Filtre de Wiener

O.de Cambry
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ESIEE
SE4-SIS1
Filtre de Wiener
S
X
−+
Ŝ
W
e
Description du problème de filtrage
Signal à estimer S = (Sn )n∈Z
Entrée du filtre X = (Xn )n∈Z
Sortie du filtre (estimation) Ŝ = (Ŝn )n∈Z
Erreur d’estimation en = Sn − Ŝn
Hypothèses
• X et S sont centrés et stationnaires
• X est observé mais S ne l’est pas nécessairement suivant les cas
• L’ autocorrélation rX et la corrélation croisée rSX sont connues (ou estimées auparavant) :
rX (k) = E(Xn+k Xn ) = E(Xk X0 )
rSX (j) = E(Sn Xn−j )
k = 0, 1, ..., p − 1
j = 0, 1, ..., p − 1
Objectif
Déterminer les coefficients du filtre linéaire d’ordre p, Ŵ , produisant la meilleure estimation linéaire au sens des moindres carrés de S à l’aide de X.
Critère
J(W ) = E(e2n )
Contrainte
W ∈ Fp où Fp ={ Filtres linéaires d’ordre p }
Résoudre le problème de minimisation :
(P)
Ŵ = arg min J(W)
W∈Fp
1
Solution
Notations
RX (p) : matrice d’autocorrélation d’ordre p
ρSX (p) : vecteur d’intercorrélation d’ordre p

rX (0)
rX (1)
rX (2)
 rX (1)
rX (0)
rX (1)

 rX (2)
r
(1)
rX (0)
X
RX (p) = 

..
..
..

.
.
.
rX (p − 1) rX (p − 2) rX (p − 3)



. . . rX (p − 1)
rSX (0)
 rSX (1) 
. . . rX (p − 2)





. . . rX (p − 3) et ρSX (p) = 
 rSX (2) 



..
..



.
.
...
rX (0)
rSX (p − 1)
Equation de Wiener-Hopf : RX Ŵ = ρSX
Erreur d’estimation : Jmin = J(Ŵ ) = rS (0) − ρtSX Ŵ
Cas du filtrage d’un signal bruité
S
ε
+
X
Ŝ
W
−+
e
S est centré et stationnaire d’autocorrélation connue, ε est un bruit blanc de variance
rε (0) = σ 2 connue.
Xn = Sn + εn est observé et on souhaite estimer Sn
d’ordre p.

rS (0)
 rS (1)

RX = RS + σ 2 Ip et rSX (k) = rS (k) donc ρSX = 
..

.
Equation de Wiener-Hopf : (RS +
σ2
à l’aide d’un filtre de Wiener
rS (p − 1)
Ip ) W (p) = ρSX





Pour mesurer l’effet du filtrage on étudie l’évolution du rapport signal sur bruit.
Avant le filtrage : On observe Xn = Sn + εn
rS (0)
Le rapport signal sur bruit vaut :RSB0 =
rε (0)
Après le filtrage : On dispose du signal estimé Ŝn
Or Ŝn = (W ∗ X)n = (W ∗ S)n + (W ∗ ε)n .
De plus rW ∗S = W t RS W et rW ∗ε = W t Rε : W = σ 2 kW k2
rW ∗S (0)
Le rapport signal sur bruit vaut alors : RSB1 =
rW ∗ ε(0)
RSB1
Son taux d’évolution est : τ =
.
RSB0
2