interféromètre de Michelson

interféromètre à division d'amplitude de Michelson
1. description, intérêt historique, intérêt pratique
1.1 intérêt historique
1.2 description de l'appareil
1.3 intérêt pratique
2. utilisation en lame d'air; observation des anneaux à l'infini
2.1 description et localisation des franges
2.2 calcul de la différence de marche pour une lame à faces parallèles
2.3 calcul du rayon des anneaux
2.4 calcul de l'éclairement
2.5 cas d'une source de faible largeur spectrale
3. utilisation en coin d'air, franges rectilignes localisées sur les miroirs
3.1 description et localisation des franges
3.2 calcul de la différence de marche pour un "coin d'air"
3.3 observation du plan conjugué des miroirs au moyen d'une lentille mince
3.4 interposition d'une lame à faces parallèles sur un des trajets
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1. description, intérêt historique, intérêt pratique
1.1 intérêt historique
Le développement de l'électromagnétisme (Maxwell 1864) et la recherche d'un référentiel privilégié
(éther ) dans lequel les lois de l'E.M. seraient valables, les théories de Lorentz sur la transformation des champs
E et B lors d'un changement de repère, ont conduit Michelson en 1881, et Michelson et Morley en 1887 à réaliser
une exprérience d'interférences, afin de montrer l'influence du repère sur la célérité de propagation de la lumière.
Cette expérience, reprise jusque vers 1950 n'a jamais permis de mettre en évidence une variation de c, et
Einstein en 1905 postule que c ne dépend ni du mouvement de la source, ni de celui de l'observateur.
1.2 description de l'appareil
C'est un appareil à division d'amplitude, le faisceau de rayons incidents étant partagé en deux faisceaux
d'amplitude à peu près égale, par une lame "séparatrice" semi-réfléchissante
qui se réfléchissent ensuite sur deux miroirs , puis interfèrent suivant les cas, à l'infini ( miroirs perpendiculaires),
ou au voisinage des miroirs, lorsqu'ils ne sont pas tout à fait perpendiculaires.
On obtient alors un contraste C =
I max − I min
I max + I min
maximum
L'appareil de Michelson et Morley reposait sur une dalle de grès , reposant sur des supports en bois flottant dans
un bain de mercure, afin d' atténuer les vibrations pouvant perturber l'expérience.
L'interféromètre fut initialement conçu pour travailler
avec des sources étendues. Dans ce cas on justifie
les phénomènes d'interférence par la division
d'amplitude. L'élément essentiel du dispositif est la
lame séparatrice dont l'une des faces est
légèrement métallisée pour devenir semiréfléchissante. Elle est placée parallèlement au plan
bissecteur de deux miroirs M1 et M2 à peu près
perpendiculaires entre-eux. Un rayon incident issu
de la source étendue S est partiellement réfléchi
vers le miroir M2 et partiellement transmis vers le
miroir M1.
Par contre on remarquera dans la figure précédente
que le trajet du rayon (1) comporte trois traversées
du verre de la séparatrice et une seule pour le trajet
(2). Pour rétablir l'égalité des chemins optiques
dans le verre quelle que soit l'incidence et les
longueurs d'onde des radiations utilisées, on place
sur le trajet (2) parallèlement à la séparatrice, une
lame compensatrice C identique à la séparatrice.
Par la suite nous simplifierons les schémas en ne
représentant que la face semi-réfléchissante de la
séparatrice.
Les pouvoirs de transmission T et de réflexion R de la couche semi-réfléchissante sont sensiblement égaux
(R=T=0.5). Les intensités correspondant aux réflexions verre-air ou air-verre seront considérées comme
négligeables.( expérimentalement, elles donnent cependant des images parasites parfois gênantes). Après
réflexion sur les miroirs M1 et M2, les rayons (1) et (2) rencontrent de nouveau la face semi-réfléchissante de la
séparatrice. Les rayons (1') et (2') qui transportent chacun un quart de l'énergie incidente sont cohérents. Nous
considérerons que les réflexions air-face semi-réfléchissante et face semi-réfléchissante-air sont de même nature
différentes configurations possibles de la séparatrice, et de la compensatrice
marche d'un rayon incident arrivant normalement sur le plan des miroirs
M1
M1
compensatrice
face semiréfléchissante
S
S
séparatrice
séparatrice
M2
M2
M1
compensatrice
S
S
séparatrice
M2
marche de rayons inclinés
localisation des franges:
une source ponctuelle ou un pinceau très fin (Laser) permettra d'observer anneaux ou des franges
un peu partout : on dit qu'elles ne sont pas localisées dans une région précise de l'espace
-dans le cas d'une source étendue, chaque point source donnera un phénomène d'interférence
différent, il y aura donc superposition d'une infinité de systèmes de franges différents et
brouillage, sauf dans certains cas où la différence de marche ne dépend plus du point source :
les franges sont alors identiques pour tous les points sources et donnent des systèmes qui se
renforcent; elles sont alors :
-localisées à l'infini (ou dans le plan focal d'une lentille mince) pour la configuration "lame d'air" ,
-localisées sur les miroirs dans la configuration "coin d'air"
1.3 intérêt pratique
- deux directions de propagation perpendiculaires
- on peut agir séparément sur chaque "bras" de l'interféromètre
- mesures de longueurs d'ondes, d'indices, d'épaisseurs, de longueurs de cohérences,
d'angles, etc...
Il existe de multiples variantes, utilisant un plus grand nombre de miroirs (Mach, Zender..),
mais faisant toujours interférer deux faisceaux obtenus à partir d'un faisceau unique
S
Observateur
2. utilisation en lame d'air; observation des anneaux à l'infini
2.1 description et localisation des franges
remarque générale : dans l'air, les points tels que (S2M) - (S1M) = cte, sont situés sur des
hyperboloïdes de révolution ; suivant la position relative de l'écran et des sources, on
aura des anneaux, ou des franges quasi-rectilignes (voir transparent)
avec une source ponctuelle (trou source, ou laser+lentille 5mm), la différence de marche δ est
définie et calculable en tout point; on peut donc observer des interférences dans une
zone étendue, on dit qu'elles ne sont pas localisées.
avec une source étendue : infinité de points sources, donc infinité de systèmes de franges,
d'où brouillage, sauf à l'infini, où δ ne dépend plus de la position du point source; on dit
que les franges sont localisées à l'infini. On les observera donc dans le plan focal d'une
lentille mince.
cas des miroirs perpendiculaires: configuration "lame d'air" ; réduction de l'interféromètre
M1
M1
M *2
compensatrice
S
S
séparatrice
M2
M2
Observateur
configuration "lame d'air
M1
M1
M *2
M *2
S
S
M2
équivalent de L2
*
équivalent de L1
S
*
S
M1
M *2
lame d'air équivalente
M *2
M1
2e cosi
+
+
S1 2e S2
i
i
S*
e
schéma faisant apparaître S1 et S2, images de S* par M1 et M2*
*
S
les rayons parallèles interfèrent à l'infini ou dans le plan focal d'une lentille mince
la différence de marche est : δ = 2e cosi si e est la distance M1M 2
( on peut aussi utiliser le calcul vu pour une lame à faces parallèles
δ n'est fonction que de i ⇒ on observera des anneaux d'axe S1S2
*
2.2 calcul de la différence de marche pour une lame à faces parallèles
notons les différentes images d'un point source S :
S
(Sp+Cp)
→ S*
et
(M1)
S* → S1
(M2)
S* → S2
on peut se ramener à un "interféromètre réduit", et à l'étude d'une lame à faces parallèles
calcul de la différence de marche :
J
δ = (IJ) + (JK) - (IH) car (KM) = (HM)
δ=
2e
2e
− (2e tan i ) sin i =
(1 − sin ²i )
cos i
cos i
I
K
i
δ=2e cos i
H
si i = 0 : frange (ou anneau) centrale
si e = 0: contact optique
S
M à l'∝
remarque : toujours vérifier si δgéom = δond (nombre pair de réflexions sur des milieux plus
réfringents), sinon rajouter λ0/2
observation des franges (anneaux) à l'infini : on les observera dans le plan focal image d'une
lentille mince :
M1
HM
= tan i ≈ i
f'
M2*
en H i = 0 donc δ=2e
en M δ=2e cos i
pour une même valeur de i on
aura des franges de même
nature, donc des anneaux, puisque
HM =R =cte si i =cte
L
écran
H
M
e
2.3 rayons des anneaux, dans le plan focal d'une lentille mince
au centre, po = 2e /λ0 est en général quelconque (non entier ou demi-entier)
posons po = k + ε avec k entier, et ε < 1 ; le premier anneau brillant sera obtenu pour
p1 = k ( car la différence de marche décroit lorsque i croit ) soit :
2e cos i1 = k λ0 = p1λ0
d'où i1 et R1 = f' i1
on obtient ainsi :
anneau
centre :
er
différence de marche
δ=2e (quelconque)
δ1 = kλ0 = 2ecosi1
δ2 = (k-1)λ0 = 2ecosi2
δ3 = (k-2)λ0 = 2ecosi3
ordre p
angle i
0
po = k + ε
p1 = k
cos i1 = kλ0 / 2e
p2 = k-1 cos i2 = (k-1)λ0/2e
p3 = k-2 cos i3 = (k-2)λ0/2e
rayon
0
R1 = f' i1
R2 = f' i2
R3 = f' i3
1 anneau
ème
2
anneau
ème
3
anneau
etc...
l'angle i étant faible, on peut écrire : cosi ≅ 1 - i²/2 soit en remplaçant :
angle i
rayon
0
0
1/2
cos i1 = 1 - i1²/2 = kλ0/2e
R1 = f'(2 - kλ0/e)
1/2
cos i2 = 1 - i2²/2 = (k-1)λ0/2e
R2 = f'(2 - (k-1)λ0/e)
1/2
cos i3 = 1 - i3²/2 = (k-2)λ0/2e
R3 =f'(2 - (k-2)λ0/e)
1/2
cos in= 1 - in/2 = (k-n+1)/2e
Rn=f'(2 - (k-n+1)λ0/e)
et ainsi de suite...si on porte Rn² =f'²(2 - (k-n+1)λ0/e) en fonction de n, on obtient une droite de pente
a=λ0 f'²/e et en recommençant pour une autre valeur de e, on obtient a'=λ0 f'²/e'
connaissant a, a', et (e - e'), on peut en déduire λ0, puis e et e'.
supposons maintenant le centre (i=0) brillant: alors ε = 0 et po = 2e /λ0 = k entier
les expressions deviennent :
1/2
R1 = f'(2 - kλ0/e)
=0
1/2
1/2
R2 = f'(2 - (k-1)λ0/e) = f'(λ0/e)
R3 = f'(2 - (k-2)λ0/e)
1/2
= f'(2λ0/e)
1/2
etc...
soit
λ
R n +1 = f ' n  0 
 e
si on porte Rn² =f'²(2 - (k-n+1)λ0/e) en fonction de n, on obtient une droite de pente a=λ0 f'²/e
en recommençant pour une autre valeur de e, on obtient a'=λ0 f'²/e' et connaissant a, a', et e e', on peut en déduire λ0, e et e'.
Dans ce cas, le rayon des anneaux varie comme
n :
remarque : au "contact optique", e = 0 donc R devient infini. l'écran est alors uniformément
éclairé (teinte "plate")
2.4 calcul de l'éclairement ; mesures de longueurs d'ondes
En un point de l'écran, on a superposition de deux ondes cohérentes avec une différence de
marche δ, donc I = k < s1 + s2 >² = I0/2 ( 1 + cos2πδ/λ0 ) (voir ch2)
si e varie , un anneau brillant au centre est remplacé par un anneau brillant, chaque fois que e
varie de λ0/2; ainsi, si on compte 500 anneaux, e varie de 250 λ0 .
supposons par exemple e = e0 + vt : δ au centre devient : δ = δ0 + 2vt
et I = I0/2 ( 1 + cos[2π/λ0 (δ0 + 2vt)] ) fonction sinusoïdale de période T = λ0/2v
on peut ainsi mesurer une longueur d'onde
I
2.5 cas d'une source de faible largeur spectrale :
tout se passe comme si on superposait une infinité
de sources monochromatiques
incohérentes de largeur spectrale dν (avec λ0 = c/ν)
ν
 

πδ

ν
ν
sin
(
−
)


2
1


2πδν
I
c
 cos πδ (ν 2 + ν 1 )
alors I = K ∫ (1 + cos
)dν = 0 1 + 
c
2   πδ
c
ν1

(ν 2 −ν 1 ) 


  c

ν2
les anneaux se brouillent périodiquement lorsque δ varie, ce qui permet de déterminer la
"largeur spectrale" ν2 -ν1 .
I/I0
δ
c/(ν2-ν1)
3. utilisation en "coin d'air"; franges rectilignes localisées sur les miroirs
3.1 description et localisation des franges
A partir du contact optique (teinte plate) on dérègle un des miroirs : le miroir M1 forme avec
M2*, image de M2 par (Sp+Cp), un dièdre d'angle α
On observe soit des franges dans une large région de l'espace (franges non localisées) si on
éclaire avec une source ponctuelle, soit des franges localisées au voisinage du plan des
miroirs et brouillées ailleurs si on utilise une source étendue; en effet, au voisinage des miroirs,
la différence de marche ne dépend que du point observé, et non plus du point source.
3.2 calcul de la différence de marche pour un "coin d'air"
On admettra que, à des infiniments petits d'ordre 2 près , δ =2e pour des rayons interférant au
voisinage des miroirs, et δ varie ailleurs en fonction du point; on ne s'intéressera donc
qu'aux rayons interférant au voisinage des miroirs.
e(x)
on voit que δ = 2e = 2αx
α
x
S
franges de même nature pour δ = 2e = 2αx = cte donc franges rectilignes parallèles à l'arête du
dièdre formé par les miroirs et on parle de "franges d'égale épaisseur" localisées sur les
miroirs
3.3 observation du plan conjugué des miroirs au moyen d'une lentille mince
On forme l'image du "plan des miroirs" sur un écran, au moyen d'une lentille mince:
relation de conjugaison :
A
1
1
1
−
=
et OA' − OA = D
OA' OA OF '
grandissement : γ
=
miroirs
OA'
avec γ > 1
OA
O
exemple : si D = 1,50 m et f' = 0,135m
OA' =1,35 m, OA = -0,15m et γ = -9
sur l'écran, on observera un interfrange
i' = |γ| i et lorsque x varie de un interfrange
δ varie de λ0 donc :
∆δ = λ0 = 2αi
et
écran
A'
i' = |γ| i = |γ| λ0 / 2α
remarque : en lumière blanche, on observera une frange centrale blanche ou noire, et des
franges irisées (dont les bords sont colorés) :
3.4 interposition d'une lame à faces parallèles sur un des trajets
M1
M2*
ε
M2
S
Sp+Cp
n
Si on interpose une lame à faces parallèles d'épaisseur ε et d'indice n >1 sur un des "bras" de
l'interféromètre, la différence de marche δ = L2 - L1 varie de 2(n - 1)ε ;
la nouvelle différence de marche s'écrit δ' = 2αx + 2(n - 1)ε
la frange centrale définie par δ' = 0 est décalée de
on voit donc défiler en x = 0
p=
x0
i
=
x0
λ0
2α
=−
x0 = −
(n − 1)ε
2(n − 1)ε
λ0
α
franges
le décalage des franges permet d'atteindre n ou ε (mesures d'indices, ou de faibles épaisseurs)
exemple numérique :avec α= 1' = π/(180x60) rad et ε= 0,1 mm λ0 = 0,63 µm
si on voit défiler 100 franges, n-1 = pλ0/2ε = 100 λ0/2ε = 0,31 et n = 1,31
_________________________
interposition d'une lame mince
écoulement autour d'une aile