Transformation de Fourier `a temps discret (TFtd) 1

Transformation de Fourier à temps discret (TFtd)
Définitions

P

 X(e2jπf ) = +∞ xn e−2jπf
n=−∞

 x = R 1/2 X(e2jπf )e2jπnf df
n
−1/2
Propriétés
• Linéarité,
• Symétrie Hermitienne,
• Convolution,
1
Exemple
x(n) = 11(n ∈ {0, . . . , N − 1}) À X(e2jπf ) =
sin(πN f ) −jπ(N −1)f
sin(πf ) e
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 1: Fenêtre rectangulaire : |X(e2jπf )|.
2
Résolution
Considérons la suite x(n) and la suite tronquée donnée par
(
x(n)
for
n ∈ {0, . . . , N − 1}
xT (n) =
0
if not
Alors xT (n) = x(n) × 11(n ∈ {0, . . . , N − 1}). Par convolution on voit que la
troncature en temps induit dans le spectre des pseudo-oscillations de “période”
1/N . La valeur 1/N est appelée la “limite de Fourier”. Ce phénomène réduit
la résolution qui est la capacité à discriminer deux fréquences voisines.
Il est possible de jouer sur la résolution en utilisant des fenêtres. Les plus
utilisées sont la fenêtre rectangulaire, la fenêtre de Bartlett et la fenêtre de
Hamming.
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Exemple
Soit l’observation :
x(t) = a1 cos(2πF1 t + φ1 ) + a2 cos(2πF2 t + φ2 )
Ce signal est échantillonné à Fe = 100 Hz. En utilisant le module de la TFtd
de la suite des échantillons, on veut discriminer les deux fréquences.
Déterminer la fenêtre et la valeur de N qui assurent une résolution en
fréquence de 2Hz avec un rapport d’amplitudes de 30 dB.
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rectangular window
hamming window
0
0
−5
−5
−10
−10
−15
−15
−20
−20
−25
−25
−30
−30
−35
0
10
20
30
40
50
−35
0
10
20
30
40
50
Figure 2: F1 = 10Hz, F2 = 12, Fe = 100.
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Calcul de la TFtd par la DFT
La TFtd est une fonction périodique de période 1. En pratique pour la
calculer on dispose de N échantillons du signal et on effectue le calcul en L
points de fréquences fk = k/L avec k ∈ {0, . . . , L − 1} :
Xe (k/L) =
N
−1
X
xn e−2jπnk/L
n=0
Cela conduit à la définition de la Transformée de Fourier Discrète (TFD).
Les formules de TFD directe et inverse sont :
{x0 , · · · , xN −1 } À {X0 , · · · , XN −1 }
with
(
PN −1
Xk = n=0 xn e−2jπnk/N
PN −1
1
xn = N k=0 Xk e2jπnk/N
6
Propriétés
•
1
N
PN −1
k=0
e
2jπkn/N
=
(
1
0
if
if not
n = 0 mod N
• convolution circulaire :
PN −1
xn yn À k=0 Xk Yn−k
PN −1
n=0 xn yk−n À Xk Yk
où les indices sont calculées modulo N . Exemple: . . .
• FFT (Fast Fourier Transform): gain= N/log 2 (N )
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Résumé : échantillonnage, troncature
(a): c.t. signal (blue) et d.t. signal (red)
(b): Aliasing
1
0
−Fe
0
Fe
(d): Spectral time truncation effects
(c): Time truncation
1
0
−Fe
0
Fe
8