Cours de Mathématiques – Seconde Ordre et valeur absolue

Cours de Mathématiques – Seconde
Ordre et valeur absolue
Frédéric Demoulin1
Dernière révision : 16 avril 2007
Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini2
1 frederic.demoulin (chez) voila.fr
2 gilles.costantini (chez) bacamaths.net
Table des matières
1 Ordre et comparaison
1.1 Comparaison de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ordre et addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ordre et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Comparaison des carrés, des racines carrées et des inverses
1.4.1 Passage au carré et à la racine carrée . . . . . . . . .
1.4.2 Passage à l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Comparaison de a, a 2 et a 3 (a Ê 0) . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
3
4
5
2 Intervalles de R
2.1 Rappel sur la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Réunion et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
3 Valeur absolue
3.1 Distance entre deux réels . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Valeur absolue d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Équations et inéquations avec des valeurs absolues
3.4 Valeurs absolues et intervalles . . . . . . . . . . . .
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7
7
8
8
8
10
12
4 Encadrements et valeurs approchées
4.1 Encadrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Valeurs approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
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Seconde
Ordre et valeur absolue
1 Ordre et comparaison
Tous les résultats et règles énoncés ici avec des inégalités strictes restent valables (sauf indication
contraire) avec des inégalités larges.
1.1 Comparaison de deux nombres
Définition 1.1 Soient a et b deux réels. On a :
a < b ⇐⇒ a − b < 0
Cette démarche sera très
utilisée en pratique.
Comparer deux nombres réels revient à savoir s’ils sont égaux ou bien à savoir lequel est le plus
grand. En s’appuyant sur la définition précédente, comparer deux nombres revient à étudier le signe
de leur différence.
Exemple. Soient a et b deux réels. Pour comparer les¡ nombres a 2 +¢ b 2 et (a − b)2 , on étudie le signe
de leur différence. On a a 2 + b 2 − (a − b)2 = a 2 + b 2 − a 2 − 2ab + b 2 = 2ab.
Si a et b sont tous deux nuls, alors 2ab = 0, d’où a 2 + b 2 = (a − b)2 .
Si a et b sont non nuls et de signe contraire, alors 2ab < 0, d’où a 2 + b 2 < (a − b)2 .
Si a et b sont non nuls et de même signe, alors 2ab > 0, d’où a 2 + b 2 > (a − b)2 .
Propriété 1.1 Soient a, b et c trois réels. Si a < b et b < c, alors a < c.
Preuve. Si a < b, alors, d’après la définition 1.1, a−b < 0. De même, si b < c , alors b−c < 0. La somme
de deux nombres strictement négatifs est un nombre strictement négatif donc (a − b) + (b − c) < 0,
soit a − c < 0, d’où a < c.
■
Remarque. On dit que la relation d’ordre « < » est transitive.
1.2 Ordre et addition
Propriété 1.2 Soient a, b et c trois réels. Si a < b, alors :
a +c < b +c
et a − c < b − c
On ne change pas le sens d’une inégalité en ajoutant à chaque membre un même nombre.
Preuve. Si a < b, alors, d’après la définition 1.1, a −b < 0, soit encore (a +c)−(b +c) < 0, d’où a +c <
b + c. On montre de la même façon la seconde inégalité.
■
Propriété 1.3 Soient a, b, c et d quatre réels. Si a < b et c < d, alors :
a +c < b +d
On peut ajouter, membre à membre, des inégalités de même sens. Par contre, on ne peut pas soustraire, membre à membre, des inégalités.
Preuve. D’après la propriété 1.2, si a < b, alors a + c < b + c. De même, si c < d, alors b + c < b + d.
Par transitivité, on en tire alors a + c < b + d.
■
Remarque. On dit que la relation d’ordre « < » est compatible avec l’addition.
Exemple. Soient x et y deux réels tels que −1 É x É 4 et 1 É y É 2. On se propose de donner un
encadrement de x + y.
Puisqu’on peut ajouter, membre à membre, des inégalités de même sens, il vient :
−1 + 1 É x + y É 4 + 2,
1
soit 0 É x + y É 6
Seconde
Ordre et valeur absolue
1.3 Ordre et multiplication
Propriété 1.4 Soient a, b et c trois réels. Si a < b, alors :
1. Si c > 0, alors ac < bc.
2. Si c < 0, alors ac > bc.
On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant chaque membre par un même nombre
strictement positif. Par contre, on en change le sens si on multiplie chaque membre par un même
nombre strictement négatif.
Preuve. Si a < b, alors, d’après la définition 1.1, a − b < 0. Si c > 0, alors, le produit de deux nombres
de signes différents étant un nombre négatif, ac − bc < 0, d’où ac < bc. Si c < 0, alors, le produit de
deux nombres de même signe étant un nombre positif, ac − bc > 0, d’où ac > bc.
■
Exemple. Soient x et y deux réels tels que 2 É x É 3 et −1 É y É 1. On se propose de donner un
encadrement de 3x − 2y.
Multiplier par un nombre positif chaque membre d’une inégalité ne change pas l’ordre, puisque
3 > 0, il vient :
6 É 3x É 9
Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque −2 < 0, il
vient :
−2 É −2y É 2
On peut ajouter, membre à membre, des inégalités de même sens, il vient :
4 É 3x − 2y É 11
Propriété 1.5 Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs. Si a < b et c < d, alors ac < bd.
On peut multiplier, membre à membre, des inégalités à termes positifs. Par contre, on ne peut pas
diviser, membre à membre, des inégalités.
Preuve. Si a < b et c > 0, alors, d’après la propriété 1.4, ac < bc. De même, si c < d et b > 0, alors
bc < bd. Par transitivité, il vient ac < bd.
■
Exemple. Reprenons les deux réels x et y de l’exemple précédent. On se propose de donner un
encadrement de x y. On ne peut pas multiplier ces deux encadrements membre à membre puisque
y peut être négatif. On se rapporte alors à des encadrements à termes positifs en remarquant que :
¡
¢
−1 É y É 1 ⇐⇒ −1 É y É 0 ou 0 É y É 1
Supposons −1 É y É 0. Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change
l’ordre, puisque −1 < 0, il vient :
0 É −y É 1
On peut multiplier, membre à membre, des inégalités à termes positifs. Comme 2 É x É 3, il vient :
0 É −x y É 3
D’où, en multipliant par −1 < 0 :
−3 É x y É 0
Supposons 0 É y É 1. Comme on peut multiplier, membre à membre, des inégalités à termes positifs,
il vient :
0 É xy É 3
Finalement, on en tire :
−3 É x y É 3
2
Seconde
Ordre et valeur absolue
1.4 Comparaison des carrés, des racines carrées et des inverses
1.4.1 Passage au carré et à la racine carrée
Propriété 1.6 Soient a et b deux réels positifs. On a :
a < b ⇐⇒ a 2 < b 2
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Preuve. Si a < b, alors a−b < 0. Comme a et b sont positifs, il vient a+b > 0. On en tire (a−b)(a+b) <
0, soit a 2 − b 2 < 0, d’où a 2 < b 2 .
Réciproquement, si a 2 < b 2 , alors a 2 −b 2 < 0, soit (a −b)(a +b) < 0. a +b et a −b sont donc de signes
contraires et non nuls. Comme a et b sont positifs, a + b > 0. Il vient a − b < 0, d’où a < b.
■
Exemple. Soit x un réel tel que 2 É x É 4. On se propose de donner un encadrement de −3x 2 .
Dans une inégalité à termes positifs, passer au carré ne change pas l’ordre, il vient :
22 É x 2 É 42
Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque −3 < 0, il
vient :
−48 É −3x 2 É −12
Propriété 1.7 Soient a et b deux réels positifs. On a :
a < b ⇐⇒
p
a<
p
b
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
R
Preuve. On propose ici deux approches :
Où l’on s’appuie sur la propriété 1.6.
p
p
a et b sont deux nombres positifs donc a et b existent et sont positifs. D’après la propriété 1.6,
p
p
p 2 p 2
p
p
on a alors a < b ⇐⇒ a < b , soit a < b ⇐⇒ a < b.
R
Où l’on s’appuie sur la technique de la quantité conjuguée.
Note. On appelle quantité conjuguée d’une expression de la forme
p
a − b la quantité
p
a + b.
p
p
On procéde par double implication. Soient a et b deux réels positifs distincts. a et b existent,
sont positifs et distincts.
p
p
Supposons a < b.pComparer a et b revient à étudier le signe de leur
p différence. En multipliant et
p
p
en divisant a − b par sa quantité conjuguée, en l’occurence a + b > 0, il vient :
³p
p ´ ³p
p ´
a− b
a+ b
p
p
a− b=
p
p
a+ b
On fait apparaître au numérateur l’identité remarquable (x − y)(x + y) = x 2 − y 2 . Il vient alors :
2 p 2
a − b
a −b
a− b= p
p =p
p
a+ b
a+ b
p
p
p
p
p
p
Comme a < b, alors a − b < 0. Puisque a + b > 0, il vient a − b < 0, soit a < b.
p
p
■
p
chaque
a− b < 0. Multiplier par un³nombre positif
p
p ´ ³p
p ´
p
p
membre d’une inégalité ne change pas l’ordre, puisque a + b > 0, il vient
a− b
a+ b <
p 2 p 2
0, soit a − b < 0, d’où a − b < 0, soit encore a < b.
■
Réciproquement, supposons
p
a<
p
p
b. Il vient
p
3
Seconde
Ordre et valeur absolue
p
Exemple. Soit x un réel tel que 31 É x É 9. On se propose de donner un encadrement de 2 x − 1.
Passer à la racine carrée ne change pas l’ordre, puisque 31 Ê 0, il vient :
r
p
1 p
É x É 9,
3
soit
p
3 p
É x É3
3
Multiplier par un nombre positif chaque membre d’une inégalité ne change pas l’ordre, puisque
2 > 0, il vient :
p
p
2 3
É2 x É6
3
Retrancher un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas l’ordre, il vient :
p
p
2 3
−1 É 2 x −1 É 5
3
1.4.2 Passage à l’inverse
Propriété 1.8 Soient a et b deux réels strictement positifs. On a :
a < b ⇐⇒
1 1
>
a b
Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Preuve. On a :
De plus :
1 1
1 1
> ⇐⇒ − > 0
a b
a b
1 1 b−a
− =
a b
ab
Si a < b, alors b − a > 0. a et b sont strictement positifs donc ab > 0. On en tire donc b−a
ab > 0, soit
1
1
1
1
−
>
0,
d’où
>
.
a
b
a
b
Réciproquement, si a1 > b1 , alors a1 − b1 > 0, soit b−a
ab > 0. Comme ab > 0, il vient b − a > 0, d’où a < b.
■
Exemple. Soit x un réel tel que 21 É x É 5. On se propose de donner un encadrement de − x4 .
Passer à l’inverse change l’ordre, puisque 12 > 0, il vient :
1 1
É É2
5 x
Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque −1 < 0, il
vient :
1
1
−2 É − É −
x
5
Multiplier par un nombre positif chaque membre d’une inégalité ne change pas l’ordre, puisque
4 > 0, il vient :
4
4
−8 É − É −
x
5
On sait donc comparer les carrés, les racines carrées et les inverses de nombres positifs, comment
faire dans le cas de nombres négatifs ? Comme souvent en Mathématiques, on se ramène à ce que
l’on sait faire, c’est-à-dire à des nombres positifs en multipliant par −1.
Exemples. ➀ Soit x un réel tel que −2 É x É −1. On se propose de donner un encadrement de 2x 2 +1.
On procéde comme indiqué ci-dessus en se ramenant à des nombres positifs.
Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque −1 < 0, il
vient :
1 É −x É 2
4
Seconde
Ordre et valeur absolue
Dans une inégalité à termes positifs, passer au carré ne change pas l’ordre, il vient :
1 É (−x)2 É 4,
soit 1 É x 2 É 4
Multiplier par un nombre positif chaque membre d’une inégalité n’en change pas l’ordre, puisque
2 > 0, il vient :
2 É 2x 2 É 4
Enfin, ajouter un même nombre à chaque membre d’une inégalité n’en change pas l’ordre, il vient :
3 É 2x 2 + 1 É 5
➁ Soit x un réel tel que −5 É x É −2. On se propose de donner un encadrement de
10
x .
Multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque −1 < 0, il
vient :
2 É −x É 5
Dans une inégalité à termes positifs, passer à l’inverse change l’ordre, il vient :
1
1 1
É− É
5
x 2
Multiplier par un nombre positif chaque membre d’une inégalité n’en change pas l’ordre, puisque
10 > 0, il vient :
10
É5
2É−
x
Enfin, multiplier par un nombre négatif chaque membre d’une inégalité change l’ordre, puisque
−1 < 0, il vient :
10
−5 É
É −2
x
1.5 Comparaison de a, a 2 et a 3 (a Ê 0)
Propriété 1.9 Soit a un réel positif.
1. Si a = 0 ou a = 1, alors a = a 2 = a 3 .
2. Si 0 < a < 1, alors a 3 < a 2 < a.
3. Si a > 1, alors a < a 2 < a 3 .
Preuve. 1. Immédiat.
2. Supposons 0 < a < 1. En multipliant cette inégalité par a > 0, il vient a 2 < a. En la multipliant par
a 2 > 0, il vient a 3 < a 2 , d’où a 3 < a 2 < a.
3. Supposons a > 1. En multipliant cette inégalité par a > 0, il vient a 2 > a. En la multipliant par
a 2 > 0, il vient a 3 > a 2 , d’où a < a 2 < a 3 .
■
Exemple. Comparons les nombres 2π, 4π2 et 8π3 . On remarque d’abord que 4π2 = (2π)2 et 8π3 =
(2π)3 . Comme 2π > 1, d’après la propriété 1.9, il vient 2π < (2π)2 < (2π)3 , soit 2π < 4π2 < 8π3 .
2 Intervalles de R
2.1 Rappel sur la droite numérique
Définition 2.1 La droite numérique est une droite graduée à laquelle on a associé une origine O.
Chaque point de cette droite est repéré par un unique réel x appelé abscisse de ce point. Réciproquement, à chaque réel x est associé un unique point de cette droite.
5
Seconde
Ordre et valeur absolue
2.2 Définition et notations
Définition 2.2 Soient a et b deux réels tels que a < b. L’ensemble des réels x tels que a É x É b est
appelé intervalle fermé de R, on le note [a ; b].
b−a
a et b sont les bornes de l’intervalle [a ; b], b − a son amplitude, a+b
2 son centre et 2 son rayon.
On dit qu’un intervalle est borné si, et seulement si, ses deux bornes sont finies (c’est-à-dire sont
deux réels). Si, en plus de cela, l’intervalle est fermé, on dit alors que c’est un segment.
On peut résumer dans les deux tableaux qui suivent les différents intervalles, leur dénomination et
leur représentation sur la droite numérique.
Inégalité
Représentation graphique
aÉx Éb
a
b
a<x <b
a
b
aÉx <b
a
b
a<x Éb
a
b
Inégalité
Intervalle borné
Dénomination
[a ; b]
intervalle fermé
]a ; b[
intervalle ouvert
[a ; b[
]a ; b]
Représentation graphique
intervalle semi-ouvert à droite
(ou semi-fermé à gauche)
intervalle semi-ouvert à gauche
(ou semi-fermé à droite)
Intervalle non borné
Dénomination
xÊa
a
[a ; +∞[
intervalle fermé
x>a
a
[a ; +∞[
intervalle ouvert
xÉa
a
] − ∞ ; a]
intervalle fermé
x<a
a
] − ∞ ; a[
intervalle ouvert
En pratique :
– l’ensemble des réels positifs se note R+ = [0; +∞[ ;
– l’ensemble des réels négatifs se note R− =] − ∞ ; 0] ;
– l’ensemble des réels non nuls se note R∗ = R − {0} ;
– l’ensemble des réels strictement positifs se note R+∗ =]0; +∞[ ;
– l’ensemble des réels strictement négatifs se note R−∗ =] − ∞ ; 0[.
On rencontre parfois la notation ] − ∞ ; +∞[ pour désigner l’ensemble R des réels.
Remarque. −∞ (« moins l’infini ») et +∞ (« plus l’infini ») sont des symboles, ils ne désignent pas
des réels.
Par convention, le crochet est toujours ouvert en −∞ et en +∞.
2.3 Réunion et intersection
Définition 2.3 Soient I et J deux intervalles. La réunion des intervalles I et J , notée I ∪ J (lire « I
union J »), est l’ensemble des réels appartenant à I ou à J .
Mathématiquement, on a :
x ∈ I ∪ J ⇐⇒ (x ∈ I ou x ∈ J )
Remarque. Sauf indication contraire, le « ou » en mathématiques est inclusif (c’est le cas de celui
rencontré dans la définition de la réunion de deux intervalles). Il inclut le « et ». Dire que x appartient
à I ∪ J revient donc à dire que, soit x appartient à I , soit à J , soit aux deux.
6
Seconde
Ordre et valeur absolue
Exemples. Pour déterminer la réunion des intervalles [−2; 5[ et [0; +∞[, on représente graphiquement ces deux intervalles en deux couleurs différentes sur la droite numérique et on cherche les
zones où au moins une couleur est présente.
0
−2
5
On conclut : [−2; 5[∪[0; +∞[= [−2; +∞[.
On montre de la même façon que : [−4; −2[∪[1; +∞[= [−4; −2[∪[1; +∞[, [−4; −1] ∪ [−3; −2] =
[−4; −1].
Définition 2.4 Soient I et J deux intervalles. L’intersection des intervalles I et J , notée I ∩ J (lire « I
inter J »), est l’ensemble des réels appartenant à I et à J .
Mathématiquement, on a :
x ∈ I ∩ J ⇐⇒ (x ∈ I et x ∈ J )
; est le symbole de
l’ensemble vide.
Remarque. Si deux intervalles I et J n’ont pas d’éléments communs, on dit alors que leur intersection est vide. On note I ∩ J = ;.
Exemples. Pour déterminer l’intersection des intervalles [−2; 5[ et [0; +∞[, on représente graphiquement ces deux intervalles en deux couleurs différentes sur la droite numérique et on cherche les
zones où les deux couleurs sont présentes.
0
−2
5
On conclut : [−2; 5[∩[0; +∞[= [0; 5[.
On montre de la même façon que : [−4; −2[∩[0; +∞[= ;, [−4; −1] ∩ [−3; −2] = [−3; −2].
3 Valeur absolue
3.1 Distance entre deux réels
Définition 3.1 La distance entre deux réels x et y est la distance, sur la droite numérique, entre les
points d’abscisses x et y. On la note d(x ; y).
Sur la droite numérique, si on note M le point d’abscisse x et N le point d’abscisse y, alors d(x ; y) =
MN.
N
O
M
y
0
x
d(x ; y)
Exemples. Sur la droite numérique, soient A, B, C et D les points d’abscisses respectives −1, 1, 2 et
5.
A
O
B
−1
0
1
7
C
D
2
5
Seconde
Ordre et valeur absolue
d(0; −1) = O A = 1 ; d(0; 1) = OB = 1 ; d(2; 5) = C D = 3 ; d(−1; 2) = AC = 3.
La distance entre deux réels x et y est donc égale au plus grand de ces deux réels moins le plus petit.
Autrement dit :
– si x = y, alors d(x ; y) = 0 ;
– si x > y, alors d(x ; y) = x − y ;
– si x < y, alors d(x ; y) = y − x.
Remarque. La notion de distance est symétrique, on a d(x ; y) = d(y ; x).
3.2 Valeur absolue d’un réel
3.2.1 Définition
Définition 3.2 Soit x un réel. On appelle valeur absolue de x, notée |x|, la distance entre 0 et x.
On a donc |x| = d(x ; 0) = d(0; x).
Remarque. La valeur absolue d’un réel est une distance, elle est donc toujours positive ou nulle.
3.2.2 Propriétés
Propriété 3.1 Soit x un réel.
Si x Ê 0, alors |x| = x.
Si x É 0, alors |x| = −x.
Preuve. Sur la droite numérique, soit M le point d’abscisse x.
Si x Ê 0, alors d(x ; 0) = x, d’où |x| = x.
O
M
0
x
d(0; x) = x
Si x É 0, alors d(x ; 0) = −x, d’où |x| = −x.
M
O
x
0
d(0; x) = −x
■
Exemples. |5| = 5 car 5 > 0.
|3 − π|
car 3 − π ≈ −0, 1 < 0.
p = −(3 −pπ) = π − 3 p
|2 − 2| = 2 − 2 car 2 − 2 ≈ 0, 5 > 0.
Propriété 3.2 Soient x et y deux réels.
(i)
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
(ii) | − x| = |x|.
(iii) |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y.
p
(iv)
x 2 = |x|.
Preuve. Sur la droite numérique, soit M le point d’abscisse x.
(i) Dire que |x| = 0 revient à dire que la distance OM est nulle, soit M = O. On a donc :
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0
(ii) Si x est nul, alors l’égalité est immédiate. Supposons x non nul. Soit M ′ le point d’abscisse −x. M
et M ′ ont des abscisses opposées, M ′ est donc le symétrique de M par rapport à O, d’où OM = OM ′ ,
8
Seconde
Ordre et valeur absolue
soit |x| = | − x|.
(iii) Soit N le point d’abscisse y. Si x et y sont tous deux nuls, alors (iii) est vérifiée. Supposons x et
y non nuls. Dire que |x| = |y| revient à dire que OM = ON . M et N sont donc soit symétriques par
rapport à O, soit confondus.
(iv) Si x = 0, alors (iv) est vérifiée. Supposons x > 0. On a, d’une part, |x| = x. D’autre part, la racine
carrée du réel x 2 est le réel positif x, (iv) est donc vérifiée. Enfin, supposons x < 0. On a −x > 0.
Comme x 2 > 0 et que, par définition, la racine carrée d’un réel positif est le réel positif dont ce
premier est le carré, on en tire que −x est la racine carrée de x 2 . De plus, comme x < 0, |x| = −x
donc (iv) est vérifiée.
■
p
p
p
p
Exemple. | 3 − 1| = |1 − 3| = 3 − 1 car 3 − 1 ≈ 0, 7 > 0.
Propriété 3.3 Soient x et y deux réels. On a :
|x − y| = d(x ; y)
Preuve. On raisonne par disjonction des cas.
Supposons x = y. Il vient d(x ; y) = 0. De plus, x − y = 0 donc |x − y| = |0| = 0, d’où d(x ; y) = |x − y|.
Supposons x > y. x est le plus grand des deux donc d(x ; y) = x − y. De plus, x − y > 0 donc |x − y| =
x − y, d’où d(x ; y) = |x − y|.
Supposons x < y. y est le plus grand des deux donc d(x ; y) = y − x. De plus, x − y < 0 donc |x − y| =
−(x − y) = y − x, d’où d(x ; y) = |x − y|.
■
Propriété 3.4 Soient x et y deux réels.
(i)
|x y| = |x| × |y|.
(ii) |x
¯ +
¯ y| É |x| + |y| (inégalité triangulaire).
¯ ¯ |x|
(iii) ¯ xy ¯ = |y
| (y 6= 0).
Preuve. On raisonne par disjonction des cas.
(i) Le tableau suivant donne l’expression de |x y| selon les signes de x et y.
Expression
de |x y|
x =0
x <0
x >0
y =0
0
0
0
y <0
0
y >0
0
xy
car x y > 0
−x y
car x y < 0
−x y
car x y < 0
xy
car x y > 0
Le tableau suivant donne l’expression de |x| × |y| selon les signes de x et y.
Expression
de |x| × |y|
x=0
x <0
x >0
y =0
0
0
0
y <0
0
y >0
0
xy
car |x| = −x et |y| = −y
−x y
car |x| = −x et |y| = y
−x y
car |x| = x et |y| = −y
xy
car |x| = x et |y| = y
Les valeurs présentes dans ces deux tableaux sont identiquement égales, (i) est donc vérifiée.
(ii) Supposons x Ê 0 et y Ê 0. On a |x| = x et |y| = y. Comme x + y Ê 0, il vient |x + y| = x + y = |x|+|y|.
Supposons x Ê 0 et y É 0. On a |x| = x et |y| = −y. On distingue alors les deux sous-cas :
9
Seconde
Ordre et valeur absolue
– si x + y Ê 0, alors |x + y| = x + y = |x| − |y| É |x| É |x| + |y| ;
– si x + y É 0, alors |x + y| = −x − y = −|x| + |y| É |y| É |x| + |y|.
Supposons x É 0 et y É 0. On a |x| = −x et |y| = −y. Comme x+y É 0, il vient |x+y| = −x−y = |x|+|y|.
Supposons x É 0 et y Ê 0. On a |x| = −x et |y| = y. On distingue les deux sous-cas :
– si x + y Ê 0, alors |x + y| = x + y = −|x| + |y| É |y| É |x| + |y| ;
– si x + y É 0, alors |x + y| = −x − y = |x| − |y| É |x| É |x| + |y|.
¯ ¯
¯ ¯
(iii) Le tableau suivant donne l’expression de ¯ xy ¯ selon les signes de x et y.
Expression
¯
¯
de ¯ x/y ¯
x =0
y <0
0
y >0
0
Le tableau suivant donne l’expression de
Expression
de |x|/|y|
x=0
y <0
0
y >0
0
|x|
|y |
x <0
x >0
x/y
car x/y > 0
−x/y
car x/y < 0
−x/y
car x/y < 0
x/y
car x/y > 0
selon les signes de x et y.
x <0
x >0
x/y
car |x| = −x et |y| = −y
−x/y
car |x| = −x et |y| = y
−x/y
car |x| = x et |y| = −y
x/y
car |x| = x et |y| = y
Les valeurs présentes dans ces tableaux sont identiquement égales, (iii) est donc vérifiée.
■
3.3 Équations et inéquations avec des valeurs absolues
Propriété 3.5
(i)
|x| = r
(ii) |x| É r
(iii) |x| > r
Soient x un réel et r un réel positif ou nul.
⇐⇒ x = r ou x = −r .
⇐⇒ −r É x É r .
⇐⇒ x > r ou x < −r .
Preuve. Sur la droite numérique, soient M, N et P les points d’abscisses respectives x, r et −r .
(i) Dire que |x| = r revient à dire que d(x ; 0) = r , soit OM = r . Le point M se trouve donc soit en P ,
soit en N , c’est-à-dire x = r ou x = −r .
P
O
N
−r
0
r
d(0; −r ) = r
d(0; r ) = r
(ii) Dire que |x| É r revient à dire que d(x ; 0) É r , soit OM É r . Le point M décrit donc le segment
[P N ], soit −r É x É r .
P
O
N
−r
0
r
(iii) Dire que |x| > r revient à dire que d(x ; 0) > r , soit OM > r . Le point M décrit donc la droite (P N )
privée du segment [P N ], soit x > r ou x < −r .
P
O
N
−r
0
r
10
■
Seconde
Ordre et valeur absolue
Exemples. ➀ On se propose de résoudre, dans R, l’équation |x − 2| = 4.
Analytiquement : pour tout réel x, |x − 2| = 4 ⇐⇒ x − 2 = 4 ou x − 2 = −4 ⇐⇒ x = 6 ou x = −2.
Les deux solutions de l’équation sont −2 et 6, on note S = {−2; 6}.
Géométriquement : sur la droite numérique, soient A et M les points d’abscisses respectives 2 et x.
Pour tout réel x, |x − 2| = 4 ⇐⇒ AM = 4. Il existe deux points M1 et M2 vérifiant cette égalité, ils ont
pour abscisses respectives −2 et 6.
M1
O
A
M2
−2
0
2
6
d(2; −2) = 4
d(2; 6) = 4
➁ On se propose de résoudre, dans R, l’équation |x + 1| = −2.
On a vu précédemment que la valeur absolue d’un réel était une grandeur toujours positive ou nulle,
elle ne peut donc être égale à un nombre strictement négatif. L’équation n’admet pas de solution,
on note S = ;.
➂ On se propose de résoudre, dans R, l’équation |x + 1| = |x − 5|.
Analytiquement : pour tout réel x, |x + 1| = |x − 5| ⇐⇒ x + 1 = x − 5 ou x + 1 = −(x − 5) ⇐⇒ 1 =
−5 ou 2x = 4 ⇐⇒ x = 2. L’unique solution de l’équation est 2, on note S = {2}.
Géométriquement : sur la droite numérique, soient A, B et M les points d’abscisses respectives −1,
5 et x. Pour tout réel x, |x + 1| = |x − 5| ⇐⇒ |x − (−1)| = |x − 5| ⇐⇒ AM = B M. M est donc le milieu
4
du segment [AB], il a pour abscisse −1+5
2 = 2 = 2.
A
O
M
B
−1
0
2
5
d(2; −1) = d(2; 5)
➃ On se propose de résoudre, dans R, l’inéquation |x + 2| É 4.
Analytiquement : pour tout réel x, |x + 2| É 4 ⇐⇒ −4 É x + 2 É 4 ⇐⇒ −6 É x É 2.
L’ensemble des réels solutions de l’inéquation est l’intervalle [−6; 2], on note S = [−6; 2].
Géométriquement : sur la droite numérique, soient A et M les points d’abscisses respectives −2 et
x. Pour tout réel x, |x + 2| É 4 ⇐⇒ |x − (−2)| É 4 ⇐⇒ AM É 4. Il existe deux points M1 et M2 vérifiant l’égalité AM = 4, ils ont pour abscisses respectives −6 et 2. Le point M décrit donc le segment
[M1 M2 ].
M1
A
O
M2
−6
−2
0
2
d(−2; −6) = 4
d(−2; 2) = 4
➄ On se propose de résoudre, dans R, l’inéquation |x − 3| > 4.
Analytiquement : pour tout réel x, |x − 3| > 4 ⇐⇒ x − 3 > 4 ou x − 3 < −4 ⇐⇒ x > 7 ou x < −1.
L’ensemble des réels solutions de l’inéquation est la réunion des intervalles ]−∞ ; −1[ et ]7; +∞[, on
note S =] − ∞ ; −1[∪]7; +∞[.
Géométriquement : sur la droite numérique, soient A et M les points d’abscisses respectives 3 et x.
Pour tout réel x, |x − 3| > 4 ⇐⇒ AM > 4. Il existe deux points M1 et M2 vérifiant l’égalité AM = 4, ils
ont pour abscisses respectives −1 et 7. Le point M décrit donc la droite (M1 M2 ) privée du segment
[M1 M2 ].
11
Seconde
Ordre et valeur absolue
M1
O
A
M2
−1
0
3
7
d(−1; 3) = 4
d(3; 7) = 4
➅ On se propose de résoudre, dans R, l’inéquation |x + 2| > −1.
La valeur absolue d’un réel est une grandeur toujours positive ou nulle, elle est donc toujours strictement supérieure à −1. L’inéquation est donc toujours vérifiée, on note S = R.
3.4 Valeurs absolues et intervalles
On peut, en s’appuyant sur ce qui a été dit précédemment, énoncer la proposition suivante.
Propriété 3.6 Soient a et x deux réels et r un réel positif ou nul. Les assertions suivantes sont
équivalentes.
(i)
|x − a| É r .
(ii) d(x ; a) É r .
(iii) a − r É x É a + r .
(iv) x ∈ [a − r ; a + r ].
4 Encadrements et valeurs approchées
4.1 Encadrements
Définition 4.1 Soit x un réel. Réaliser un encadrement de x, c’est trouver deux réels a et b tels que
a É x É b.
Le réel b − a est l’amplitude de l’encadrement.
p
p
Exemples. 1 É 3 É 2 est un encadrement de 3 d’amplitude 1.
3, 141 É π É 3, 142 est un encadrement de π d’amplitude 10−3 .
4.2 Valeurs approchées
Définition 4.2 Soient a et x deux réels et α un réel strictement positif. On dit que a est une valeur
approchée (ou approximation) de x à α près si |x − a| É α.
Exemple. Comme on vient de le voir, on sait que 3, 141 É π É 3, 142. Si on prend le réel 3, 1415
comme valeur approchée de π, alors il vient :
3, 141 É π É 3, 142
⇐⇒ 3, 141 − 3, 1415 É π − 3, 1415 É 3, 142 − 3, 1415
⇐⇒
−0, 0005 É π − 3, 1415 É 0, 0005
⇐⇒
|π − 3, 1415| É 5 × 10−4 .
D’après la définition 4.2, 3, 1415 est une valeur approchée de π à 5 × 10−4 près.
Remarque. On a vu précédement que : |x − a| É α ⇐⇒ a − r É x É a + r . On obtient alors un encadrement de x d’amplitude 2α.
Définition 4.3 Soient a et x deux réels et α un réel strictement positif. On dit que :
– a est une valeur approchée de x à α près par défaut si a É x É a + α ;
– a est une valeur approchée de x à α près par excès si a − α É x É a.
12
Seconde
Ordre et valeur absolue
p
p
Exemples. On sait que 1, p
414 É 2 É 1, 415, soit encore 1, 414 É 2 É 1, 414 + 0, 001. 1, 414 est donc
près par défaut.
une valeur approchée de 2 à 10−3p
p
De même, il vient 1, 415 − 0, 001 É 2 É 1, 415. 1, 415 est donc une valeur approchée de 2 à 10−3
près par excès.
13