TS CORRECTION DU DM N°6 Décembre 2008 Exercice 1 Les êtres

C ORRECTION DU DM N°6
TS
Décembre 2008
Exercice 1
Les êtres vivants absorbent du carbone 14 noté 14C . A leur mort, il n’y a plus d’absorption et le 14C qu’ils
contiennent se désintégre. Le temps écoulé depuis la mort d’un être vivant peut donc être évalué en mesurant la proportion de 14C qui lui reste. Soit N (t ) le nombre d’atomes de 14C existant à l’instant t , exprimé en
années. On montre que N 0 (t ) = −0, 0001238N (t ). En effet, La vitesse de désintégration est proportionnelle au
nombre d’atomes présents.
1. On appelle N le nombre d’atomes de 14C initial. Montrer que N (t ) = N e −0, 0001238t .
0
0
N est solution de l’équation différentielle y 0 = −0, 0001238y donc N (t ) = C e −0, 0001238t .
Or N (0) = C × 1 = N0 donc N (t ) = N0 e −0, 0001238t .
2. Quel est le pourcentage d’atomes de carbone perdus au bout de 20000 ans.
N (2000)
× 100 représente le % d’atomes restants. Donc il reste 100 × e −0, 0001238 × 20000 ≈ 8, 4.
N0
Le pourcentage d’atomes de carbone perdus au bout de 20000 ans est de 91, 6%.
3. On appelle période (ou demi-vie) du carbone 14C , le temps au bout duquel la moitié des atomes se sont
désintégrés. Déterminer la période du carbone 14C .(On donnera la valeur exacte et une valeur approchée)
On doit résoudre l’équation N (t ) =
N (t ) =
N0
.
2
N0
1
ln 2
⇔ e −0, 0001238t = ⇔ t =
2
2
0, 0001238
La demi vie du carbone 14C est de environ 5600 ans.
4. On analyse des fragments d’os trouvés dans une grotte. On constate qu’ils ont perdu 30% de leur teneur
en carbone 14C . Déterminer l’âge du fragment d’os.
N (t )
× 100 = 70.(il reste 70% d’atomes.
On doit résoudre l’équation
N0
N (t )
ln 0, 7
× 100 = 70 ⇔ e −0, 0001238t = 0, 7 ⇔ t =
N0
−0, 0001238
L’âge du fragment d’os est de environ 2880 ans.
Exercice 2
³ →
− →
−´
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormal O, u , v .
On appelle f l’application du plan qui à un point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe z 0 = z × z − 2i z − 3.
1.
a. Déterminer A 0 l’image par f du point A d’affixe z A = 1 + i .
z A 0 = (1 + i ) × (1 − i ) − 2i × (1 + i ) − 3 = 1 − 2i . Donc A 0 (1; −2).
b. Déterminer les points du plan dont l’image par f a pour affixe −3.
On doit résoudre l’équation z × z − 2i z − 3 = −3.
¡
¢
z × z − 2i z − 3 = −3 ⇔ z z − 2i = 0 ⇔ z = 0ouz = 2i ⇔ z = 0 ou z = −2i
Les points du plan dont l’image par f a pour affixe −3 sont les points : O(0; 0) et M 1 (0; −2).
1
C ORRECTION DU DM N°6
TS
Décembre 2008
c. On pose z = x + i y et z 0 = x 0 + i y 0 avec x, y, x 0 et y 0 des réels. Calculer x 0 et y 0 en fonction de x et y.
z 0 = (x + i y) × (x − i y) − 2i × (x + i y) − 3 = x 2 + y 2 + 2y − 3 + i × (−2x)
Donc x 0 = x 2 + y 2 + 2y − 3 et y 0 = −2x
z = x +i y
et
z 0 = x 2 + y 2 + 2y − 3 + i × (−2x)
d. Déterminer et représenter ci-dessous l’ensemble E 1 des points M pour lesquels z 0 est réel.
z 0 est réel ⇔ y 0 = 0 ⇔ −2x = 0 ⇔ x = 0. L’ensemble E 1 est l’axe des ordonnées.
e. Déterminer et représenter ci-dessous l’ensemble E 2 des points M pour lesquels z 0 est imaginaire
pur.
z 0 est imaginaire pur ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + 2y − 3 = 0 ⇔ x 2 + (y + 1)2 = 22 .
L’ensemble E 2 est un cercle de centre (0; −1) et de rayon 2.
2.
a. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z 0 lorsque z est l’affixe d’un point M de l’axe
des abscisses.
M (x; y) de l’axe des abscisses donc y = 0 donc x 0 = x 2 − 3 et y 0 = −2x.
b. Montrer que y 02 = 4(x 0 + 3)
4(x 0 − 3) = 4x 2 et y 02 = 4x 2 donc y 02 = 4(x 0 + 3).
c. Représenter l’ensemble E 3 des points images par f de l’axe des abscisses.
p
p
y 02 = 4(x 0 + 3) ⇔ y 0 = 4(x 0 + 3) OU y 0 = − 4(x 0 + 3).
p
p
Il faut donc tracer les fonctions f et g définies par f (x) = 2 x + 3 et g (x) = −2 x + 3.
L’ensemble E 3 est la réunion des deux courbes représentatives des fonctions f et g .
d. Vérifier que le point B (1; −4) appartient à E 3 .
4(1 + 3) = 16 = (−4)2 , c’est-à-dire les coordonnées de B vérifient l’équation y 02 = 4(x 0 + 3) de E 3 .
Donc B (1; −4) appartient à E 3
2