FICHE CALCULA LOI BINOMIA FICHE CALCULATRICE LOI

FICHE CALCULATRICE
LOI BINOMIALE
PARTIE 1 : Calculer des coefficients binomiaux
EXERCICE 1 :
 12 
On cherche à calculer, à l’aide de la calculatrice :  
5
Pour cela il faut choisir le menu MATH :
Puis l’onglet probabilité : PRB
Pour calculer les coefficients binomiaux,
nous utiliserons : 3 : Combinaison
Syntaxe : 12
5
 12 
On trouve :   = 792
5
PARTIE 2 : Loi binomiale
Ce qu’il faut savoir faire :
•
Calculer P(X = k)
•
Calculer P(X ≤ k)
•
Faire afficher un tableau donnant la loi de probabilité de X
•
Représenter la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons
Pour cela nous allons utiliser le menu qui regroupe différentes lois de probabilité.
1°) Calculer des probabilités
Ce menu est accessible via :
Ce menu est très riche.
riche
Les rubriques 1 à 3 sont destinées à la loi normale ou loi de Laplace
•
Gauβ (pour plus de détails, attendre l’année prochaine…
prochaine…)
•
Les rubriques 4 et 5 sont destinées à la loi de Student
Student.
•
Les rubriques 6 et 7 concernent la loi du khi deux. (Cette lettre
étrange qui ressemble à un X penché est en fait une lettre de
l’alphabet grecque, lettre minuscule qui s’appelle khi (ou chi) : χ )
•
Les rubriques 8 et 9 concernent la loi de Fischer.
•
Les rubriques 0 et A concernent la loi binomiale :
o
0 : binomFdp( : permet de calculer P(X = k) lorsque X suit
B (n ;p). La syntaxe est la suivante : binomFdp(n,p,k)
o
A : binomFRép( : permet de calculer P(X ≤ k) le Rép signifie
répartition, en effet la fonction de répartition d’une loi de
probabilité est la fonction définie par F(x) = P(X ≤ x).
Syntaxe : binomFRèp(n,p,k)
Les rubriques B et C concernent la loi de Poisson (Denis Poisson est un
•
mathématicien français (1781-1840))
Les rubriques D et E concernent la loi géométrique. On considère une
•
épreuve de Bernoulli de paramètre p (p ∈ [0 ;1]), on renouvelle cette
épreuve, de manière indépendante, jusqu’à l’apparition du premier
succès. On appelle X la variable aléatoire donnant
nant le rang du premier
succès. On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p. On a
déjà étudié en classe une loi géométrique tronquée (CHAPITRE 11 :
Variable aléatoire – EXERCICE 2)
EXERCICE 2 :
La variable aléatoire X suit B (50 ; 0,3).
A l’aide de la calculatrice, déterminer : (Arrondir les résultats à 10 – 4)
1°) P(X = 25) , P(X ≤ 22) , P(X < 22) et P(X > 14).
2°) P(10 ≤ X ≤ 20) et P(10 < X ≤ 20).
La variable aléatoire X ne prend que des valeurs
va
entières, par conséquent : Calculer P(X < 22)
revient à calculer P(X ≤ 21).
D’autre part, la calculatrice ne permet de calculer directement que P(X = k) et P(X ≤ k).
Si on a besoin de P(X > k) il faut utiliser l’évènement contraire, c'est-à-dire
c'est dire : P(X ≤ k)
D’où : P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)
Pour les encadrements, c'est-à-dire
c'est dire des questions du type de la question 2°) on peut faire :
P(10 ≤ X ≤ 22) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) + … + P(X = 22) (si on a du temps à perdre !!!!)
Sinon on peut remarquer que : P(10 ≤ X ≤ 22) = P(X ≤ 22) – P(X < 10) = P(X ≤ 22) - P(X ≤ 9)
1°) Pour calculer P(X = 25) on tape la séquence suivante :
n
p
k
Attention à bien respecter la syntaxe de la commande binomFdp
Les trois arguments de cette commande sont à séparer par une virgule
décimales s’écrivent à l’aide du point
, les valeurs
du pavé numérique de la calculatrice.
P(X = 25) ≃ 0,0014
Pour P(X ≤ 22) on tape la séquence suivante :
P(X ≤ 22) ≃ 0,9877
P(X < 22) = P(X ≤ 21) ≃ 0,9749
P(X > 14) = 1 – P(X ≤ 14) ≃ 0,5532
2°) : P(10 ≤ X ≤ 22) = P(X ≤ 22) – P(X < 10) = P(X ≤ 22) - P(X ≤ 9) ≃ 0,9475
P(10 < X ≤ 22) = P(X ≤ 22) – P(X ≤ 10) ≃ 0,9089
2°) Afficher la loi de X – Représentation graphique
Pour faire afficher la loi de X, lorsque X suit une loi binomiale, il suffit de créer une fonction
correspondant à P(X = k) , où k ∈ 0;n , la loi de X se lira dans le tableau de valeurs de la calculatrice, il faudra
prendre
ndre 0 comme valeur initiale et un pas de 1.
Pour faire afficher un diagramme en bâtons représentant la loi binomiale, dans le menu graph stats
il faudra choisir Graph 1 puis régler la fenêtre en s’aidant du tableau donnant les différentes probabilités (la loi
de X), les valeurs de k seront mises dans L1, celles de P(X = k) dans L2. Par contre les bâtons seront des tuyaux…
on ne peut pas les réduire à un seul trait (ou je
j n’ai pas encore trouvé comment le faire …)
EXERCICE 3 :
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,35.
1°) Donner la loi de X.
2°) Représenter graphiquement cette loi.
1°) Il faut définir la fonction « loi » : pour cela :
Attention le X de la calculatrice, n’est pas le X qui nomme la variable aléatoire, le X de la calculatrice joue le
rôle du k….
Puis on règle les caractéristiques du tableau :
Puis on fait afficher le tableau :
Les valeurs de k sont dans la colonne X, celles de P(X = k) dans la colonne Y1.
Par exemple : P(X = 5) ≃ 0,1536
REMARQUE :
Il peut être intéressant de faire afficher un tableau dans lequel Y1 représenterait P(X ≤ k).
Dans ce cas nous aurions un tableau de valeurs de la fonction de
répartition de la loi binomiale
2°) Pour
our faire afficher le diagramme en bâtons :
On va placer les différentes valeurs de k dans L1 et les probabilités associées dans L2. On peut faire ça « à la
main » en tapant les 11 valeurs de k (et oui, je rappelle qu’entre 0 et 10 il y a 11 valeurs …) pu
puis faire la même
chose pour les probabilités. Mais c’est beaucoup trop long !!!
Nous allons utiliser les fonctionnalités des listes.
Pour mettre les entiers de 0 à 10 dans L1 :
On va dans le menu liste, on choisit l’onglet OPS puis la ligne 5 :suite(
La syntaxe de cette fonction est la suivante :
suite(expression, variable, début, fin, pas)
Cette fonction fait le travail suivant : elle évalue l’expression en
prenant comme première valeur « début », puis elle refait le calcul pour
« début + pas » et ceci jusqu’à obtenir pour valeur « fin »
Par défaut le pas est 1, si c’est effectivement les valeurs de 1 en 1 qui
nous intéressent
intéresse on peut ne pas donner ce paramètre.
Ici nous voulons lui faire calculer toutes les valeurs entières allant de 0
à 10.
L’expression sera X, la variable est X, la début est 0 , la fin est 10 (le
pas est 1 donc nous ne l’indiquons pas).
Ensuite il va falloir placer ces valeurs dans L1 : on fait :
A l’écran on voit apparaitre nos résultats sous forme d’une liste :{ ….. }
Si on va dans le menu stats, 1 : Edite… on voit que notre liste L1 s’est
automatiquement remplie avec nos 11 valeurs.
Nous allons faire exactement la même chose pour la liste L2 qui
contiendra les valeurs de P(X = k), pour cela nous allons utiliser lla
fonction suite du menu liste, mais cette fois ci l’expression devra nous
permettre de calculer P(X = k), on va noter :
suite(binomFdp(10,0.35,X),X,0,10) → L2
Liste que nous allons placer dans L2.
Nos deux listes sont remplies, il ne reste plus qu’à faire
faire le diagramme
en bâtons.
Pour faire le dessin il faut commencer par régler la fenêtre du graphique.
En parcourant le tableau des valeurs, on peut constater que la plus grande
valeur de P(X = k) est un peu plus de 0,25.
Nous prendrons Xmin = 0 Xmax = 10 Ymin = 0 et Ymax = 0,3
Pour que les « tuyaux » du diagramme ne soient pas trop gros, on prendra
Xgrad = 0,25, c'est-à-dire
c'est dire que les graduations de l’axe des abscisses se
feront de 0,25 en 0,25 et la barre correspondant à chaque valeur de k ssera un
rectangle dont les « coins » seront les points de coordonnées :
(k ;0) (k + 0,25 ; 0) (k ;P(X = k)) et (k + 0,25 ; P(X = k))
Pour faire la construction, nous allons utiliser les graphiques réservés aux
statistiques :
et nous utiliserons le
le graphique n°1. Pour ça il va falloir le déclarer affiché
(Aff) puis demander un diagramme en bâtons
(attention il ne s’agit pas
d’histogramme !!!) et il va falloir lui préciser que les valeurs (ListeX) (k) sont
dans L1, les résultats (Effectifs) (P(X = k)) sont dans L2.
Puis on fait afficher le graphique :
Il peut être intéressant de faire tracer le nuage des points (k ;P(X=k)) ainsi
qu’une courbe de tendances qui rejoindrait ces points, pour cela il faut utiliser
le graphique n°2 et choisir :