éléments finis et des inégalités de Poincaré discrètes

Transcription

Analyse des schémas combinés volumes finis –
éléments finis et des inégalités de Poincaré discrètes
Martin Vohralı́k
Laboratoire de Mathématiques, Université de Paris-Sud
&
Faculté de Génie Nucléaire, Université Technique Tchèque à Prague
Danielle Hilhorst
Laboratoire de Mathématiques, Université de Paris-Sud & CNRS
Robert Eymard
Laboratoire d’Analyse et de Mathématiques Appliquées, Université de Marne-la-Vallée
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CEREMADE, 25.01.2005
Schémas combinés volumes finis – éléments finis et inégalités de Poincaré discrètes – p.1/27
Plan
Introduction
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Plan
Introduction
I. Schémas combinés volumes finis – éléments finis
Equation de convection–réaction–diffusion par. dégénérée
Schémas numériques classiques : éléments finis et volumes finis
Schémas combinés volumes finis – éléments finis
Démonstration de la convergence
Essais numériques
< >-+
Plan
Introduction
Essais numériques
II. Inégalités de Poincaré discrètes
Inégalité de Friedrichs
Inégalité de Poincaré
< >-+
Plan
Introduction
Essais numériques
Conclusions et perspectives
< >-+
Problème de convection–réaction–diffusion
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
c
β
t
S
v
F
q
(1)
concentration inconnue d’un contaminant
évolution en temps et adsorption équilibre
temps
tenseur de diffusion–dispersion
champ des vitesses
réactions chimiques
sources et puits
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Problème de convection–réaction–diffusion
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
c
β
t
S
v
F
q
concentration inconnue d’un contaminant
évolution en temps et adsorption équilibre
2
temps
tenseur de diffusion–dispersion
1.5
champ des vitesses
réactions chimiques
1
sources et puits
(1)
β(c) = c + cp , p ∈ (0, 1)
β 0 (0) = +∞
Difficultés
problème non linéaire, par. dégénéré
la convection domine la diffusion
0.5
|β(a) − β(b)| ≥ cβ |a − b|
0
0
0.5
1
c
S est inhomogène et anisotrope (non constant, matrice pleine)
maillages généraux non structurés
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EF et VF pour des problèmes paraboliques dégénérés
Eléments finis pour des problèmes paraboliques dégénérés
Barrett & Knabner (1997);
priori
∂β(c)
∂t
− 4c = q, estimations d’erreur a
Nochetto, Schmidt, & Verdi (1999);
d’erreur a posteriori
Chen & Ewing (2001);
d’erreur a priori
∂c
∂t
∂β(c)
∂t
− 4c = q, estimations
− 4ϕ(c) + ∇ · (θ(c)v) = 0, estimations
< >-+
EF et VF pour des problèmes paraboliques dégénérés
Eléments finis pour des problèmes paraboliques dégénérés
Barrett & Knabner (1997);
priori
∂β(c)
∂t
− 4c = q, estimations d’erreur a
Nochetto, Schmidt, & Verdi (1999);
d’erreur a posteriori
Chen & Ewing (2001);
d’erreur a priori
∂c
∂t
∂β(c)
∂t
− 4c = q, estimations
− 4ϕ(c) + ∇ · (θ(c)v) = 0, estimations
Volumes finis (centrés par maille) pour des problèmes
paraboliques dégénérés
Eymard, Gallouët, Hilhorst, & Naït Slimane (1998);
∂β(c)
∂t − 4c = q, convergence
Eymard, Gallouët, Herbin, & Michel (2002);
∂c
∂t − 4ϕ(c) + ∇ · (θ(c)v) = 0, convergence
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EF et VF pour des problèmes de convection–diffusion
Eléments finis pour des problèmes de convection–diffusion
⊕ pas de restrictions sur le maillage, tenseurs pleins OK
oscillations lorsque la vitesse devient grande
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Volumes finis pour des problèmes de convection–diffusion
restrictions sur le maillage, discrétisation des tenseurs pleins ?
Z
D
σD,E
E
dD,E
•
S∇c · nD dγ(x)
σD,E
xD
S = Id
·
S 6= Id
xE •
≈
cE − c D
|σD,E |
dD,E
?
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⊕ techniques de type “upwind” : pas d’oscillations
< >-+
⊕ techniques de type “upwind” : pas d’oscillations
Solution : schémas combinés
−∇ · S∇c + ∇ · (cv) = 0
éléments finis
volumes finis
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Méthode combinée VF – EF
Feistauer, Felcman, Medvid’ová-Lukáčová, & Warnecke (1997,
1999); ∂c
∂t − 4c + ∇ · (θ(c)v) = 0, convergence, est. d’erreur
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1999); ∂c
Méthode combinée VF – EF non conformes
Angot, Dolejší, Feistauer, Felcman, & Kliková (1998, 2000);
∂c
∂t − 4c + ∇ · (θ(c)v) = 0, convergence, estimations d’erreur
< >-+
1999); ∂c
Méthode combinée VF – EF non conformes
Angot, Dolejší, Feistauer, Felcman, & Kliková (1998, 2000);
∂c
∂t − 4c + ∇ · (θ(c)v) = 0, convergence, estimations d’erreur
Nos buts
étendre ces idées pour des problèmes paraboliques dégénérés
inclure des tenseurs inhomogènes et anisotropes
considérer des maillages généraux (raffinement local possible,
pas de condition d’angle maximal, pas de cond. d’orthogonalité)
considérer aussi la dimension d’espace trois
coupler les VF avec les EF mixtes-hybrides
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Problème continu
Domaine polygonale Ω ⊂ Rd , d = 2, 3, interval de temps (0, T ),
conditions initiales et aux bords :
c(x, 0) = c0 (x)
x∈Ω
(2)
c(x, t) = 0
x ∈ ∂Ω , t ∈ (0, T )
(3)
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Problème continu
Domaine polygonale Ω ⊂ Rd , d = 2, 3, interval de temps (0, T ),
conditions initiales et aux bords :
c(x, 0) = c0 (x)
x∈Ω
(2)
c(x, t) = 0
x ∈ ∂Ω , t ∈ (0, T )
(3)
Fonction c est une solution faible de (1) – (3) si (F. Otto)
−
Z
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) , β(c) ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)) ,
Z
Z TZ
Z
β(c)ϕt dx dt −
β(c0 )ϕ(·, 0) dx +
S∇c · ∇ϕ dx dt −
T
0
−
Z
Ω
T
0
0
Ω
Z
cv · ∇ϕ dx dt +
Ω
Z
0
T
Z
Ω
F (c)ϕ dx dt =
Ω
Z
T
0
Z
qϕ dx dt
Ω
pour tout ϕ ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) avec ϕt ∈ L∞ (QT ), ϕ(·, T ) = 0 .
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Schéma combiné VF – EF non conformes/mixtes-hybrides
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
L
Th
K
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
L
D
E
Th
Dh
K
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
On cherche cnD , D ∈ Dh , n = 0, . . . , N :
n−1
X
)
β(cnD ) − β(cD
|D| −
SnD,E (cnE − cnD ) +
4tn
E∈N (D)
X
n
n
vD,E
cnD,E + F (cnD ) |D| = qD
|D|
+
E∈N (D)
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
|σD,E |
On cherche cnD , D ∈ Dh , n = 0, . . . , N : VF:
dD,E
n−1
X
)
β(cnD ) − β(cD
|D| −
4tn
E∈N (D)
X
n
n
vD,E
|D|
+
E∈N (D)
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
X
n
On cherche cD , D ∈ Dh , n = 0, . . . , N : EFNC: −
(Sn ∇ϕE , ∇ϕD )0,K
K∈Th
n−1
X
)
β(cnD ) − β(cD
|D| −
4tn
E∈N (D)
X
n
n
vD,E
|D|
+
E∈N (D)
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
On cherche cnD , D ∈ Dh , n = 0, . . . , N : EFMH: Complément de Schur
n−1
X
)
β(cnD ) − β(cD
|D| −
4tn
E∈N (D)
X
n
n
vD,E
|D|
+
E∈N (D)
< >-+
∂β(c)
− ∇ · (S∇c) + ∇ · (cv) + F (c) = q
∂t
•
•
•
• •
•
•
L
•
•
•
Th
•
E•
Dh
D•
•
•
•
•
•
•
K
•
X
n
On cherche cD , D ∈ Dh , n = 0, . . . , N : EFMH: −
(SnK ∇ϕE , ∇ϕD )0,K
K∈Th
n−1
X
)
β(cnD ) − β(cD
|D| −
4tn
E∈N (D)
X
n
n
vD,E
|D|
+
E∈N (D)
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Valeur amont tenant compte du nombre de Péclet local
Flux à travers l’arête σD,E :
Z tn Z
1
n
:=
v(x, t) · nD,E dγ(x) dt
vD,E
4tn tn−1 σD,E
< >-+
Z tn Z
1
n
:=
vD,E
4tn tn−1 σD,E
cD
1-D :
(1 − α)cD + αcE
v
α = 0 : full upstream weighting
α = 0.5 : centered weighting
cE
D
E
< >-+
Z tn Z
1
n
:=
vD,E
4tn tn−1 σD,E
cD
1-D :
(1 − α)cD + αcE
v
α = 0 : full upstream weighting
α = 0.5 : centered weighting
cE
D
E
Valeur amont tenant compte du nombre de Péclet local :
si
n
≥0
vD,E
cnD,E
n
:= (1 − αD,E
)cnD
si
n
vD,E
cnD,E
n
αD,E
)cnE
<0
n
:=
αD,E
n
max min
n
:=
(1 −
n
SnD,E , 12 |vD,E
|
n
|vD,E
|
o o
,0
,
+
n
αD,E
cnE
+
n
αD,E
cnD
,
n
6= 0
vD,E
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Approximations
Approximation non conforme linéaire p. m.
Approximation constante p. m.
< >-+
Angot, Dolejší, Feistauer & Felcman, 1998 :
techniques des éléments finis
résultat de compacité : transformation de Fourier
on utilise les opérateurs de ‘lumping’, produits scalaires discrets
difficulté : approximation non conforme
< >-+
Notre démonstration :
techniques des volumes finis
résultat de compacité : théorème de Kolmogorov
on travaille directement avec les inconnues
pas de difficulté à cause de l’approximation non conforme
< >-+
Notre démonstration :
techniques des volumes finis
résultat de compacité : théorème de Kolmogorov
on travaille directement avec les inconnues
pas de difficulté à cause de l’approximation non conforme
aucune condition pour l’angle maximal, permet le raffinement
local du maillage
< >-+
Différences par rapport aux volumes finis
Discrétisation du terme de diffusion par les EF :
transmissibilités négatives possibles
pas toujours le principe du maximum discret
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Maillages sans la condition d’orthogonalité :
estimations sur les translations en espace
l’inégalité de Poincaré discrète
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Maillages sans la condition d’orthogonalité :
estimations sur les translations en espace
l’inégalité de Poincaré discrète
Approximation linéaire par morceaux :
relation avec l’approximation constante par morceaux
différente norme H01 (Ω) discrète
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Propriétés discrètes
Existence de la solution discrète
degré topologique de Brouwer
< >-+
Unicité de la solution discrète
β ne décroit pas
< >-+
β ne décroit pas
Conservativité locale
EF/VF conservatives → schéma combiné conservatif
< >-+
β ne décroit pas
Conservativité locale
EF/VF conservatives → schéma combiné conservatif
Principe de maximum discret
sous l’hypothèse que SnD,E ≥ 0 pour chaque D, E ∈ Dhint , D 6= E :
0 ≤ cnD ≤ M
hypothèse satisfaite par exemple quand S = Id et quand ](nσ , σ)
≥ π/2 pour chaque σ ∈ EK et chaque K ∈ Th
< >-+
Estimations a priori
Estimations a priori :
∞
2
L (0, T ; L (Ω)) cβ
max
n∈{1,2,...,N }
max
n∈{1,2,...,N }
X
(cnD )2 |D| ≤ Cae
D∈Dh
X
[β(cnD )]2 |D| ≤ Cae
D∈Dh
cS
N
X
4tn kcnh k2Xh
≤ Cae
n=1
< >-+
∞
2
L (0, T ; L (Ω)) cβ
max
n∈{1,2,...,N }
max
n∈{1,2,...,N }
L2 (0, T ; H01 (Ω))
X
(cnD )2 |D| ≤ Cae
D∈Dh
X
D∈Dh
cS
N
X
4tn kcnh k2Xh
≤ Cae
n=1
< >-+
∞
2
L (0, T ; L (Ω)) cβ
max
n∈{1,2,...,N }
max
n∈{1,2,...,N }
L2 (0, T ; H01 (Ω))
X
(cnD )2 |D| ≤ Cae
D∈Dh
X
D∈Dh
cS
N
X
4tn kcnh k2Xh
≤ Cae
n=1
ch,4t
c̃h,4t
linéaire par morceaux sur Th
constante par morceaux sur Dh
kch,4t − c̃h,4t k0,QT −→ 0 pour
h→0
< >-+
Estimations sur les translations en espace et en temps
Lemme (Estimations sur les translations en temps) Il existe une
constante Ctt > 0 telle que pour chaque τ ∈ (0, T ),
Z
T −τ
0
Z 2
c̃h,4t (x, t + τ ) − c̃h,4t (x, t) dx dt ≤ Ctt (τ + 4t) .
Ω
< >-+
Z
T −τ
0
Z 2
Ω
Lemme (Estimations sur les translations en espace) Il existe une
constante Cst > 0 telle que pour chaque ξ ∈ Rd avec c̃h,4t (x, t) := 0
pour x ∈
/ Ω,
Z
T
0
Z 2
c̃h,4t (x + ξ, t) − c̃h,4t (x, t) dx dt ≤ Cst |ξ|(|ξ| + 2h) .
Ω
< >-+
Z
T −τ
0
Z 2
Ω
Lemme (Estimations sur les translations en espace) Il existe une
constante Cst > 0 telle que pour chaque ξ ∈ Rd avec c̃h,4t (x, t) := 0
pour x ∈
/ Ω,
Z
T
0
Z 2
c̃h,4t (x + ξ, t) − c̃h,4t (x, t) dx dt ≤ Cst |ξ|(|ξ| + 2h) .
Ω
Démonstratios : utiliser le schéma discret et les estimations a priori.
< >-+
Convergence
Théorème (Convergence forte dans L2 (QT )) Des sous-suites de
c̃h,4t et ch,4t convergent fortement dans L2 (QT ) vers une fonction
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)).
< >-+
Convergence
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)).
théorème de compacité relative de Kolmogorov : les estimations a
priori et les estimations sur les translations en espace et en temps
impliquent c̃h,4t , ch,4t
L2 (QT )
→
c
< >-+
Convergence
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)).
L2 (QT )
→
c
estimation sur les translations en espace : c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω))
< >-+
Convergence
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)).
L2 (QT )
→
c
Théorème (Convergence vers une solution faible) La fonction c est
une solution faible du problème continu.
< >-+
Convergence
c ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)).
L2 (QT )
→
c
Théorème (Convergence vers une solution faible) La fonction c est
une solution faible du problème continu.
convergence forte : passage à la limite dans des termes non
linéaires
< >-+
Essais numériques
Pour Ω = (0, 1) × (0, 1) et T = 1, nous considérons :
∂(c1/2 )
− ∇ · (δ∇c) + ∇ · (c(v, 0)) = 0
∂t
< >-+
Essais numériques
∂(c1/2 )
− ∇ · (δ∇c) + ∇ · (c(v, 0)) = 0
∂t
Conditions initiales et aux bords sont données par la solution exacte
(une onde progressive)
2
v
pour x ≤ vt + 0.2 ,
c(x, y, t) =
1 − e 2δ (x−vt−0.2)
c(x, y, t) = 0 pour x ≥ vt + 0.2
< >-+
Essais numériques
∂(c1/2 )
− ∇ · (δ∇c) + ∇ · (c(v, 0)) = 0
∂t
Conditions initiales et aux bords sont données par la solution exacte
(une onde progressive)
2
v
pour x ≤ vt + 0.2 ,
c(x, y, t) =
1 − e 2δ (x−vt−0.2)
c(x, y, t) = 0 pour x ≥ vt + 0.2
Implémentation : résolution des systèmes non linéaires pour β(c)
on évite toute régularisation parabolique
les systèmes linéaires sont diagonaux pour la partie où c = 0
< >-+
Essais numériques
Dh
Th
Ω
Triangulation initiale
< >-+
Essais numériques
1
0.9
1
0.8
0.7
0.8
0.6
0.6
c
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0
1
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8
1
0
0.1
0
y
x
Solution pour δ = 0.01, v = 0.8 et r = 3 à t = 0.25
< >-+
Essais numériques
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
r=1
r=3
r=5
exact sol.
0.9
c
c
1
r=1
r=3
r=5
exact sol.
0
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Solution pour δ = 0.01 et t = 0.5 (à gauche) et t = 0.75 (à droite)
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
r=1
r=3
r=5
exact sol.
0.9
c
c
1
r=1
r=3
r=5
exact sol.
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Solution pour t = 0.5, δ = 0.05 (à gauche) et δ = 0.0001 (à droite)
< >-+
Plan
Introduction
L’équation de convection–réaction–diffusion
Essais numériques
< >-+
Plan
Introduction
L’équation de convection–réaction–diffusion
Essais numériques
< >-+
Inégalités de Poincaré discrètes
Inégalité de Friedrichs
Z
Ω
g 2 (x) dx ≤ cF
Z
|∇g(x)|2 dx
Ω
∀g ∈ H01 (Ω)
< >-+
Z
g 2 (x) dx ≤ cF
Ω
Z
|∇g(x)|2 dx
Ω
∀g ∈ H01 (Ω)
Approximation non conforme de H01 (Ω)
n
W0 (Th ) := g ∈
Z
σK,L
Y
H 1 (K) ;
K∈Th
g|K (x) dγ(x) =
Z
Z
g(x) dγ(x) = 0
σ
g|L (x) dγ(x)
σK,L
∀σ ∈ Ehext
∀σK,L ∈
Ehint
o
< >-+
Z
Z
g 2 (x) dx ≤ cF
Ω
|∇g(x)|2 dx
Ω
∀g ∈ H01 (Ω)
Approximation non conforme de H01 (Ω)
n
W0 (Th ) := g ∈
Z
Y
H 1 (K) ;
K∈Th
g|K (x) dγ(x) =
σK,L
Z
Z
g(x) dγ(x) = 0
σ
g|L (x) dγ(x)
σK,L
∀σ ∈ Ehext
∀σK,L ∈
Ehint
o
Inégalité de Friedrichs discrète
Z
g 2 (x) dx ≤ CF
Ω
X Z
K∈Th
|∇g(x)|2 dx
∀g ∈ W0 (Th ) , ∀h > 0
K
< >-+
Résultats connus et problèmes ouverts
Résultats connus
Temam (1979); fonctions linéaires par morceaux, hypothèse
inverse, domaines convexes bornés
Dolejší, Feistauer, & Felcman (1999); fonctions linéaires par
morceaux, hypothèse inverse, domaines non convexes bornés
Knobloch (2001); espaces généraux, pas d’hypothèse inverse,
domaines non convexes bornés
Brenner (2003); extensions aux maillages qui ne se raccordent
pas et aux fonctions complètement discontinues
< >-+
Résultats connus
Problèmes ouverts
valeur de la constante CF ?
domaines bornés dans une direction uniquement ?
< >-+
Résultats connus
Eymard, Gallouët, & Herbin (1999); fonctions cnst. par morceaux
Problèmes ouverts
valeur de la constante CF ?
domaines bornés dans une direction uniquement ?
< >-+
Démonstration de l’inégalité de Friedrichs discrète
Opérateur d’interpolation W0 (Th )
I(g)|D
1
:=
|σD |
Z
→ Y0 (Dh )
g(x) dγ(x)
∀D ∈ Dh
σD
< >-+
I(g)|D
1
:=
|σD |
Z
→ Y0 (Dh )
g(x) dγ(x)
∀D ∈ Dh
σD
Fonction non conforme linéaire p. m.
Son approximation constante p. m.
< >-+
I(g)|D
1
:=
|σD |
Z
→ Y0 (Dh )
g(x) dγ(x)
∀D ∈ Dh
σD
Théorème (Inégalité de Friedrichs discrète pour des fonctions
constantes par morceaux)
kgk20,Ω ≤ c(d, κT , Ω)|g|21,T ,disc
∀g ∈ Y0 (Dh ) .
< >-+
I(g)|D
1
:=
|σD |
Z
→ Y0 (Dh )
g(x) dγ(x)
∀D ∈ Dh
σD
Théorème (Inégalité de Friedrichs discrète pour des fonctions
constantes par morceaux)
kgk20,Ω ≤ c(d, κT , Ω)|g|21,T ,disc
∀g ∈ Y0 (Dh ) .
Théorème
|I(g)|21,T ,disc ≤ c(d, κT , Ω)|g|21,T
∀g ∈ W0 (Th ) .
< >-+
Constante dans l’inégalité de Friedrichs discrète
Théorème (Inégalité de Friedrichs discrète)
Z
g 2 (x) dx ≤ CF
Ω
X Z
K∈Th
|∇g(x)|2 dx
∀g ∈ W0 (Th ) , ∀h > 0 .
K
< >-+
Z
g 2 (x) dx ≤ CF
Ω
X Z
K∈Th
Constante CF pour d
|∇g(x)|2 dx
∀g ∈ W0 (Th ) , ∀h > 0 .
K
=2
c(d)
|K|
CF = 2 |Ω|, où κT est donné par min
≥ κT
K∈Th diam(K)d
κT
∀h > 0
< >-+
Z
g 2 (x) dx ≤ CF
Ω
X Z
K∈Th
Constante CF pour d
|∇g(x)|2 dx
∀g ∈ W0 (Th ) , ∀h > 0 .
K
=2
c(d)
|K|
CF = 2 |Ω|, où κT est donné par min
≥ κT
K∈Th diam(K)d
κT
Constante CF pour d
∀h > 0
= 2, 3
CF = C(d, κT )[inf {diamb (Ω)}]2 , où b est un vecteur unitaire
b
hypothèse inverse pour {Th }h : C(d, κT ) ≈ 1/κ2T ζTd
h
≤ ζT
max
K∈Th diam(K)
∀h > 0
sinon : une dépendance plus compliquée de κT
< >-+
Compléments, inégalité de Poincaré discrète, importance
Compléments
extension pour des fonctions fixées à zéro dans une partie du
bord uniquement
extension pour des domaines bornés dans une direction
uniquement
une version simplifiée pour des fonctions linéaires par morceaux
exemple : les dépendances établies sont optimales
< >-+
Compléments
bord uniquement
uniquement
Théorème (Inégalité de Poincaré discrète) ∀g ∈ W (Th ), ∀h > 0,
Z
Z
2
X Z
4
g 2 (x) dx ≤ c(d, κT , Ω)
|∇g(x)|2 dx +
g(x) dx .
|Ω|
Ω
K
Ω
K∈Th
< >-+
Compléments
bord uniquement
uniquement
Théorème (Inégalité de Poincaré discrète) ∀g ∈ W (Th ), ∀h > 0,
Z
Z
2
X Z
4
g 2 (x) dx ≤ c(d, κT , Ω)
|∇g(x)|2 dx +
g(x) dx .
|Ω|
Ω
K
Ω
K∈Th
Importance
analyse des méthodes non conformes (éléments finis non
conformes, méthode de Galerkin discontinu)
< >-+
Conclusions
Schémas combinés intègrent les avantages des EF et VF :
discrétisation des problèmes paraboliques dégénérés avec le
champ des vitesses dominant et tenseurs de diffusion pleins sur
des maillages non structurés
diffusion ≈ éléments finis (non conformes/mixtes-hybrides)
robustes et efficaces ≈ volumes finis
< >-+
Conclusions
Techniques de volumes finis :
démonstration de la convergence pour des schémas combinés
démonstration constructive des inégalités de Poincaré discrètes
< >-+
Conclusions
Techniques de volumes finis :
démonstration de la convergence pour des schémas combinés
démonstration constructive des inégalités de Poincaré discrètes
Perspectives
estimations d’erreur pour des schémas combinés
gén. des inégalités de Poincaré discrètes pour les espaces Lp
< >-+

éléments finis et des inégalités de Poincaré discrètes

Transcription

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