Exemple file d`attente

Exemple file d’attente
13 mars 2015
Table des matières
I
Analyse opérationnelle
2
1 Modèle du dentiste
2
II
3
Temps d’attente résiduel
1 Temps d’attente d’un train
3
III
4
Chaînes de Markov
1 Doudou le Hamster
4
IV
5
Modèle à file simple
1 Application du modèle de base à un processus de naissance et de mort
5
2 Modèle M/M/1
5
3 Modèle M/M/1/N
5
4 Modèle M/D/1
5
1
Pougne Pandore
File d’Attente (Exemples)
Première partie
Analyse opérationnelle
1
Modèle du dentiste
(Correction exercice 1.1 poly exercices)
Solution
u =Probabilité[serveur occupé]
client arrivant
Λ = nombre
unité temps
1. On a les relations :
(a) E[R] = E[V ] + E[S]
(b) E[L] = E[LW ] + E[LS ]
2. La loi de Little nous donne :
-E[L] = ΛE[R]
-E[LW ] = ΛE[W ]
-E[LS ] = ΛE[S]
Soit : (a) = Λ1 (b)
3. LS :
1, u
0, 1 − u
E[LS ] = 1 × u + 0 × (1 − u)
E[LS ] = u
4. La question 2 nous donne : U = ΛE[S]
5. On a :
E[L] = 2, 8
E[LW ] = 2
Λ=4
E[LS ] = E[L] − E[LW ] = 0, 8
E[R] = Λ1 E[L] ≈ 0, 7h = 42min
E[W ] = Λ1 E[LW ] = 12 h = 30min
E[S] = E[R] − E[W ] = 12min
u = 0, 8
page 2
Pougne Pandore
File d’Attente (Exemples)
Deuxième partie
Temps d’attente résiduel
1
Temps d’attente d’un train
(Correction exercice 1.2 poly exercices)
Solution
Un individu arrive à un instant quelconque
On a les paramètres :
— E[X]
— σ 2 [X]
— [Z] = largeur de l’intervalle dans lequel il arrive.
Pourquoi P [Zgrand] augmente avec la durée Z, P [Z = z] augmente avec z.
Proportionnalité entre fZ et la largeur de l’intervalle
fZ (x) = KxfX (x)
Z
Z
fZ (x)dx =
Z
E[Z] =
xfZ (x)dx =
Or σ 2 [X] = E[X 2 ] − E[X]2 D’où
KxfX (x)dx = 1
1
E[X]
Z
x2 fX (x)dx =
E[X 2 ]
E[X]
E[X 2 ]
σ 2 [X] + E[X]2
σ2
=
=
+ E[X]
E[X]
E[X]
E[X]
On a montré que :
σ 2 [X]
E[Z] = E[X] 1 +
E[X]∗2
!
On veut E[Y] où Y le temps d’attente residuel, Y pris uniformément entre 0 et Z donc E[Y ] =
E[Y ] = E[X]
De plus : FY (z) = 1[0,z] et fY (z) =
1
z
1+C 2 [X]
2
D’où :
Z ∞
−∞
Z z
xfY (x)dx =
1dx = z
0
1
1
a [0,a]
y
a2
1
a
dy =
× =
a
2
a
2
FY (y) = fY (y)1[0,a] =
Z a
Z +∞
−∞
E[Y ] =
yfY (y)dy =
0
a
E[Z]
E[X]
E[X 2 ]
=
=
(1 + C 2 [X]) =
2
2
2
2E[X]
page 3
E[Z]
2
d’où :
Pougne Pandore
File d’Attente (Exemples)
Troisième partie
Chaînes de Markov
1
Doudou le Hamster
Problème Doudou, le hamster paresseux, ne connaît que trois endroits dans sa cage : les copeaux où il dort, la
mangeoire où il mange et la roue où il fait de l’exercice. Toutes les minutes, il peut soit changer d’activité, soit
continuer celle qu’il était en train de faire.
On cherche à étudier la convergence de la chaîne de Markov, c’est à dire, les probabilités qu’a Doudou de se
retrouver dans chaque état indépendamment de l’état initial.


0, 9 0, 05 0, 05
0
0, 3 
Solution On a la matrice de transition du système : P = 0, 7
0, 8
0
0, 2
Prenons l’hypothèse que Doudou dort lors de la première minute de l’étude. Π(0) = [1, 0, 0]
Au bout d’une minute on peut prédire que :
Π(1) = Π0 P = [0.9, 0.05, 0.05]
Ainsi, après une minute, on a 90% de chances que Doudou dorme encore, 5 % qu’il mange et 5% qu’il courre.
La théorie montre qu’au bout d’un certain temps, la loi de probabilité est indépendante de la loi initiale. Notons-la
q:
q = lim Π(n)
n→∞
On obtient la convergence si et seulement si la chaîne est apériodique et irréductible. C’est le cas dans notre
exemple. On a donc :
[q1 , q2 , q3 ] = [0.884, 0.0442, 0.0718]
Doudou passe 88,4% de son temps à dormir !
page 4
File d’Attente (Exemples)
Pougne Pandore
Quatrième partie
Modèle à file simple
1
Application du modèle de base à un processus de naissance et de mort
(Cf page 51/52/53 du poly)
2
Modèle M/M/1
(cf page 55/56 poly)
Caractéristiques
— M : arrivées poissonniennes, taux λ
— M : services exponentiel, taux µ
— 1 : un serveur
La probabilité pour qu’il y ait k arrivées dans un intervalle de durée T est : Pk =
Si stabilité
débit de sortie
débit de sortie
3
e−λT (λT )k
k!

=λ

= µ lorsque le serveur travaille
en moyenne λ
. = 0 lorsque le serveur ne travaille pas 
Modèle M/M/1/N
Π(i) = pi Π(0)
stable pour
i≤N
PN
p=1
i=0 Π(i) = 1
⇒ les Π(i) sont tous égaux à
(1−pN +1 )
1
N +1
P(rejet)=P(quand arrive voie la file pleine)=P(file
p > 1 Π(i) = p1 Π(0)
⇒ Π(0) = 1−p
P+N i
1−p
i
p<1
i=0 p = 1−pN +1 ⇒ Π(i) = p Π(0)
pleine)
PASTA : arrivées de Poisson voient la file dans un état moyen.
P (rejet) = Π(N ) =
4
1−pN +1 N
1−p p
Modèle M/D/1
N(t) est-il sans mémoire ?
N(t)=i events possibles ?
arrivées sans mémoire
i→i+1
ne pose pas de pb
i → i − 1? fin de service ?
définie si on connait le temps depuis lequel le service est commencé : le temps de service residuel 6= temps de
service
P
(N (t) = i, (t) = θ)
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