nuit tous chat sont gris

Logique
1) Implications
1.1) Exemples
Soit l’énoncé:
n et n
ACB sont égaux. »
« Si ABC est un triangle isocèle en A, alors les angles CBA
Cet énoncé affirme que si la proposition (P) : « ABC est un triangle isocèle en A » est vraie,
n et n
alors la proposition (Q) : « Les angles CBA
ACB sont égaux » est vraie aussi.
On dit que (P) implique (Q).
Autres exemples :
a) Si N
x = 2 alors N
x2 = 4 .
(P)
(Q )
On note également :
x = 2 ⇒ x 2 = 4 ou x = 2 , donc x 2 = 4 .
JJJG JJJG
b) Si AB
= DC
ABCD est un parallélogramme .
alors ( P)
(Q )
O
nG notJJJG
e également :
JJJ
AB = DC ⇒ ABCD est un parallélogramme
JJJG JJJG
AB = DC , donc ABCD est un parallélogramme
1.2) Cas général
Plus généralement, on dit que la proposition (P) implique la proposition (Q), pour signifier que lorsque
(P) est vraie, alors (Q) est vraie; on note : ( P ) ⇒ ( Q ) et on lit:
« Si (P), alors (Q) » ou « (P) donc (Q) ».
Remarque
Parfois l’implication est implicite dans un énoncé de théorème et ne se remarque pas par l’utilisation du
« Si … , alors … ».
Ainsi, on énonce parfois : « Deux réels a et b qui ont même valeur absolue sont égaux ou opposés »,
plutôt que « Si deux réels a et b ont même valeur absolue, alors ils sont égaux ou opposés » ou
a = b ⇒ a = b∨a = −
b .
(Q )
(P)
1
Logique
2
1.3) Implication réciproque
Exemples
a)
Supposons qu’une proposition (P) implique une proposition (Q), par exemple,
« Si 6N
/ n , alors 3N
/ n ». (Rappel : 6 / n se lit : « 6 divise n ».)
( P)
(Q )
On peut toujours se poser le problème de savoir si la réciproque est vraie, c’est à dire de savoir si
(Q) implique (P). Dans cet exemple, la réciproque s’énonce ainsi : « Si 3N
/ n , alors 6N
/ n ».
(Q )
( P)
Dans cet exemple, la réciproque est fausse car 3 / 9 , mais 6 / 9 .
b) La proposition (P) : « ABC est un triangle rectangle en A » implique la proposition
( Q ) : « BC 2 = AB 2 + AC 2 » et l’implication réciproque s’énonce :
« Si BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors ABC est un triangle rectangle en A »
Dans ce cas la réciproque est vraie : (Q) implique (P).
2) L’équivalence
2.1) Exemples
a)
La proposition (P) : « Le côté c d’un carré mesure 3 » implique la proposition
(Q) : « Le périmètre d’un carré mesure 12 » et l’implication réciproque s’énonce :
« Si le périmètre d’un carré mesure 12, alors son côté mesure 3 ».
Dans ce cas ( P ) ⇒ ( Q ) et ( Q ) ⇒ ( P ) sont vraies, on dit que ( P ) et ( Q ) sont des propositions
équivalentes.
b) La proposition (P) : « La longueur d’un rectangle mesure 4 et sa largeur mesure 2 »
implique la proposition (Q) : « Le périmètre du rectangle mesure 12 ».
et l’implication réciproque s’énonce :
« Si le périmètre d’un rectangle mesure 12, alors sa longueur mesure 4 et sa largeur 2 ».
Dans ce cas ( P ) ⇒ ( Q ) est vraie, mais ( Q ) ⇒ ( P ) est fausse, car si le périmètre d’un rectangle
mesure 12, alors sa longueur peut également mesurer 5 et sa largeur 1 par exemple,
on dit que ( P ) et ( Q ) ne sont pas des propositions équivalentes.
2.2) Cas général
Plus généralement, on dit que la proposition (P) est équivalente à la proposition (Q),
si (P) implique ( Q ) est vraie et si la réciproque ( Q ) implique ( P ) est vraie.
Logique
3) « Et » , « Ou »
3.1) Exemples
a)
La proposition : « n est un multiple de 2 et de 3 » signifie que n possède les deux propriétés,
c’est à dire
n ∈ 2] = {...; − 6; − 4; − 2;0; 2; 4 ; 6 ;...} et n ∈ 3] = {...; − 9; − 6; − 3;0;3;6 ; 9 ;...} ,
donc n ∈ 2] ∩ 3] = 6] = {...; − 18; − 12; − 6;0;6;12 ;18 ;...} .
b) La proposition : « n est un multiple de 2 ou de 3 » signifie que n possède l’une au moins des deux
propriétés, c’est à dire
n ∈ 2] = {...; − 6; − 4; − 2;0; 2; 4 ; 6 ;...} ou n ∈ 3] = {...; − 9; − 6; − 3;0;3;6 ; 9 ;...} ,
donc n ∈ 2] ∪ 3] = {...; − 9; − 8; − 6; − 4; − 3; − 2;0; 2;3; 4;6;8;9 ;...} .
En mathématiques, on note « et » à l’aide du symbole ∧ et « ou » à l’aide du symbole ∨ .
Attention !
Dans le langage usuel, « ou » est exclusif (au sens allemand : entweder oder).
Dire qu’une porte doit être fermée ou ouverte signifie qu’elle doit être l’une ou l’autre, mais pas les
deux à la fois. En mathématiques, le « ou » est non exclusif, il accepte les deux cas à la fois !
Ainsi :
ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 signifie : ab = 0 ⇔ ( a = 0 ∧ b ≠ 0 ) ∨ ( a ≠ 0 ∧ b = 0 ) ∨ ( a = 0 ∧ b = 0 )
mais a 2 + b 2 = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0
4) Les quantificateurs
4.1) Exemples
a)
Soit la proposition ( P1 ) : « Pour tout nombre entier n, 4n est divisible par 2 »,
ou encore ( P1 ) : « Quel que soit le nombre n , 4n est divisible par 2 ».
L’expression « pour tout » ou « quel que soit » est un quantificateur universel.
On note ∀ et on lit : « pour tout » ou « quel que soit ».
Ainsi la proposition ( P1 ) peut s’écrire : « ( ∀n ∈ ] ) : 2 / 4n »,
ce qui signifie que tout élément n de l’ensemble ] possède une propriété notée p ( n ) ,
(ici p ( n ) est 2 / 4n ).
Remarque : La proposition ( P1 ) est vraie, car 4n = 2 ⋅ ( 2n ) .
b) Soit la proposition ( P2 ) : « Il existe au moins un multiple de 3 divisible par 5 ».
L’expression « il existe au moins » est un quantificateur existentiel.
On note ∃ et on lit : « il existe au moins ».
Ainsi la proposition ( P2 ) peut s’écrire : « ∃ n = 3q tel que 5 / n »,
ce qui signifie qu’il existe un nombre n de l’ensemble 3] = {...; − 9; − 6; − 3;0;3;6;9;...} qui
possède une propriété notée p ( n ) ,(ici p ( n ) est 5 / n ).
Remarque : La proposition ( P2 ) est vraie car 15 est un multiple de 3 et 5 /15 .
3
Logique
5) Négation d’une proposition
5.1 Explications. Exemples.
A partir d’une proposition ( P ) , on peut écrire une autre proposition que l’on note ¬ ( P ) et qui est la
négation de ( P ) .
La négation de la proposition ( P ) : « n est un nombre pair » est la proposition
¬ ( P ) : « n n’est pas un nombre pair »
La négation de la proposition ( Q ) : « Le triangle ABC est isocèle » est la proposition
¬ ( Q ) : « Le triangle ABC n’est pas isocèle ».
5.2) Négation de ( P1 ) ∧ ( P2 ) .
Soit ( P ) la proposition : « n est un multiple de 2 et de 3 », alors ( P ) est la conjonction des deux
propositions : ( P1 ) : « n est un multiple de 2 » et ( P2 ) : « n est un multiple de 3 ».
Nier ( P ) , c’est dire que n ne possède pas l’ensemble des propriétés que ( P ) lui attribue, donc que
n n’est pas un multiple de 2 mais un multiple de 3 ou que
n n’est pas un multiple de 3 mais un multiple de 2, ou encore que
n n’est ni un multiple de 2 ni un multiple de 3.
( P ) : « n ∈ 2] ∩ 3] = 6] = {...; − 12; − 6;0;6;12;...} »
¬ ( P ) : « n ∉ 6] = {...; − 12; − 6;0;6;12;...} » ou encore :
¬ ( P ) : « n ∈ {...; − 7; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1;1; 2;3; 4;5;7;...} »
¬ ( ( P1 ) ∧ ( P2 ) ) = ¬ ( P1 ) ∨ ¬ ( P2 )
5.3) Négation de ( P1 ) ∨ ( P2 ) .
Soit ( P ) la proposition : « n est un multiple de 2 ou de 3 », alors ( P ) est la conjonction des deux
propositions : ( P1 ) : « n est un multiple de 2 » ou ( P2 ) : « n est un multiple de 3 ».
Nier ( P ) , c’est dire que n ne possède aucune des propriétés que ( P ) lui attribue, donc que
n n’est ni un multiple de 2 ni un multiple de 3.
( P ) : « n ∈ 2] ∪ 3] = {...; − 9; − 8; − 6; − 4; − 3; − 2;0; 2;3; 4;6;8;9 ;...} »
¬ ( P ) : « n ∉ 2] ∪ 3] » ou encore :
¬ ( P ) : « n ∈ {...; − 7; − 5; − 1; ;1;5;7;...} »
¬ ( ( P1 ) ∨ ( P2 ) ) = ¬ ( P1 ) ∧ ¬ ( P2 )
4
Logique
5.4 Négation d’une proposition universelle
Exemples
Soit la proposition ( P1 ) : « Tous les nombres entiers sont divisibles par 5 ».
La négation de cette proposition est :
¬ ( P1 ) : « Il existe au moins un nombre entier qui n’est pas divisible par 5 ».
a)
Dans ce cas ( P1 ) est fausse, car 5 / 8 (5 ne divise pas 8) et
¬ ( P1 ) est vraie, car on a trouvé un nombre entier, en l’occurrence 8, qui n’est pas divisible par 5.
A l’aide des quantificateurs :
( P1 ) : « ∀n ∈ ] , on a 5 / n » et ¬ ( P1 ) : « ∃n ∈ ] , tel que 5 / n ».
b) Soit la proposition ( P2 ) : « Tous les multiples de 10 sont divisibles par 5 ».
¬ ( P2 ) : « Il existe au moins un multiple de 10 qui n’est pas divisible par 5 ».
Dans ce cas ( P2 ) est vraie, car si n est un multiple de 10, alors n = 10q et n = 10q = 5 ⋅ ( 2q ) ,
donc n est bien divisible par 5 et ¬ ( P2 ) est fausse.
A l’aide des quantificateurs :
( P2 ) : « ∀n ∈10] = {...; − 30; − 20; − 10;0;10; 20;30;...} , on a 5 / n »
et ¬ ( P2 ) : « ∃n ∈10] = {...; − 30; − 20; − 10;0;10; 20;30;...} , tel que 5 / n »
Cas général
Dans le cas général, une proposition universelle s’énonce :
« Pour tout élément x de l’ensemble E , x possède une propriété p ( x ) bien précisée ».
Alors, la négation de ( P ) , notée ¬ ( P ) , (lire : non P) est :
« Il existe au moins un élément x de l’ensemble E qui ne possède pas la propriété p ( x ) ».
Contre-exemple
Il en résulte que pour prouver qu’une proposition universelle ( P ) est fausse, il suffit de trouver un seul
élément x appartenant à E tel que p ( x ) n’est pas vraie. On dit alors qu’on a démontré que ( P ) est
fausse en fournissant un contre-exemple.
Si ( P ) est la proposition : « Tous les triangles rectangles sont isocèles », alors on peut démontrer que
( P)
est fausse à l’aide du triangle ABC tel que AB = 4 ; AC = 3 et BC = 5 . ABC est rectangle, car
2
BC = AB 2 + AC
N
, mais ABC n’est pas isocèle, car il n’a pas deux côtés égaux.
2
52 = 25
42 + 32 =16 + 9 = 25
5
Logique
6
5.5) Négation d’une proposition existentielle
Exemples
a)
Soit la proposition ( P1 ) : « Il existe un multiple de 8 qui est divisible par 3 ».
¬ ( P1 ) : « Aucun multiple de 8 n’est divisible par 3 ».
Dans ce cas ( P1 ) est vraie, car 24 est un multiple de 8 et 3 / 24 .
A l’aide des quantificateurs :
( P1 ) : « ∃n ∈ 8] = {...; − 24; − 16; − 8; 0;8;16; 24;...} tel que 3 / n » et
¬ ( P1 ) : « ∀n ∈ 8] = {...; − 24; − 16; − 8;0;8;16; 24;...} on a 3 / n ».
b) Soit la proposition ( P2 ) : « Il existe un diviseur de 6 qui est un multiple de 5 ».
¬ ( P2 ) « Aucun diviseur de 6 n’est un multiple de 5».
Dans ce cas ( P2 ) est fausse, car div ( 6 ) = {1; 2;3;6} et l’ensemble des multiples de 5 est
5] = {...; − 15; − 10; − 5;0;5;10;15;...} .
A l’aide des quantificateurs :
( P2 ) : « ∃n ∈ div ( 6 ) = {1; 2;3;6} tel que n ∈ 5] = {...; − 15; − 10; − 5;0;5;10;15;...} » et
¬ ( P2 ) : « ∀n ∈ div ( 6 ) = {1; 2;3;6} on a n ∉ 5] = {...; − 15; − 10; − 5;0;5;10;15;...} ».
Cas général
Dans le cas général, une proposition existentielle s’énonce :
« Il existe au moins un élément x de l’ensemble E qui possède une propriété p ( x ) bien précisée ».
Alors, la négation de ( P ) , notée ¬ ( P ) , (lire : non P) est :
« Pour tout élément x de l’ensemble E , x ne possède pas la propriété p ( x ) ».
6) Contraposée d’une implication
A partir d’une implication ( P ) ⇒ ( Q ) vraie, on peut écrire une autre implication vraie ; en effet :
la proposition ( P ) : « L’entier n est divisible par 4 » implique la proposition
( Q ) : « L’entier n est divisible par 2 ».
Les négations de ces deux propositions sont :
¬ ( P ) : « L’entier n n’est pas divisible par 4 ».
¬ ( Q ) : « L’entier n n’est pas divisible par 2 ».
Et l’implication ¬ ( Q ) ⇒ ¬ ( P ) , qui est la contraposée de l’implication ( P ) ⇒ ( Q ) , est également vraie,
car « Si n n’est pas divisible par 2, alors n n’est pas divisible par 4 ».
Attention !
¬ ( P ) ⇒ ¬ ( Q ) n’est pas toujours vraie.
Dans cet exemple 4 / 6 mais 2 / 6 .
( P ) ⇒ (Q ) ⇔ ¬ (Q ) ⇒ ¬ ( P )
Logique
7
7) Il faut que – il suffit que
Il faut que a la signification du symbole mathématique : ⇒
Exemple : Pour que n soit divisible par 9, il faut que n soit divisible par 3 : 9 / n ⇒ 3 / n
La réciproque est fausse, la condition n’est pas suffisante car 3 / n ⇒ 9 / n 3 /15 mais 9 / 15
(
)
Il suffit que a la signification du symbole mathématique : ⇐
Exemple : Pour que n soit divisible par 6, il suffit que n soit divisible par 12 : 6 / n ⇐ 12 / n
La réciproque est fausse, la condition n’est pas nécessaire car 12 / n ⇐ 6 / n 6 /18 mais 12 / 18
(
)
Il faut et il suffit que a la signification du symbole mathématique : ⇔
Exemple
Pour que n soit divisible par 6, il faut et il suffit que n soit divisible par 2 et par 3 : 6 / n ⇔ 2 / n ∧ 3 / n
Exercices pour s'entraîner
1) La négation de l'affirmation : « Il existe un Luxembourgeois de Pétange qui ne comprend pas
l'allemand » est :
A : il existe un Luxembourgeois de Pétange qui comprend l'allemand;
B : il existe un Luxembourgeois de Pétange qui comprend l'allemand mais pas le français;
C : aucun Luxembourgeois de Pétange ne comprend l'allemand;
D : tous les Luxembourgeois de Pétange comprennent le français;
E : tous les Luxembourgeois de Pétange comprennent l'allemand.
2) Montrer que l'affirmation : « Tout Belge comprenant l'allemand maîtrise l'espagnol » est fausse
revient à:
A : trouver un Belge comprenant l'allemand et maîtrisant l'espagnol;
B : trouver un Belge ne comprenant pas l'allemand et maîtrisant l'espagnol;
C : trouver un Belge comprenant l'allemand mais ne maîtrisant pas l'espagnol;
D : trouver un Belge ne comprenant pas l'allemand et ne maîtrisant pas l'espagnol;
E : prouver que tout Belge maîtrisant l'espagnol comprend l'allemand.
3) « Si je n’ai bu aucun jus de fruit, mon petit déjeuner est raté. »
Ce slogan est logiquement équivalent à :
A : « Si mon petit déjeuner est réussi, je ne n’ai bu aucun jus de fruit. »
B : « Si mon petit déjeuner est réussi, j’ai bu au moins un jus de fruit. »
C : « Si mon petit déjeuner est réussi, j’ai bu plusieurs jus de fruit. »
D : « Si j’ai bu au moins un jus de fruit, mon petit déjeuner est réussi. »
E : « Si je n’ai bu aucun jus de fruit, mon petit déjeuner est réussi. »
4) Quelle est la négation de « La nuit, tous les chats sont gris. » ?
A : « Le jour, aucun chat n’est gris. »
B : « Le jour, tous les chats sont gris. »
C : « La nuit, aucun chat n’est gris. »
D : « Au moins un chat est gris la nuit. »
E : « Au moins un chat n’est pas gris la nuit. »
5) Parmi les phrases suivantes, quelle est la négation de :
Logique
« Dès que je lave ma voiture, il se met à pleuvoir. » ?
A : « Je ne lave pas ma voiture et il ne se met pas à pleuvoir. »
B : « Je ne lave pas ma voiture et il se met à pleuvoir. »
C : « Je lave ma voiture et il ne se met pas à pleuvoir . »
D : « Je lave ma voiture et il se met à pleuvoir. »
E : « Aucune des quatre phrases précédentes. »
6) La proposition « S’il y a du soleil, j’irai à la plage. » a la même signification que
« Dès que je lave ma voiture, il se met à pleuvoir. » ?
A : « Pour que j’aille à la plage, il faut qu’il y ait du soleil. »
B : « J’irai à la plage si et seulement s’il y a du soleil. »
C : « S’il n’y a pas de soleil, alors je n’irai pas à la plage . »
D : « Pour que j’aille à la plage, il suffit qu’il y ait du soleil. »
E : « Je n’irais pas à la plage si et seulement s’il n’y a pas de soleil. »
7) Laquelle des propositions ci-dessous est la négation de :
« Chaque langue européenne est parlée par l’un de nos guides au moins. » ?
A : « Chacun de nos guides parle toutes les langues européennes. »
B : « Chacun de nos guides parle une langue européenne au moins. »
C : « Aucun de nos guides ne parle aucune langue européenne. »
D : « L’un de nos guides ne parle aucune langue européenne. »
E : « L’une des langues européennes n’est parlée par aucun de nos guides. »
8) Jean et Jacques sont parfois menteurs : l’un ment des deux les lundis, mardis et mercredis et dit la
vérité les autres jours ; l’autre ment les jeudis, vendredis et samedis et dit la vérité les autres jours.
Aujourd’hui il ont cette conversation :
JEAN . – Je mens tous les samedis.
JACQUES. – Je mentirai demain.
JEAN. – Je mens tous les dimanches.
Quel jour sommes-nous ?
A. Dimanche
B. Lundi
C. Mercredi D. Jeudi
E. Samedi
9) Un terrien rencontre trois Martiens nés à Deimos ou à Phobos et leurs demande d'où ils sont
originaires. Le premier bredouille une réponse inaudible pour le terrien ; le deuxième répond: "Le
premier a dit qu'il était de Deimos." ; le troisième s'écrie alors : "Le deuxième ment!" Sachant que
tous les natifs de Deimos mentent toujours, tandis que les habitants de Phobos sont parfaitement
sincères, combien y a-t-il d'habitants de Phobos parmi les trois Martiens?
A:0 B:1
C:2
D:3
E : les données ne permettent pas de le déterminer
8
Logique
Corrigés comples des exercices
1) L'affirmation : « Il existe un Luxembourgeois de Pétange qui ne comprend pas l'allemand » est
une proposition existentielle, donc du type : ( ∃x ∈ E ) , tel que la propriété p ( x ) est vraie.
Dans cet exemple :
E est l’ensemble des Luxembourgeois de Pétange
x est un Luxembourgeois de Pétange
p ( x ) signifie que x ne comprend pas l’allemand
Négation de la proposition : ( ∀x ∈ E ) , la propriété p ( x ) est fausse, c’est à dire :
« Tous les Luxembourgeois de Pétange comprennent l’allemand. » → Réponse E
2) L'affirmation : « Tout Belge comprenant l’allemand maîtrise l’espagnol. » est
une proposition universelle, donc du type : ( ∀x ∈ E ) , la propriété p ( x ) est vraie.
Dans cet exemple :
E est l’ensemble des Belges comprenant l’allemand
x est un Belge comprenant l’allemand
p ( x ) signifie que x maîtrise l’espagnol
Négation de la proposition : ( ∃x ∈ E ) , tel que la propriété p ( x ) est fausse, c’est à dire :
« Il existe un Belge comprenant l’allemand mais ne maîtrisant pas l’espagnol. » → Réponse C
3) L'affirmation : « Si je n’ai bu aucun jus de fruit, mon petit déjeuner est raté » est
une implication, donc du type : ( P ) ⇒ ( Q ) (ou encore : Si … alors … ).
Dans cet exemple :
( P ) est l’affirmation : « Je n’ai bu aucun jus de fruit. »
¬ ( P ) est l’affirmation : « J’ai bu au moins un jus de fruit. »
( Q ) est l’affirmation : « Mon petit déjeuner est raté. »
¬ ( Q ) est l’affirmation : « Mon petit déjeuner est réussi. »
L’implication ( P ) ⇒ ( Q ) est équivalente à sa contraposée ¬ ( Q ) ⇒ ¬ ( P ) , c’est à dire :
« Si mon petit déjeuner est réussi, j’ai bu au moins un jus de fruit. » → Réponse B
9
Logique
10
4) L'affirmation : « La nuit, tous les chats sont gris » est une implication, donc du type : ( P ) ⇒ ( Q )
(ou encore : Si … alors … ).
Dans cet exemple :
( P ) est l’affirmation : « C’est la nuit. »
¬ ( P ) est l’affirmation : « C’est le jour. »
( Q ) est l’affirmation : « Tous les chats sont gris. »
( Q ) est un proposition universelle donc du type : ( ∀x ∈ E ) , la propriété p ( x ) est vraie.
Dans cet exemple :
E est l’ensemble des chats
x est un chat
p ( x ) signifie que x est gris
Négation de la proposition ( Q ) , ¬ ( Q ) : ( ∃x ∈ E ) , tel que la propriété p ( x ) est fausse, c’est à dire :
¬ ( Q ) est l’affirmation : « Au moins un chat n’est pas gris. »
La négation de l’implication ( P ) ⇒ ( Q ) est l’implication ( P ) ⇒ ¬ ( Q ) c’est à dire :
« La nuit, au moins un chat n’est pas gris » ou encore
« Au moins un chat n’est pas gris la nuit. » → Réponse E
5) L’affirmation : « Dès que je lave ma voiture, il se met à pleuvoir. » est une implication, donc du type :
( P ) ⇒ ( Q ) (ou encore : Si … alors … ).
Dans cet exemple :
( P ) est l’affirmation : « Je lave ma voiture. »
¬ ( P ) est l’affirmation : « Je ne lave pas ma voiture. »
( Q ) est l’affirmation : « Il se met à pleuvoir. »
¬ ( Q ) est l’affirmation : « Il ne se met pas à pleuvoir. »
La négation de l’implication ( P ) ⇒ ( Q ) est l’implication ( P ) ⇒ ¬ ( Q )
c’est à dire :
« Je lave ma voiture et il ne se met pas à pleuvoir » → Réponse C
6) La proposition « S’il y a du soleil, j’irai à la plage. » est une implication, donc du type : ( P ) ⇒ ( Q )
(ou encore : Si … alors … ).
Dans cet exemple :
( P ) est l’affirmation : « Il y a du soleil. »
( Q ) est l’affirmation : « Je vais à la plage. »
Il suffit que à la signification mathématique du symbole ⇐ ,
l’implication ( P ) ⇒ ( Q ) est donc équivalente à
« Pour que j’aille à la plage, il suffit qu' il y ait du soleil. » → Réponse D
⇐
Logique
11
7) La proposition « Chaque langue européenne est parlée par l’un de nos guides au moins. » est
une proposition universelle, donc du type : ( ∀x ∈ E ) , la propriété p ( x ) est vraie.
Dans cet exemple :
E est l’ensemble des langues européennes
x est une langue européenne
p ( x ) signifie que x est parlée par au moins un guide
Négation de la proposition : ( ∃x ∈ E ) , tel que la propriété p ( x ) est fausse, c’est à dire :
« L’une des langues européennes n’est parlée par aucun de nos guides. » → Réponse E
8) 1°) cas de figure:
Jean ment les lundis, mardis et mercredis et dit la vérité les jeudis, vendredis, samedis et dimanches,
tandis que Jacques ment les jeudis, vendredis et samedis et dit la vérité les lundis, mardis, mercredis
et dimanches.
(1) JEAN . – Je mens tous les samedis. (FAUX)
Journée(s) possible(s) d’après (1) : lundi, mardi, mercredi.
(2) JACQUES. – Je mentirai demain.
Journée(s) possible(s) d’après (1) et (2) : mercredi.
(3) JEAN. – Je mens tous les dimanches. (FAUX)
Journée(s) possible(s) d’après (1), (2) et (3) : mercredi.
2°) cas de figure:
Jacques ment les lundis, mardis et mercredis et dit la vérité les jeudis, vendredis, samedis et
dimanches, tandis que Jean ment les jeudis, vendredis et samedis et dit la vérité les lundis, mardis,
mercredis et dimanches.
(1) JEAN . – Je mens tous les samedis. (VRAI)
Journée(s) possible(s) d’après (1) : dimanche, lundi, mardi, mercredi.
(2) JACQUES. – Je mentirai demain.
Journée(s) possible(s) d’après (1) et (2) : dimanche.
(3) JEAN. – Je mens tous les dimanches. (FAUX)
Journée(s) possible(s) d’après (1), (2) et (3) : aucune
On est donc un mercredi → Réponse C
Logique
9) 1°) cas de figure: le deuxième et le troisième sont de Phobos
le deuxième a dit la vérité le troisième a dit la vérité
d'après le deuxième, le premier est de Deimos
d'après le troisième, le premier est de Phobos → contradiction
2°) cas de figure: le deuxième est de Phobos et le troisième est de Deimos
le deuxième a dit la vérité le troisième a menti
d'après le deuxième, le premier est de Deimos
d'après le troisième, le premier est de Deimos → il y a 1 habitant de Phobos.
3°) cas de figure: le deuxième est de Deimos et le troisième est de Phobos
le deuxième a menti
le troisième a dit la vérité
d'après le deuxième, le premier est de Phobos
d'après le troisième, le premier est de Phobos → il y a 2 habitants de Phobos.
4°) cas de figure: le deuxième et le troisième sont de Deimos
le deuxième a menti
le troisième a menti
d'après le deuxième, le premier est de Phobos
d'après le troisième, le premier est de Deimos → contradiction
→ Réponse E
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