Mecanique des fluides

CHAPITRE 8
CALCUL DES RESEAUX HYDRAULIQUES (OU AERAULIQUES)
EN REGIME PERMANENT ET FLUIDE INCOMPRESSIBLE
© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.
VIII.3
CALCUL DES RESEAUX HYDRAULIQUES (OU ÂERAULIQUES)
EN REGIME PERMANENT ET FLUIDE INCOMPRESSIBLE
L'étude de l'écoulement permanent dans un réseau constitué de
conduites et d'éléments de connection (coudes, branchements, „..) ou
d'alimentation (pompes, ventilateurs, .„„) est habituellement menée en décomposant le réseau en tronçons élémentaires. Pour chacun de ces tronçons,
la différence de charge entre les extrémités peut alors être estimée en
fonction du débit qui le traverse» Lorsqu'il s'agit de conduites rectilignes
de section constante, on applique les résultats obtenus au chapitre 7 précédent. Par contre, lorsque le tronçon considéré comporte des singularités,
telles que coudes, changements de section, ..., il convient également de
prendre en compte les pertes de charges singulières introduites par ces
éléments. Enfin, le calcul des réseaux suppose que soit connue la charge
fournie ou absorbée par les machines génératrices (pompes, ventilateurs, ...)
ou réceptrices (turbines, ...) placées sur ce réseau.
Pour les organes passifs (conduites, coudes, ...)» la différence
de charge AH - H
- H
entre l'entrée et la sortie est exprimée sous la
forme générale
AH - Kq|q|
où K est un coefficient caractéristique fonction de la géométrie de l'élément considéré, du débit, de la viscosité et de la compressibilité du fluide
qui y circule (à travers souvent les nombres de Reynolds et de Mach), etc.
Pour une conduite simple, K = A Re, — i _
•>, où Du est le diamètre
D D
l
J H
hydraulique, S la section, L la longueur et A le coefficient de perte de
charge.
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VIII.4
Par convention, on considère q comme positif lorsque l'écoulement
se fait dans un sens préalablement choisi pour 1*élément considéré habituellement de l f entrée vers la sortie, la définition de ces termes étant
d f ailleurs souvent, arbitraire.
Pour une machine hydrauliques la différence de charge
AH * H
ra
m
entre l'entrée et la sortie est une relation relativement
s
complexe fonctionf outre du débit, de la vitesse de rotation. Avec la
e
- H
ni
convention choisie (q positif si l'écoulement de l'entrée vers la sortie),
elle est positive pour une machine réceptrice (turbine) et négative pour une
machine génératrice (pompes ventilateur).
~ Pz^tes de charge singulières
Avant d f aborder les méthodes de calcul des réseaux, nous donnons
ci-après quelques indications sur l'estimation des pertes de charge introduites par les singularités du réseau telles que coudes,, convergents, divergents, rétrécissements brusques, vannes, clapets, etc.
Pour ces éléments, lfanalyse dimensionnelle montre que la perte
de charge singulière qu'ils occasionnent peut être exprimée sous la forme :
AH
s
V2
= ç~
2g
où V est une vitesse moyenne caractéristique et ç un coefficient qui, pour
un type dfêlërnent donne, dépend de nombreux paramètres tels que nombre de
Reynolds et de Mach, état de surface, géométrie et, parfois même, de la
position sur le circuit.
ExempJ._e ? coude circulaire
Pour un nombre de Reynolds —- > 10 **, on a
aoproximativement,
c-^o^o.^)3'5'
En général, les formules permettant le calcul du coefficient de
perte de charge singulière ç sont; empiriques, étant la traduction de résultats expérimentaux et ce n'est que dans certains cas très particuliers
(élargissement brusque par exemple) qu'il est possible, à partir d'un calcul
théorique, d'estimer la valeur de ç.
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VIII.5
Etant donné le nombre extrêmement élevé de singularités pouvant
être rencontre
sur un réseau? il n'est pas possible ici de reproduire les
inombrables formules ou abaques permettant de calculer les pertes de charge
singulières correspondantes et nous renvoyons, pour cela, aux ouvrages
spécialisés, tels que le "Mémento des pertes de charge", de I.E. IDEL'CIK,
Eyrolles.
Remarque
Lorsque les singularités ont une certaine longueur développée le,
les formules empiriques qui sont données dans la littérature distinguent
parfois la perte de charge régulière correspondant à cette longueur de la
perte de charge singulière proprement dite :
AH
V2 £
. = A -— ~ + AH .
total
2g D
sing
C'est le cas, en particulier pour certains coudes, diffuseurs ou
convergents de grande longueur.
A. RESEAU "SERIE"
II s'agit du cas simple où tous les éléments sont placés en série,
donc parcourus dans le même sens par un même débit q «
Entre la charge H
il
à l'entrée et celle Hc à la sortie du réseau,
D
on a, en admettant le principe de 1 f additiy ité des pertes (ou gain) de
charge, la relation suivante i
H
E '«S *
?
1
K
iq2
+
perte de charge
régulière
(conduite, ...)
+
? AHsj
j
perte de charge
singulière
(coude, ...)
l AHn,k
<8'!>
K.
pertes (ou gain) de charge
dus aux machines (pompe,
turbine, .„.)
En séparant la charge I AH
fournie ou absorbée par les éléments
in
actifs de celle résultant de la présence des éléments purement passifs, on
peut écrire :
- l
k
AH
mk • HS - «E
+ Z K
i"2
i
+
? AHsj
j
(8.2)
Si, sur un même graphique, l'on représente séparément, en fonction
du débit q le premier et le second membres de cette expression correspondant
respectivement à la caractéristique "motrice" et à la caractéristique "résistante" du réseau, le point d'intersection des deux graphes ainsi obtenus
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VIII.6
permet de déterminer le point de fonctionnement du réseau considéré, point qui
est caractérisé ici par la valeur du débit q.
ExempJL^ : installation de pompage
Sur cette installations
I AH , correspond à la somme des pertes de charge singulières dues à la
crépine d f entrée, aux trois coudes et à l'élargissement brusque en
sortie,
H
- H
» AZ correspond à la différence de cote des deux plans d'eau.
- I, AH
= H représente la courbe caractéristique.hauteur manométriquek
mjçm
/
débit, de la pompe
B. RESEAU
RAMIFIE
Un tel réseau a la structure indiquée ci-contre, c'est-à-dire un ensemble de
conduites ne formant pas de boucle fermée.
Le problème qui se pose ici est la
déterminâtion des débits et, éventuellement,
des charges pour chaque tronçon de conduite.
Pour cela, on est amené à résoudre un système de relations obtenues en écrivant :
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VIII.7
- que la somme des débits en chaque noeud du réseau est nulle p. ex.
I q N . - 0 au noeud N.
i
'
- que, le long de chaque ensemble de conduites placées en série,
ÂBCD par exemple, une relation du type de celles vues pour les réseaux série
(8.1 ou 8.2) est satisfaite.
On obtient ainsi un système d!équations qui, compte tenu des
conditions aux frontières du réseau (points A, J, D, K, . ..) où les débits
(ou charges) sont supposés connus, permet de résoudre le problème, la seule
difficulté étant que certaines de ces relations sont, en écoulement turbulent, non linéaires»
On peut alors, soit procéder numériquement par approximations
successives, soit, dans les cas très simples comme celui de l'exemple cidessous, graphiquement.
Exemple : Reseau_ramifie_à_trois c2B^HÎ^꣙Ë^_E^££EY2ir
Le seul noeud du réseau est ici le point M. Le principe de la
construction consiste à représenter la charge IL
au point M en fonction des
débits qj, q 2? qs en fonction des débits qui parcourent les conduites î , 2
et 3.
Dans ce problème, la solution
est facilitée par le fait que l"on
connaît a priori le .sens du débit dans
les conduites qui, à partir du point M ?
mènent respectivement aux réservoirs le
plus haut i et le plus bas 2. Par
contre, le débit dans la conduite 3
s'écoulera dans un sens ou dans lfautre
selon le signe de IL
- E%.
Si le point A dfintersection entre
les caractéristiques (T) et (T) se trouvent au-dessus de la cote h 3 , il
est évident que le réservoir 3 sera alimenté par le réseau. On aura alors
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VIII.8
entre les trois débits la relation :
q2 =
qi
+ q3 ,
d'où la construction (a) ou F représente le point de fonctionnement cherché.
Dans le cas contraire, on a :
qi
= q2 + q 3
et c'est la construction (b) qui doit être considérée.
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VIII.9
C. RESEAU MAILLE
Dans un tel réseau, les tronçons de conduite forment, comme indique
sur l'exemple ci-contre, des boucles
fermées appelées mailles.
Sur cet exemple, les flèches j^
figurent les "débits en route11 qui correspondent à l'alimentation de certaines zones, telles que, par exemple,
immeubles, bouches d?incendie, etc. Ces
débits sont supposes connus.
Le problème qui se pose ici
est la détermination des débits q. dans
chacun des T tronçons de conduite, les charges s'en déduisant immédiatement
Pour le cas représenté ci-dessus, on a T = 12 tronçons, donc douze débits
inconnus. On dispose entre ces dêbitsaautant de relations linéaires simples
2 qt = o
que le réseau comporte de noeuds, soit N (ici N = 6).
Il faut donc, pour résoudre le problème, disposer de T - (N - 1)
relations complémentaires, car, parmi les N relations aux noeuds, N - I
seulement sont indépendantes.
Ces relations complémentaires sont obtenues en écrivant que :
- pour chaque maille fermée, la somme des différences de charge,
sur les tronçons d*une même maille, est nulle, ce qui fournit M relations
supplémentaires (ici M - 4) i
I AH. = 0
- pour les parties ramifiées du réseau, les R relations de la
forme :
AH = AH(q)
entre les charges extérieures (ici réservoir) et celles au noeud frontière
du réseau où ces conduites sont raccordées (ici R = 3).
Finalement, on a autant de relations (N+M+R-1) que d'inconnues
(T) et le problème peut, du moins théoriquement, être résolu.
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VIII.10
Toutefois, lorsque le nombre de mailles est élevé et c'est, par
exemple, le cas des réseaux de distribution d f eau d'une ville, la résolution
du système d'équations peut s'avérer très complexe et l'on utilise alors des
méthodes d'approximations successives telles que celles proposées par
HARDY-CROSS pour la résolution des systèmes hyperstatiques en résistance des
matériaux.
- Méthode de HARDI-CROSS
Le principe de la méthode est le suivant. On se donne a priori les
débits dans chaque tronçon tout en respectant l'équilibre des débits au
noeud. Si l'on a, pour N noeuds, soit N-î relations indépendantes, M mailles,
cela revient à se donner, pour la partie maillée du réseau, M-N+1 débits arbitraires auxquels il convient d'ajouter éventuellement ceux aboutissant aux
noeuds frontières lorsqu'ils ne sont pas connus.
Sis après s'être fixé pour chaque maille arbitrairement un sens
positif de parcours, on considère une maille I quelconque, on a en général,
U ;1
T.
I i
AH. ^ 0 ,
- '
puisque les débits imposés ne correspondent pas nécessairement à la réalité.
Si l'on désigne par dq.1 l'écart entre le débit exact q.
et le
iex
débit q. choisi :
<*q;1 = q:iex - q-i »
on peut écrire, en appliquant à chaque différence de charge AH., aux bornes
d'un tronçon de conduite, un développement limité au premier ordre :
d[AH.)
AH.
= AH. + -_L_-il dq.
,
4
iex
i
dq..
i
où AH.x
représente la perte de charge dans le tronçon i pour le débit exact
ex
cherche,
La relation des pertes de charge pour une maille s'écrit alors :
Z AH. = Z AH. + Z
-rI,i•
IPX
-r •
i
ex
1,1
d(AH.)
\ ^ dq. .
dq.
i
M
i
Or, par hypothèse, Z AH.
5 0.
x
ex
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VIII.11
Par ailleurs, la maille I étant supposée isolée et les débits
extérieurs étant imposés, comme les débits q. respectent les équations des
débits aux noeuds, la correction dq. doit être la même pour tous les tronçons formant la maille I. On peut donc mettre dq. * dqT en facteur dans
l'équation des pertes de charge
d(AH.)
F AH. = - dq
q T l ——i1
i j. dq.
I
soit
I AH.
dq
I
*
i - "ITÂHT
=
y
JL_
dq.
représentant la correction dq
peu mieux les débits exacts q.
à apporter aux débits q. pour approcher un
. Il faut remarquer que, dans cette rela-
tion, les termes du numérateur, ainsi que dq
ont un signe qui est défini
par rapport au sens de rotation qui a été choisi pour la maille, alors que
le dénominateur est toujours positif.
Si la perte de charge prend simplement la forme AH. = K, q . l q . , la
relation précédente s'écrit :
l K. 4q.|q.
i i|Mi
L
2E K. q.
^—i
—
I L X
On obtient ainsi de nouvelles valeurs des débits dans les conduites de la maille I. Le calcul se poursuit alors en reprenant le même raisonnement que celui qui précède pour la maille II et ainsi de suite,
A chaque étape évidemment, on tient compte des corrections apportées au débit dans chacune des conduites» L'ensemble des résultats obtenus
pour toutes les mailles constitue une première itération qu'il conviendra
d'affiner de nouveau pour obtenir une meilleure précision.
Remarquons qu'afin que le calcul converge
dire que tous les dq
rapidement , c'est-à-
tendent rapidement vers 0, on a intérêt à conanencer
par la maille la plus "déséquilibrée", c'est-à-dire pour laquelle E AH
est
le plus éloigné de zéro. Cette méthode de calcul est en tout point semblable à celle que le même auteur a donné pour le calcul des poutres hyperstatiques en résistance des matériaux.
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VIII. 12
Actuellement, les calculs se font très facilement sur ordinateurs
et de nombreux programmes existent.
EXEMPLE ^APPLICATION DE LAJffiTHOD^j_*jiARDY CROSS
On considérera, à titre d f exemple s un réseau maillé extrêmement
simple comportant deux mailles et quatre noeuds représentés sur la figure
ci-après. Les différences de charge Ah sont données en m de colonne d'eau
et les débits en 1/sec. Avec ces unités, les coefficients k. représentent,
exprimés en m/(l/sec)2, la résistance hydraulique de chaque élément de
conduite.
ki = 1.10~z
k2 = 2.10-1
k 3 = 3.10"2U = 4.10-2
k 5 = 5.10-1
Réseau comportant 2 mailles et 4 noeuds.
Il faut donc se donner 2 débits arbitraires.
On a les relations :
' q 5 * q 3 « 100
q 3 - q 2 + qk = 60
qi + q 2 = ^O
On se donne par exemple
q! = 30
et
q 5 = 60
-*• q 2 ~ 10 ; q 3 = 40 ; qi+ = 30
i) On calcule la perte de charge dans la première maille
Ahi * Z
Ah
qi
q i k£
l = k 3 q? ~ ku q? - k 5 q?
Ah! = ~ 168
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VIII.13
On calcule maintenant Ah 2
Ah2 = q^ k2 - qf kj + q? k^
Ah2 = 29
On corrige la maille la plus déséquilibrée, c'est-à-dire la première.
d
qi
41
-
^LL__ « _____JAJ____^_ _
ITT^TkT
2 ( k 3 q 3 + k, q, + k 5 q 5 ) "
35
I 5 S5
35
»
d'où les nouveaux débits
qj = 30 ; q 2 = 10 ; q 3 = 55S55 ; q^ « Î4 S 55 ; q 5 = 44S45
2) On recommencera le calcul des pertes de charge
Ahj = - 14,56 -*
d qj = î ,63
Ah2 = 1,352
qi = 30 ; q? = 10 ; q 3 - 57 S 18 ; q^ = Î2 S 82 ; q 5 = 42,82
3) Ahj = -0,1651
Ah2 = - QS428
->
d q 2 = 0,21
qi * 29,79 ; q 2 = 10,21
4) Ah! = - 0,3822 ->
; q 3 = 57,18 ; q^-* Î3S03 ; q 5 - 42,82
d ql = 0,043
Ah2 -. J,6.1Q- 3
qi
= 29,79 ; q 2 - 10,21 : q 3 « 57,23 ; qk = 12,98 ; q 5 = 42,77
On arrête les calculs lorsqu'on a obtenu un d q. suffisamment faible comptetenu du problème considéré.
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