramme de gaz s'exprime par la
relation : p (v – b) = r T où p est la pression du gaz, T sa température absolue et v son volume massique ; b et r sont des
constantes : b = 5, 92.10−6 m 3 . g−1 r = 2, 08 J. K−1 g−1 ; son énergie interne massique est u = 3rT / 2 .
1. Etablir les expressions de l’enthalpie massique h et de l'entropie massique s en fonction de T et p.
2. Une certaine quantité de gaz G est détendue adiabatiquement et réversiblement de la pression p' = 106 Pa à la pression p
= 105 Pa . La température initiale du gaz étant T’ = 273 K, calculer sa température T après la détente.
3. Le gaz pris à T’ = 273 K et à la pression p’ = 106 Pa est amené adiabatiquement à la pression p = 105 Pa par une détente
de Joule-Thomson (détente isenthalpique).
Calculer sa variation d’entropie massique.
B. On se propose d'utiliser, pour maintenir la
température d'une pièce à 300 K, un appareil
de chauffage utilisant un cycle de
transformations du gaz G. Une masse donnée
de gaz G, enfermée dans l'appareil, y décrit de
façon continue un cycle fermé ABCD (voir
figure). Le gaz se trouve en A à la température
TA = 273 K (qui est celle de l'atmosphère
extérieure) et à la pression pA = 105 Pa. Il est
alors comprimé adiabatiquement par un
compresseur Ca qui l'amène en B à TB = 300 K.
La canalisation B est calorifugée et permet au
gaz de pénétrer sans perte de chaleur dans la
pièce P où un compresseur Ci lui fait subir une compression isotherme qui l'amène en C à la pression pC = 106 Pa. Le gaz
subit alors une détente adiabatique dans un moteur à air comprimé Ma ; cette détente l'amène en D à la température de 273 K
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 5
dans un tube calorifugé, d'où il passe enfin dans un moteur Mi où il subit une détente isotherme qui le ramène en A dans les
conditions initiales. Le gaz G reprend ensuite indéfiniment le même cycle. On supposera que la totalité du travail fourni par le
gaz dans les détentes est récupérable sur l'arbre des moteurs Mi et Ma et que l'ensemble de l'appareil fonctionne de façon
réversible.
1. Tracer qualitativement sur un diagramme de Clapeyron (p, v) le cycle décrit par un gramme de gaz G ; calculer les
pression en Pa aux points B et D.
2. Quel est "l'organe chauffant" de l'appareil ? Quelle quantité de chaleur Q la circulation d'un gramme de gaz apporte-t elle à la pièce P ?
3. Calculer le travail total W que l'on doit dépenser pour fournir à la pièce cette quantité de chaleur Q .
4. Quelle quantité de chaleur Q ′ pourrait-on obtenir en dissipant la même énergie W dans un radiateur électrique (en
supposant le rendement égal à l'unité) ?
5. En déduire le "rendement" de ce mode de chauffage et commenter le résultat obtenu.
VI46. Climatisation d'un local (X-ENS Cachan 2004).
PRELIMINAIRE.
1) Soit un organe stationnaire qui transvase un fluide qui y entre dans l’état 1 d’enthalpie massique h1 et en sort dans l’état
2 d’enthalpie massique h2. Par unité de masse transvasée, cet organe reçoit le travail w’ et la chaleur q. On néglige l’énergie
cinétique et l’énergie potentielle associée au poids. Montrer que h2 − h1 = w '+ q .
EVALUATION DE LA PUISSANCE DE L'INSTALLATION.
Un local a un volume V = 300 m3, on souhaite y maintenir une température t1 = 20°C (293 K). L'étude est réalisée dans des
conditions extrêmes où l'air extérieur est à la température t2 = 40°C. La pression de l'air est la même à l'intérieur et à
l'extérieur du local, soit P0 = 1 bar = 105 Pa.
2) Ventilation : on fixe généralement le taux de renouvellement égal à 1, c'est à dire qu'en une heure, il faut renouveler en
totalité l'air de la pièce. Calculer la masse d'air qui doit pénétrer en une heure dans le local. On supposera que l'air est un gaz
parfait, de masse molaire M = 29 g.mol–1 ; R = 8,32 J.K –1.mol–1.
3) Calculer la chaleur Q reçue par cette masse d'air pour passer de la température t2 à la température t1. En déduire la
puissance thermique correspondante (quantité de chaleur par unité de temps). On donne la capacité thermique massique à
pression constante de l'air cp = 1000 J. kg–1. K–1.
4) Fuites thermiques : l'air du local étant à 20°C, l'air extérieur à 40°C, on constate qu'en l'absence de climatisation et de
ventilation, la température du local passe à 21°C en 10 minutes. Par un calcul simple, donner un ordre de grandeur de la
puissance thermique correspondant aux fuites thermiques.
5) Bilan : quelle doit être la puissance thermique extraite par le système de climatisation ?
Dans la suite, on prendra cette puissance égale à pTH = 3 kW.
SYSTEME DE REFROIDISSEMENT.
C’est une machine frigorifique
à gaz parfait dont on donne le
schéma de principe sur la figure.
Le fluide qui décrit le cycle est
de l'hélium pour lequel
γ = cP / cV = 5 / 3 et M = 4
g.mol–1 . Il traverse
successivement :
– un COMPRESSEUR (C) où
le fluide subit une compression
adiabatique réversible qui l'amène
W’
de A (T1, P1) à B (T3, P2). Ce
compresseur reçoit un travail W
de l’extérieur et un travail W’ du
détendeur ;
– un ÉCHANGEUR (E2) où la
source chaude donne la quantité de chaleur Q2 au fluide, ce qui amène le fluide au point E (T2, P2) ;
– un DÉTENDEUR (D) où le fluide se détend de façon adiabatique réversible, ce qui l'amène en F (T4, P1), en fournissant
le travail W’ qui est transmis au compresseur ;
– un ÉCHANGEUR (E1) où la source froide donne la quantité de chaleur Q1 au fluide, ce qui ramène le fluide au point A
(T1, P1).
On donne : T1 = 293 K ; T2 = 313 K ; P1 = 2 bars ; P2 = 3 bars. Tous les calculs sont rapportés à 1 kg d'hélium.
6) Calculer la capacité thermique massique cP de l'hélium.
7) Calculer T3.
8) Calculer T4.
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 6
9) Donner l'allure du diagramme du cycle en coordonnées (P,v). On fera apparaître les isothermes T1 et T2. Préciser le sens
de parcours du cycle et conclure.
10) Calculer la chaleur Q1 reçue par l'hélium lors de la traversée de l’échangeur E1.
11) Calculer la chaleur Q2 reçue par l'hélium lors de la traversée de l’échangeur E2.
12) En déduire le travail W qu’il faut fournir au compresseur.
13) Définir et calculer l'efficacité de l'installation.
14) Calculer la masse d'hélium qui doit, par seconde, décrire le cycle afin d'obtenir la puissance nécessaire au
refroidissement du local, soit pTH = 3 kW.
15) Calculer la puissance minimale du moteur qui actionne le compresseur.
16) Ce cycle est-il réversible ?
Réponses
I. 1) premier principe pour un cycle ; 2) Q12 = CV (T2 − T1 ) ; 3) Q34 = CV (T4 − T3 ) ; 4) T1 = T4a γ −1 ; 5)
T2 = T3a γ −1 ; 6) rendement égale gain divisé par dépense ; 7) r = 1 − a γ −1 ; 8) r = 0, 585 ;
p (V ′′ − V ′)
25
= 0, 0366 mol ; 11) n(O2 ) = 0, 00732 mol ;
O → 8CO2 + 9H2O ; 10) nair = 0
RTe
2 2
fW
n octane = 5, 86.10−4 mol ; 12) Q12 = n octaneQm = 3004 J ; 13) W = rQ12 = 1757 J ; 14) P =
= 87, 85 kW ; 15)
2
V
n
Mf
masse molaire de l'octane M = 114 g/mol ;
= octane
= 16, 7 L/h ; 16) consommation horaire divisée par huit et
t
2µ
consommation kilométrique divisée par quatre.
II. 1.a) Les palettes A et B sont assez larges et munies de ressorts pour obstruer au passage les deux
p
p2
orifices ; la palette B refoule donc la totalité du gaz occupant le volume situé entre elle et l’orifice à la
pression P2 , la palette A aspire le gaz à la pression P1 et les deux palettes font mouvoir le volume
p1
p V (a 1−1/ α − 1)
V
emprisonné entre elles ; 1.b) l’huile se vaporiserait ; 2) α > 1 ; 3) Wc = 1 1
;
α −1
V2
V1
αp1V1 (a 1−1/ α − 1)
⎛ 1
1 ⎞⎟
1−1/ α
−
(
−
1)
p
V
a
; 5) Qc = ⎜⎜
;
commentaire
:
comme
4) Wp =
⎝ α − 1 γ − 1 ⎠⎟⎟ 1 1
α −1
9) C8 H18 +
1 < α < γ , Qc > 0 ; 6) 5.1015 molécules par seconde ; 1, 08 milliwatt ; commentaire : en réalité, la puissance est
essentiellement celle nécessaire pour vaincre les frottements dans la pompe.
III. 1) T2 = T1ε γ−1 ; T3 = λT2 = λT1ε γ−1 ; T4 = λT1 ; 2) q12 = 0 ; w12 = cvT1 ( ε γ−1 − 1 ) ; q23 = cvT1ε γ−1 ( λ − 1 )
1
Pci
Pci
; q23 =
; T3 = T2 +
;
cv ( 1 + Pco )
1 + Pco
1 + Pco
1
Pci
λ =1+
; 3.b) λ = 6, 4 ; 4.a) w 01 = cv ( γ − 1 )T1 − 1 ; w 56 = −bw 01 ; 4.b) w 45 = w 60 = 0 ;
ε
cvT1ε γ−1 ( 1 + Pco )
1
gain
w
⎡
⎤
= u
5.a) justification : voir corrigé ; wu = −cvT1 ⎢ ( γ − 1 )(b − 1 ) 1 −
+ ( ε γ−1 − 1 )( 1 − λ ) ⎥ ; 5.b) ηth =
q23
ε
dépense
⎣
⎦
P Cy
P Cy
5.c) ηth = 0, 537 ; 6.a) ηth 0 = 1 − ε1−γ ; 6.b) ηth 0 = 0, 565 ; 7.a) M = 5
; M0 = 5
; 7.b)
brT1
rT1
η
M 0 = 2, 39.10−3 kg ; M = 1, 20.10−3 kg ; 7.c) k = th ; 7.d) k = 0, 475 ; 7.e) k est le rapport des énergies
b ηth 0
mécaniques produites par le cycle à admission partielle et par le cycle atmosphérique.
p
IV. A. 1.1) lentement, sinon la température diminuerait ; 1.2) W = −pr 1Vr 1 ln r 1 ;
pr 2
⎤
⎛
p ⎞
p V ⎡ ⎛ p ⎞1−1/ γ
1.3) Wiso = −W + p0Vr 1 ⎜⎜ 1 − r 1 ⎟⎟⎟ ; 1.4) W = −3, 22.106 J ; Wiso = 3,14.106 J ; 2.1) W = r 1 r 1 ⎢ ⎜⎜ r 2 ⎟⎟⎟
− 1⎥ ;
⎥
⎝
pr 2 ⎠
γ − 1 ⎢⎣ ⎝ pr 1 ⎠
⎦
1/ γ ⎤
⎡
⎛p ⎞
2.2) Wadi = −W + p0Vr 1 ⎢ 1 − ⎜⎜ r 1 ⎟⎟⎟ ⎥ ; 2.3) W = −1, 84.106 J ; Wadi = 1, 80.106 J ; 2.4)
⎢
⎝ pr 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
; w23 = 0 ; q 34 = 0 ; w 34 = cv λT1 ( 1 − ε γ−1 ) ; 3.a) mcar =
(
(
)
)
⎛ p ⎞1−1/ γ
Tf = T0 ⎜⎜ r 2 ⎟⎟⎟
= 189 K ; il risque de se produire des échanges de chaleur avec le milieu ambiant ; si l’air n’est pas
⎝ pr 1 ⎠
sec, la vapeur d’eau qu’il contiendrait se condenserait ; 3.1) a dépend de la géométrie et de la nature des corps en contact ;
s’il s’agit de fluides, a dépend en outre de leur mouvement et de leur turbulence ; a s’exprime en W.K– 1 ; 3.2)
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 7
pr 1Vr 1
= 3333 s ; 3.4) τ ′ grand : adiabatique ; τ ′ petit : isotherme ; 3.5)
(γ − 1)T0a
a τ(Trm − T0 )
(γ − 1)τ ′
=−
; 3.7) Prm = −
; 3.8) Trm = 170 K ⇒ Prm = 6, 5 bars .
τ + tm
Vr 1
CV dT = −pdV + a(T0 − T )dt ; 3.3) τ ′ =
voir corrigé ; 3.6) 1 −
T0
Trm
1
⎛V ⎞γ
⎛ P ⎞1− γ
⎛V ⎞γ −1
= 139 K ; 4) P0 ; Tf = T1 ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
= 94 K ;
IV.B. 1) voir corrigé ; 2) P2 = P1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ ; 3) T2 = T1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎝V2 ⎠
⎝ P1 ⎠
⎝⎜V2 ⎠
1− γ
γ −1 ⎤
⎤
⎡ V2 ⎞1− γ
⎤
⎡
P V ⎡ ⎛V ⎞
PV
1 1 ⎢⎛
⎥ ; 6) α = V1 ⎢ 1 − ⎛⎜V1 ⎞⎟⎟ ⎥ = 7, 52.10−6 m 3 ;
⎥ ; W2 = 0 2 ⎢ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
−
−
1
1
⎜
⎥
⎥
⎝V2 ⎠⎟ ⎦⎥
γ − 1 ⎢⎣ ⎝V1 ⎠⎟
γ − 1 ⎢⎢ ⎜⎝V2 ⎠⎟
γ − 1 ⎢⎣
⎥⎦
⎦
⎣
⎤
P V ⎡ ⎛V ⎞γ −1
β
β = 0 2 ⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
− 1 ⎥ = 18, 9 J ; 7) Wf = 56, 3 J ; 8) P1 = = 25,1 bars ; 9) et 10) voir corrigé ; 11) 94 N.
⎢
⎥
⎝
⎠
α
γ − 1 ⎣ V1
⎦
⎛ p ⎞2 / 5
5
5
p
C
V. A.1) h = rT + bp ; s = r lnT − r ln p ; A.2) T = T ′ ⎜⎜ ⎟⎟⎟
= 109 K ; A.3)
′
⎝p ⎠
2
2
B
′
2b ( p − p )
5
T
p
−
1
D
T =T′ +
= 274 K ; ∆s = r ln
− r ln = 4, 8 J. K ;
A
5r
2
T′
p′
0
v
⎛T ⎞5 / 2
⎛T ⎞5 / 2
B.1) pB = pA ⎜⎜ B ⎟⎟⎟
= 1, 266.105 Pa ; pD = pC ⎜⎜ D ⎟⎟⎟
= 7, 900.105 Pa ; B.2) Ci ;
⎝ TA ⎠
⎝ TC ⎠
Q
p
p
Q = −rTB ln ( pB / pC ) = 1290 J ; B.3) W = rTB ln c + rTD ln A = 116 J ; B.4) Q ′ = W ; B.5) η =
= 11,1 .
pB
pD
Q′
mcp ∆θ
p
MPV
VI. 1) voir cours ou corrigé ; 2) m =
= 1980 W ;
= 357 kg ; 3) P =
t
RT
E
B
mcp ∆θ
γR
= 595 W ; 5) 2580 W ; 6) cp =
4) PTH =
= 5200 J. kg−1 . K−1 ;
T2
( γ − 1)M
t
T1
5) W1 =
1
1
⎛ P ⎞1− γ
⎛ P ⎞1− γ
7) T3 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
= 344, 6 K ; 8) T4 = T2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
= 266,1 K ; 9) le travail reçu est positif ;
⎝ P1 ⎠
⎝ P2 ⎠
10) Q1 = cp (T1 − T4 ) = 139880 J ; 11) Q2 = cp (T2 − T3 ) = −164320 J ;
F
A
0
dm
p
Q1
= 5, 72 ; 14)
= TH = 0, 0214 kg/s ; 15) P = 524 W ; 16) non
dt
Q1
W
(contact thermique des corps de températures différentes).
12) W = −Q1 − Q2 = 24440 J ; 13) e =
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 8
v
Corrigé
I.
1) W + Q12 + Q34 est nul d'après le premier principe parce que l'air décrit un cycle.
2) Q12 = CV (T2 − T1 )
3) Q34 = CV (T4 − T3 )
4) En combinant la loi de Laplace et l'équation des gaz parfait, on montre que TV γ -1 reste constant au cours d'une
′ γ −1 = T4V ′′ γ −1 ⇒ T1 = T4a γ −1
adiabatique. D’où TV
1
5) De même, T2 = T3a γ −1 .
6) Le rendement est le gain divisé par la dépense. Le milieu ambiant étant considéré comme gratuit, la dépense, l'essence
consommée, est proportionnelle à Q12 , tandis que le gain du moteur est le travail qu'il fournit, soit −W .
7) r =
C (T − T3 )
Q + Q34
−W
= 12
=1+ V 4
= 1 − a γ −1
Q12
Q12
CV (T2 − T1 )
8) r = 1 − 9−0,4 = 0, 585
25
9) C8 H18 + O2 → 8CO2 + 9H2O
2
p0 (V ′′ − V ′) 101352 × 10−3
10) nair =
=
= 0, 0366 mol
RTe
8, 314 × 333
11) D'après la proportion de dioxygène dans l'air, la quantité de dioxygène disponible est le cinquième de la quantité d'air
0, 0366
frais introduit, soit n(O2 ) =
= 0, 00732 mol
5
D'après les proportions stœchiométriques de la réaction, la quantité d'octane est les deux vingt-cinquième de la quantité de
dioxygène, soit n octane = 2 × 0, 00732 / 25 = 5, 86.10−4 mol
12) Q12 = n octaneQm = 5, 86.10−4 × 5130 kJ = 3004 J
13) W = rQ12 = 0, 585 × 3000 = 1757 J
14) Comme f = 100 tour/s , P = fW / 2 = 100 × 1757 / 2 = 87, 85 kW
15) La masse molaire de l'octane est M = 8 × 12 + 18 = 114 g/mol .
n
Mf
m
V
m
12017
= octane
= 5, 86.10−4 × 114 × 50 × 3600 = 12017 g/h .
=
=
= 16, 7 L/h .
t
2
µt
t
720
16) La puissance est le produit de la vitesse par la force, donc est proportionnelle au cube de la vitesse. La consommation
horaire serait divisée par 8. La durée de parcours d'une distance donnée étant multipliée par 2, la consommation kilométrique
serait divisée par quatre.
II.
1.a) Les palettes A et B sont assez larges et munies de ressorts pour obstruer au passage les deux orifices. La palette B
refoule donc la totalité du gaz occupant le volume situé entre elle et l’orifice à la pression P2 , la palette A aspire le gaz à la
pression P1 et les deux palettes font mouvoir le volume emprisonné entre elles.
1.b) Si P1 < 0,1 Pa , l’huile se vaporiserait, si la pression de vapeur saturante est 0,1 Pa .
pV
Vdp + γ pdV
2)
Pour une transformation quasistatique : dU = δQ + δW ⇒ δQ = d
+ pdV =
γ −1
γ −1
(1 − γ / α)Vdp
dp
dV
Vdp
Si pV α = cste , en différentiant logarithmiquement,
+α
= 0 ⇒ pdV = −
δQ =
p
V
α
γ −1
Pour une compression, dp > 0 ; le gaz cède de la chaleur si δQ < 0 ⇔ 1 − γ / α < 0 ⇔ α < γ , compte tenu de
l’hypothèse de l’énoncé α > 1 .
Ce raisonnement suppose l’énergie cinétique du gaz négligeable, hypothèse qui est faite à la
question 7.
p
p2
⎛ p1 ⎞⎟1/ α
α
α
α
3)
pV = p1V1 = p2V2 V2 = V1 ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
p1
−α +1
V2
V
− V1−α +1
p2V2αV2−α +1 − p1V1αV1−α +1
α
−α
α V2
Wc = ∫ −pdV = −p1V1 ∫ V dV = −p1V1
=
V1
α −1
−α + 1
V2
V1
1−1/ α
⎤
(
1)
p
V
a
−
p2V2 − p1V1
p1V1 ⎡⎢ ⎛ p2 ⎞⎟1−1/ α
⎜ ⎟
=
=
− 1 ⎥ ⇒ Wc = 1 1
⎥
α −1
α − 1 ⎣⎢ ⎝⎜ p1 ⎠⎟
α −1
⎦
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 9
4)
Le travail Wp =
∫ −pdV
est égal à l’aire hachurée obliquement sur le
p2
graphique ci-contre. Comme Wc est égal à l’aire entre le graphe p(V ) et l’axe des
volumes, Wp s’obtient en lui retranchant l’aire du rectangle hachuré verticalement
p
p1
et en lui ajoutant l’aire du rectangle hachuré horizontalement :
Wp = Wc − p1 (V1 − V2 ) + V2 (p2 − p1 ) = Wc + p2V2 − p1V1
p2
V
V2
V1
p
p1
V
V2
V1
= (1 + 1/(α − 1))(p2V2 − p1V1 )
Wp =
αp1V1 (a 1−1/ α − 1)
α −1
Le premier principe appliqué au gaz lors de la phase de compression s’écrit, en tenant compte de ce que le gaz reçoit
5)
−Qc :
∆U = Wc − Qc
p2V2 − p1V1
= Wc − Qc
γ −1
1 ⎞⎟
⎛ 1
−
(p V − p1V1 )
Qc = ⎜⎜
⎝ α − 1 γ − 1 ⎠⎟⎟ 2 2
⎛ 1
1 ⎞⎟
−
Qc = ⎜⎜
p V (a 1−1/ α − 1)
⎝ α − 1 γ − 1 ⎠⎟⎟ 1 1
Commentaires :
• comme 1 < α < γ , Qc est bien positif ;
•
6)
si α = γ , Qc serait bien nul.
A chaque tour, la pompe transvase deux volumes V1 de gaz prélevés sous p1 à la température T1 . Comme elle fait
pV
0,1 × 10−5
10 tours par seconde, le débit est 20 1 1 en mol/s, soit 20 ×
× 6.1023 = 5.1015 molécules par seconde.
RT1
8, 3 × 293
1,2 × 0,1 × 10−5 × 106(1−1/1,2)
= 5, 4.10−5 J
1, 2 − 1
A raison de 20 compressions par seconde, la puissance est 1, 08 milliwatt .
Commentaire : en réalité, la puissance est essentiellement celle nécessaire pour vaincre les frottements dans la pompe.
Wp =
III. Cycle de Beau de Rochas à admission partielle.
Températures au cours des évolutions 1-2, 2-3 et 3-4.
⎛V ⎞γ−1
= T2 = T1ε γ−1
1.  →  adiabatique réversible : TV γ−1 = cste ⇒ T2 = T1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎝V2 ⎠
T
 → ‘ isochore :
= cste ⇒ T3 = λT2 = λT1ε γ−1
p
‘ → ’ adiabatique réversible : T4V1γ−1 = T3V2γ−1 ⇒ T4 = T3 ε1−γ = T4 = λT1
2. q12 = 0 ;
u2 − u1 = cv (T2 − T1 ) = w12 = cvT1 ( ε γ−1 − 1 )
cv (T3 − T2 ) = q23 = cvT1ε γ−1 ( λ − 1 ) ; w23 = 0
q 34 = 0 ;
u 4 − u3 = cv (T4 − T3 ) = w 34 = cv λT1 ( 1 − ε γ−1 )
Etude de la combustion.
3a.
m
⎫
⎪
Pco = air
⎪
1
Pci
mcar
donc mcar Pci = q23 =
⎬⎪ ⇒ mcar =
⎪
P
1
+
1
+
Pco
co
mair + mcar = 1⎪
⎪
⎭
T
Pci
q
Pci
T2 + 23 = T3 = T2 +
; 3 = λ =1+
cv
cv ( 1 + Pco ) T2
cvT1ε γ−1 ( 1 + Pco )
41500.103
= 6, 4
713 × 293 × 80,4 × ( 1 + 15 )
Etude des évolutions de transvasement (0-1 et 5-6).
V1
V6
1
1
4a. w 01 = −∫ P1dV = P1 (V2 − V1 ) = rT1 − 1 = w 01 = cv ( γ − 1 )T1 − 1 ; −∫ P5dV = w 56 = −bw 01
V2
V5
ε
ε
4b. w 45 = w 60 = 0
3b. λ = 1 +
(
)
(
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 10
)
Etude globale du cycle.
5a. Le travail fourni par le piston est
l’opposé. Mais sur un cycle complet
∫ −pdV ; le travail utile est ∫ (p − patm )dV . A cause du terme en patm , ce n’est pas
∫ patmdV = 0 , donc le travail utile est l’opposé du travail reçu par le gaz de la part du
piston.
(
)
1
⎡
⎤
wu = − ( w 01 + w12 + w23 + w 34 + w 45 + w 56 + w 60 ) = −cvT1 ⎢ ( γ − 1 )(b − 1 ) 1 −
+ ( ε γ−1 − 1 )( 1 − λ ) ⎥
ε
⎣
⎦
gain
w
= u ce qui donne l’expression demandée.
5b. ηth =
dépense
q23
5c. ηth = 0, 537
Etude du cas particulier du cycle atmosphérique Beau de Rochas.
6a. Pour b = 1 : ηth 0 = 1 − ε1−γ
6b. ηth 0 = 0, 565
Comparaison du cycle Beau de Rochas atmosphérique et celui à admission partielle.
PV
PV
P
P Cy
7a. Cycle à admission partielle M = 1 1 − 1 2 = 5 (V1 − V2 ) = M = 5
rT1
rT0
brT1
brT1
Cycle atmosphérique M 0 =
P5Cy
rT1
M
105 × 2.10−3
= 2, 39.10−3 kg ; M = 0 = 1, 20.10−3 kg
285, 2 × 293
2
ηth
Mwu
7c. k =
= k =
M 0w u 0
b ηth 0
7b. M 0 =
7d. k = 0, 475
7e. k est le rapport des énergies mécaniques produites par le cycle à admission partielle et par le cycle atmosphérique.
IV. Étude d'un moteur à air comprimé.
A. Étude du réservoir à air comprimé.
1.1. Pour que le gaz reste à température constante il faut que les échanges thermiques aient le temps de se faire : la détente
doit donc s’effectuer lentement, sinon la température diminuerait.
1.2. Comme la température est constante, le volume final Vf satisfait à Pr 1Vr 1 = Pr 2Vf
W =
∫ −pdV
=
∫−
Vf
p
nRT
dV = −nRT ln
= −pr 1Vr 1 ln r 1 .
V
Vi
pr 2
1.3. Comme l’opérateur agit sur un piston soumis sur une face à la pression du gaz et sur l’autre à la pression
atmosphérique, l’opérateur doit vaincre p − patm ; son travail est Wop =
∫ −(p − patm )dV
= W + patm ∆V ; le travail
maximal récupérable est −Wop .
⎛p V
⎞
⎛
p ⎞
Wiso = −Wop = −W − p0 ⎜⎜ r 1 r 1 − Vr 1 ⎟⎟⎟ = −W + p0Vr 1 ⎜⎜ 1 − r 1 ⎟⎟⎟ .
pr 2 ⎠
⎝⎜ pr 2
⎠
⎝⎜
1.4.
W = −0, 2 × 107 ln 5 = −3, 22.106 J
Wiso = 3, 22.106 + 0, 2 × 105 (1 − 5) = 3,14.106 J
⎤
pr 2Vf − pr 1Vr 1
p V ⎡ ⎛ p ⎞1−1/ γ
⎛ p ⎞1/ γ
2.1. pr 1Vrγ1 = pr 2Vfγ ⇒ Vf = Vr 1 ⎜⎜ r 1 ⎟⎟⎟ . W = ∆U =
= r 1 r 1 ⎢ ⎜⎜ r 2 ⎟⎟⎟
− 1⎥ .
⎢
⎥
⎝ pr 2 ⎠
γ −1
γ − 1 ⎣ ⎝ pr 1 ⎠
⎦
1/ γ ⎤
⎡
⎛p ⎞
2.2. Wadi = −Wop = −W − p0 (Vf − Vr 1 ) = −W + p0Vr 1 ⎢ 1 − ⎜⎜ r 1 ⎟⎟⎟ ⎥ .
⎢
⎝ pr 2 ⎠ ⎥⎦
⎣
107 × 0, 2
[0, 21−1/1,4 − 1] = −1, 84.106 J Wadi = 1, 84.106 + 105 × 0, 2[1 − 51/1,4 ] = 1, 80.106 J .
2.3. W =
0, 4
⎛ p ⎞1−1/ γ
= 300 × 0, 21−1/1,4 = 189 K . Il risque de se produire des échanges de chaleur avec le milieu
2.4 Tf = T0 ⎜⎜ r 2 ⎟⎟⎟
⎝ pr 1 ⎠
ambiant. Si l’air n’est pas sec, la vapeur d’eau qu’il contiendrait se condenserait.
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 11
3.1. a dépend de la géométrie et de la nature des corps en contact. S’il s’agit de fluides, a dépend en outre de leur
mouvement et de leur turbulence. Comme Pth s’exprime en watt et comme les températures s’expriment en kelvin, a
s’exprime en W.K– 1. Pour un gaz dont le volume varie, la géométrie n’est pas fixe et a n’est pas à priori une constante.
3.2. dU = δW + δQ ⇒ CV dT = −pdV + a(T0 − T )dt .
dV
dt
= nRTd (lnV ) = nRTd (ln(t + τ )) = nRT
V
t +τ
dt
CV dT = −nRT
+ a(T0 − T )dt
t +τ
C
pr 1Vr 1
nR
107 × 0, 2
=
= 3333 s
Comme CV =
, on obtient l’équation proposée en posant τ ′ = V =
γ −1
a
(γ − 1)T0a
0, 4 × 300 × 5
3.3. pdV = nRT
3.4. Si τ ′ est très grand, ceci correspond à a très faible i.e. à une évolution sans échange d’énergie : on se trouve donc
dans le cas adiabatique. Si τ ′ est très petit, ceci correspond à a très grand i.e. à une évolution où les échanges d’énergie à
travers les parois sont très rapides : on se trouve donc dans le cas isotherme.
3.5. La première partie de la courbe correspond à une détente où les échanges thermiques ont peu d’importance : la
diminution de la température est due à la détente. Ensuite la température se stabilise puis remonte lentement : la variation de
température résulte de la détente qui tend à la faire diminuer et des échanges thermiques qui tendent à la faire augmenter ; au
fil du temps, la variation relative de volume diminue, aussi l’influence sur la température de la détente devient moins grande
et les échanges thermiques finissent par l’emporter.
T
(γ − 1)τ ′
dTr
= 0 ; en portant cette condition dans l’équation différentielle : 1 − 0 = −
3.6. Au minimum
Trm
τ + tm
dt
a
τ(Trm − T0 )
nRTrm
nRTrm
3.7. Le gaz étant parfait on a : Prm =
d’où après simplification Prm = −
.
=
Vrm
Vr 1 ( 1 + tm / τ )
Vr 1
3.8. On lit sur la graphique Trm = 170 K ⇒ Prm =
5 × 200 × (300 − 170)
= 6, 5 bars .
0, 2
B. Étude du moteur.
1. L’admission est une transformation du type de Joule Gay Lussac, pour laquelle ∆U = 0 . La transformation est
réversible dans le réservoir, où il se produit une détente, qui s’accompagne d’une diminution de la température et donc de
l’énergie interne ; celle-ci étant conservée, elle doit augmenter pour le gaz admis dans le cylindre, d’où une augmentation de
la température de ce gaz.
⎛V ⎞γ
2. La transformation étant isentropique et le gaz étant parfait on a PV γ = cste d’où P2 = P1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎜⎝V2 ⎠
⎛V ⎞γ −1
= 350 × 0,10,4 = 139 K
3. De même TV γ −1 = cste d’où T2 = T1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
⎜⎝V2 ⎠
4. À la fin de la détente, l’équilibre mécanique entre l’air dans le cylindre et l’air extérieur s’établit : la pression dans le
cylindre est P0 . L’air restant dans le cylindre a subi successivement deux transformations isentropiques, ce qui équivaut à
⎛ P ⎞1−1/ γ
= 350 × 0, 011−1/1,4 = 94 K .
une seule allant de P1,T1 à P0 ,Tf d’où Tf = T1 ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
⎝ P1 ⎠
PV
5. Comme pour une adiabatique W = ∆U et comme U =
:
γ −1
1− γ
⎤
PV − PV
PV ⎡ ⎛V ⎞
1 1
= 1 1 ⎢⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
− 1 ⎥⎥ ;
lors de la descente du piston le travail est : W1 = 2 2
γ −1
γ − 1 ⎢ ⎝⎜V1 ⎠
⎣
⎦⎥
1
−
γ
⎤
P V ⎡ ⎛V ⎞
− 1 ⎥⎥ .
lors de la remonte du piston le travail est : W2 = 0 2 ⎢⎢ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎟
γ − 1 ⎢ ⎝⎜V2 ⎠
⎣
⎦⎥
6. Le travail récupérable est Wf = −Wop =
∫ (p − patm )dV
= −W − patm ∆V . Comme ∆V = 0 et comme les
travaux pendant l’admission et l’échappement sont négligeables, Wf = −W1 − W2 .
−6
⎛V1 ⎞⎟γ −1 ⎤
V1 ⎡⎢
⎜⎜ ⎟ ⎥ = 5.10 (1 − 0,10,4 ) = 7, 52.10−6 m 3
−
1
⎟
⎢
⎥
0, 4
γ −1⎢
⎝⎜V2 ⎠ ⎦⎥
⎣
γ −1
⎤
P V ⎡ ⎛V ⎞
105 × 50.10−6
− 1 ⎥⎥ =
(100,4 − 1) = 18, 9 J
β = 0 2 ⎢⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
γ − 1 ⎢ ⎜⎝V1 ⎠⎟
0, 4
⎥
⎣
⎦
7. P1 = 107 Pa ⇒ Wf = 56, 3 J .
α=
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 12
β
18, 9
=
= 25,1 bars .
α
7, 52.10−6
9. Pour que la pression à la fin de la détente isentropique soit P0 , il faut que la pression au départ soit
8. Le moteur s’arrête quand Wf = 0 id est quand P1 =
γ
⎛V ⎞
P1 = P0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ = 101,4 = 25,1 bars .
⎜⎝V1 ⎠
10. On peut placer une soupape d’échappement en haut du cylindre qui reste ouverte lors de la remontée du piston ; alors il
n’y a pas de travail de compression à la remontée du piston, ce qui augmente la puissance du moteur, mais consomme
davantage d’air comprimé.
On peut aussi augmenter la pression du réservoir ou le rapport volumétrique V2 /V1 pour améliorer la performance.
⎛V ⎞γ
11. A la fin de la compression, la pression est P1 = P0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ = 25,1 bars . La bille est soumis à son poids, à la force de
⎝V1 ⎠
pression, à la réaction du fond du cylindre et à l’action de la pointe. Elle décolle du fond du cylindre quand la réaction
s’annule, donc alors la force exercée par la pointe doit vaincre la somme de la force de pression sur la bille et du poids de la
G
JJG
2
bille. La force de pression est Π = ∫∫ −pdS ⇒ Π = ( Pr 1 − P1 ) πr 2 = ( 100 − 25,1 )105 × π × ( 2.10−3 ) = 94 N ; on
voit que le poids de la bille est négligeable. La bille s’ouvre quand la pointe exerce sur elle une force qui dépasse 94 N.
V.
3
5
⎛ rT
⎞
+ b ⎟⎟⎟ ⇒ h = rT + bp
rT + p ⎜⎜
⎝
⎠
p
2
2
D'après l’identité thermodynamique
dU = δQ + δW = TdS − pdV
A.1. h = u + pv =
du
pdv
rdv
rT
3 dT
3
3
5
+
= r
+
⇒ s = r ln T + r ln ( v − b ) = r lnT + r ln
⇒ s = r lnT − r ln p
T
T
v −b
p
2 T
2
2
2
A.2. Dans une transformation adiabatique et réversible, l’entropie reste constante, donc :
⎛ p ⎞2 / 5
5
5
= 273 × 0,10,4 = 109 K
s = s′
r ln T − r ln p = r lnT ′ − r ln p ′ T = T ′ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
2
2
⎝ p′⎠
ds =
A.3. Dans une détente de Joule –Thomson, l’enthalpie reste constante, donc :
2 × 5, 92.10−6 × ( 106 − 105 )
2b ( p ′ − p )
5
5
= 273 +
= 274 K
h = h′
rT + bp = rT ′ + bp ′ T = T ′ +
2
2
5r
5 × 2, 08
.
5
T
p
− r ln
≈ −2, 08 ln 0,1 = 4, 8 J. K−1
r ln
2
T′
p′
5
B.1. Pour une adiabatique réversible, s = r lnT − r ln p = cste ⇒ p /T 5 / 2 = cste , donc la
2
loi de Laplace a la même forme que pour un gaz parfait :
∆s = s − s ′ =
⎛T
pB = pA ⎜⎜ B
⎝ TA
5/2
⎞⎟
⎠⎟⎟
300
( 273
)
273
= 10 (
300 )
= 105
2,5
= 1, 266.105 Pa
p
C
B
D
A
0
v
2,5
⎛T ⎞5 / 2
6
5
pD = pC ⎜⎜ D ⎟⎟⎟
7,
900.10
Pa
=
⎝ TC ⎠
Le diagramme s’obtient qualitativement à partir des points A et C et en dessinant des adiabatiques plus pentues que les
isothermes.
B.2. Ci est l’organe chauffant. La transformation qui s’y déroule est isotherme et réversible, donc en tenant compte de
l’expression de l’entropie :
QBC = TB ( sC − sB ) QBC = TB ( sC − sB ) = rTB ln ( pB / pC )
QBC = TB ( sC − sB ) = rTB ln ( pB / pC ) = 2, 08 × 300 × ln ( 1, 266 /10 ) = −1290 J .
D’où Q = 1290 J .
B.3. De même, QDA = rTD ln ( pD / pA ) = 2, 08 × 273 × ln ( 7, 9 /1 ) = 1174 J .
p
p
Le premier principe pour le cycle donne W = −QBC − QDA = rTB ln c + rTD ln A = 1290 − 1174 = 116 J .
pB
pD
B.4. Q ′ = W .
Q
1
1
1
Q
1290
=
=
=
= 11,1 ou η =
=
= 11,1 .
B.5. η =
T
273
W
116
T ln ( pD / pA )
Q′
1− D
1−
1+ D
TB
300
TB ln ( pB / pC )
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 13
C’est le rendement d’une pompe à chaleur ditherme réversible qu’on peut obtenir par un raisonnement plus simple
n’entrant pas dans le détail du fonctionnement (voir cours sur les machines thermiques).
VI.
1) Appliquons le premier principe au système formé par une masse m de fluide
transvasé et l’organe avec le fluide qu’elle contient ; comme l’organe est stationnaire, sa
variation d’énergie est nulle et la variation d’énergie est celle du fluide transvasé ; le
travail reçu par le système est celui reçu par l’organe mw’ et celui de la pression exercée
par le fluide qui précède ou qui suit le fluide considéré ; d’où :
U 2 − U 1 = mw '+ PV
1 1 − P2V2 + mq
mq
1
état initial
organe
mw’
(U 2 + P2V2 ) − (U 1 + PV
1 1 ) = mw '+ mq
2
organe
H 2 − H 1 = mw '+ mq
état final
h2 − h1 = w '+ q
2) PV =
m
MPV
0, 029 × 105 × 300
RT ⇒ m =
=
= 357 kg .
M
RT
8, 32 × 293
3) Q = mcp ∆θ = 357 × 1000 × 20 = 7,14.106 J
P =
Q
7,14.106
=
= 1980 W .
t
3600
mcp ∆θ
357 × 1000 × 1
=
= 595 W .
600
t
5) Il faut donc une puissance de refroidissement de 1980 + 595 = 2580 W.
5
× 8, 32
γR
= 3
= 5200 J.kg−1 . K−1 .
6) cp =
2
( γ − 1)M
× 0, 004
3
7) Dans la transformation adiabatique et réversible AB, l’hélium obéit à la loi de Laplace, soit
4) PTH =
T
P
1−
8)
1
γ
T1
= cste ⇒
1−
P1
T2
1−
1
γ
=
=
1−
P2
1
γ
⎛ P ⎞1 − γ
3
⇒ T3 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟
= 293
⎝ P1 ⎠
2
1
T4
1−
1
γ
1
T3
1
γ
⎛ P ⎞1− γ
2
⇒ T4 = T2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟
= 313
⎝ P2 ⎠
3
()
1−
()
3
5
1−
3
5
= 344, 6 K .
p
= 266,1 K .
P2
P1
9) L’examen de ce cycle montre que le travail reçu est positif ; le cycle tourne dans le sens
positif, ou bien le travail positif de ABE l’emporte sur le travail négatif de EFA, car l’aire entre
ABE et l’axe des v est plus grande que l’aire entre EFA et l’axe des v.
10) Q1 = cp (T1 − T4 ) = 5200 × ( 293 − 266,1 ) = 139880 J .
E
B
T2
T1
F
A
0
11) Q2 = cp (T2 − T3 ) = 5200 × ( 313 − 344, 6 ) = −164320 J .
12) Le premier principe pour une machine donne W + Q1 + Q2 = 0 ⇒ W = 164320 − 139880 = 24440 J .
Q
139880
= 5, 72 .
13) e = 1 =
W
24440
dm
dm
p
3000
Q ⇒
= TH =
= 0, 0214 kg/s .
14) pTH =
dt 1
dt
Q1
139880
15) P = 0, 0214 × 24440 = 524 W .
16) Ce cycle n’est pas réversible car il met en contact thermique des corps de températures différentes. On peut vérifier
qu’il obéit à l’inégalité de Clausius.
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 14
v