quelques réponses à des questions fréquentes

Transcription

Quelques réponses à des questions pédagogiques sur l’enseignement de la
géométrie au cycle 2
Source : http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/
Sommaire
Quelques réponses à des questions pédagogiques sur l’enseignement de la géométrie au cycle 2 .............................. 1
Quelles activités proposées au cours des cycles 1 et 2 concernant les figures géométriques planes?....................... 1
Que doivent apprendre les élèves à propos de l’usage de la règle à la maternelle puis aux cycles 2 puis 3 ? ............ 2
Comment construire une progression sur la géométrie plane, en cycles 1 et 2 ?...................................................... 3
Comment travailler la symétrie orthogonale en cycles 1 et 2 ? ................................................................................ 6
Comment travailler les figures planes au cycle 2 ? ................................................................................................... 7
Quels sont les enjeux de l'enseignement de la géométrie pour le cycle 2 ? .............................................................. 8
Quels sont les objectifs du jeu du portrait utilisé en géométrie ? ............................................................................. 8
Comment choisir un matériel pédagogique adapté pour travailler les figures planes ? ............................................ 9
Comment aider les élèves de cycle 2 à construire les notions spatiales et à les structurer ? ..................................... 9
Comment choisir des situations plaçant les élèves face à des problèmes nécessitant le recours à des connaissances
spatiales ou géométriques ?.................................................................................................................................. 10
Que faut-il prendre en compte lors de la validation de productions géométriques des élèves ?............................. 11
Comment permettre aux élèves de s’approprier les propriétés géométriques de certaines figures planes ? .......... 12
Quelles activités proposées au cours des cycles 1 et 2 concernant les figures
géométriques
planes?
Des activités de référence variées, première étape dans l’apprentissage de quelques figures
géométriques
1
Les formes géométriques planes pour lesquelles des connaissances sont exigibles aux cycles 1 et 2 sont (au
cycle 1, il n’y a que des objectifs sur les formes, pas sur les figures : il est important de distinguer les deux, la
forme étant l’objet d’une approche essentiellement globale et perceptive et la figure d’une approche par les
propriétés) : les cercles, les carrés, les triangles, les rectangles. Bien sûr, il ne faut s’interdire de travailler et
de
nommer
d’autres
formes
au
cours
des
différentes
activités
de
géométrie.
Il s’agit de proposer aux élèves à la fois des situations de référence, des activités d’entraînement, et de bien
prendre en compte la diversité des figures géométriques, sans se limiter aux figures particulières : ne
proposer aux élèves par exemple que des triangles équilatéraux ou isocèles serait restreindre à priori leurs
capacités
d’apprentissage
et
serait
nuisible
à
la
construction du
concept
de
triangle.
Il est important de ne pas laisser croire aux élèves que les formes géométriques sont toujours classées en
ensembles disjoints et ainsi bien distinguer le contexte de la vie courante du contexte mathématique. Par
exemple, il n’est pas d’usage de dire qu’une table carrée est rectangulaire, pourtant, du point de vue
mathématique, c’est vrai. En mathématiques on peut dire qu’un carré est un rectangle. Ainsi dès le cycle 1 le
nombre de côtés des polygones peut être utilisé pour différencier les formes. On peut également travailler,
même si cela peut paraître ambitieux, le fait que les rectangles et les carrés appartiennent à une même
famille, celle des quadrilatères (figures à 4 côtés) ayant quatre angles droits. Pour commencer à appréhender
ces notions, on peut utiliser un gabarit d’angle droit en plastique transparent, comme celui présenté cidessous et privilégier l’encastrement, la manipulation accessible dés le cycle 1. Ce travail expérimental sera
repris puis poursuivi par un travail plus analytique au cycle 2
Enseigner la géométrie au cycle 2 – Quelques réponses à des questions pédagogiques fréquentes – Master 2
Pour construire le concept de figure géométrique plane, il est important d’utiliser un matériel constitué de
nombreuses figures différentes (particulières et sans particularité) minces, rigides et résistantes. Du plastique
peu épais, de la mousse fine, de minces plaques de bois ou de carton peuvent très bien faire l’affaire. La
plupart des activités nécessitent un matériel d’une même matière et d’une même couleur sur les deux faces,
la couleur pouvant induire des tris, des classements ou de comportements d’élèves perturbant l’apprentissage
des propriétés géométriques. On peut alors espérer que ce n’est pas la couleur ou la matière qui servent de
repères aux élèves mais les propriétés mathématiques.
Le travail sur les figures simples peut aussi se poursuivre lors d’activités de tracés où l’élève en produit luimême
qu’il
est
capable
de
nommer
ou
pas.
A partir du cycle 2, en plus des activités d’appariements, de tris, de classements, rencontrées en cycle 1, les
activités géométriques peuvent s’enrichir par des :
- activités de puzzles plus « difficiles »
- activités de tracés plus variées sur papier quadrillé, ou non,
- activités de construction sur quadrillage,
- activités de reproduction.
Etc…
Cerquetti-Aberkane Françoise, Marilier Marie-Christine (2006)
Que doivent apprendre les élèves à propos de l’usage de la règle à la maternelle puis
aux cycles 2 puis 3 ?
Travailler la notion de droite et d’alignement, c’est possible dès la maternelle à l’aide d’une règle.
La règle a plusieurs fonctions. Elle peut être utilisée pour :
- tracer des lignes droites
- joindre des points par un segment
- vérifier l’alignement de plusieurs points ou construire des points alignés
2
- mesurer des longueurs de segments Seule la dernière fonction nécessite l’utilisation d’une règle graduée. Il ne
faudrait pas laisser croire aux élèves que la graduation est nécessaire pour effectuer les tracés de lignes droites,
joindre des points par un segment ou pour vérifier l’alignement de points. En conséquence, il est préférable
d’utiliser des règles non graduées pour faire cela.
Dès la maternelle, on peut entraîner les élèves à faire des tracés à la règle non graduée.
Plusieurs objectifs peuvent être visés à ce niveau :
- Reconnaître une ligne droite d’une ligne qui ne l’est pas (d’abord perceptiblement, puis en utilisant un
instrument : fil tendu, règle…)
- comprendre que les lignes droites ne sont pas uniquement des verticales et des horizontales
- voir que les lignes droites ne sont pas exclusivement des lignes droites parallèles au bord de la feuille sur
laquelle on trace.
- Apprendre à choisir l’instrument convenable permettant de réaliser un trait droit, (ce peut être n’importe quel
objet comportant un bord rectiligne).
- Apprendre à utiliser correctement la règle, c’est à dire sans que les doigts dépassent, sans que la règle bouge,
en appliquant correctement la mine du crayon le long de la règle et en sachant interrompre le geste avant
l’extrémité de la règle.
En fin de cycle 2 on ajoutera :
- s’entraîner à tracer des traits droits passant par des points donnés ou par des nœuds de quadrillages
- vérifier l’alignement de points sur une feuille de papier.
Au cours des cycles 2 et 3, il s’agit également de travailler la mesure de longueur avec la règle graduée.
Pour apprendre aux élèves à effectuer des tracés de segments de longueur donnée ou à mesurer un segment
avec précision, il convient de travailler spécifiquement l'utilisation de la règle graduée :
- placer la règle le long de l'objet à mesurer
Et si de plus on veut lire directement sur la règle graduée la mesure de l’objet, il faut que la règle devienne un
instrument « à compter les unités » :
- mettre le zéro exactement à une extrémité de l'objet à mesurer ;
- lire la graduation en face de l'autre extrémité de l'objet à mesurer.
On peut également utiliser une règle graduée sans partir du zéro. En ce cas la lecture de la mesure ne se fera
pas directement sur la règle.
Si l’on part de 1, par exemple, il faudra retirer 1 à la graduation lue à l’extrémité du segment mesuré. Si on
utilise une règle dont le bout est cassé (en plastique, en bois ou en carton) ou un mètre de couturière dont une
partie est coupée, la mesure est alors obtenue par différence entre les nombres qui repèrent « la fin et le début
».
Comment construire une progression sur la géométrie plane, en cycles 1 et 2 ?
Quelques repères pour construire une progression annuelle en géométrie plane, par niveau de classe
Il existe plusieurs approches possibles (de l’espace aux figures planes aux lignes, des solides de l’espace aux
figures planes et aux lignes …). L’essentiel est d’avoir un enseignement organisé, articulant activités
problématiques et entraînement… Pour la maternelle, il est important d’aller consulter le document
d’accompagnement « Vers les mathématiques en maternelle » qui offre de nombreuses pistes de réflexion. Ici, il
s’agit d’une perspective possible parmi d’autres.
3
Nous proposons de faire un travail spécifique sur la géométrie plane. Il nous semble plus aisé de travailler sur la
notion de droite puis de segments pour arriver aux figures planes puis aux faces d’un solide. Cela n’empêche pas
de travailler en parallèle avec des cubes par exemple, dans le cadre de la reproduction d’empilements ou dans le
l’analyse
des
figures
simples
que
constituent
les
faces
d’un
solide.
Nous dégageons ici quelques repères pour construire une progression en géométrie plane dans les différentes
classes des cycles 1 et 2.
MS/GS
Les figures planes
Il est indispensable à ce niveau de familiariser les élèves avec différentes figures géométriques simples et pas
seulement régulières. Cela peut être au cours d’activités spécifiques pour lesquelles on utilisera des formes du
commerce et des formes fabriquées par l’enseignant ou les élèves. Ces formes peuvent être pleines ou creuses et,
en
ce
cas,
pourront
servir
de
pochoir.
Des puzzles
Les puzzles géométriques très appréciés des élèves, permettent également des manipulations dans lesquelles les
figures doivent être assemblées, tournées, et même retournées. Pour favoriser le retournement de figures dans la
réalisation de formes à partir de pièces de puzzles, il est nécessaire de donner aux élèves des figures qui n’ont pas
d’axe de symétrie. C’est le cas du parallélogramme présent dans le tangram par exemple et du trapèze rectangle
présent
dans
le
puzzle
mélimélo
(1)
ci-dessous.
Il n’est pas nécessaire de nommer ces figures tout de suite afin d’éviter les représentations stéréotypées.
Des tracés
Il est utile ensuite de faire travailler les élèves sur des tracés à la règle non graduée afin de leur permettre de
comprendre ce qu’est une ligne droite. A partir de ces tracés, les triangles et les quadrilatères peuvent être
étudiés plus précisément et caractérisés par leur nombre de côtés. Il est intéressant de proposer dans ce cadre,
des quadrilatères avec des angles rentrants et des triangles avec des angles très obtus.
Les tracés de cercle avec des règles compas (matériel celda) ou des ficelles peuvent être faits dès la maternelle.
Dans la cour, avec un plot autour duquel coulisse une ficelle munie d’une craie, il est possible de tracer et de faire
tracer aux élèves, un cercle. Il est intéressant que les élèves recherchent et coopèrent pour faire cela car il faut
maintenir le plot fixe pour réaliser le tracé et bien tendre la ficelle. Ces activités permettent aux élèves de
commencer à percevoir des caractéristiques du cercle, même si celles-ci ne sont pas données effectivement aux
élèves. En effet, le fait que la distance de chaque point de la circonférence au centre du cercle reste la même, est
facilement mis en évidence par la ficelle tendue qui matérialise le rayon du cercle. Il ne s’agit pas d’appréhender
explicitement
ces
propriétés
du
cercle
mais
de
les
expérimenter.
Les encastrements
4
En fin de grande section de maternelle, on peut proposer aux élèves des calibres d’angle droit qui permettent de
vérifier, de façon objective, qu’un quadrilatère est un rectangle, en encastrant la figure dans un calibre d’angle
comme celui-ci.
Des activités d’encastrement de figures dans leur empreinte permettent également de classer les figures suivant le
nombre d’encastrements différents qu’on peut réaliser. Par exemple un rectangle non carré rentre dans son
empreinte, de deux façons différentes d’un côté et de deux façons différentes en le retournant. Un carré rentre de
huit façons différentes dans son empreinte, quatre d’un côté et quatre de l’autre. Un parallélogramme ne rentre
que
de
deux
façons
dans
son
empreinte
et
en
le
retournant
il
n’y
rentre
pas.
Quant au disque, il rentre d’une infinité de façons dans son empreinte.
La symétrie orthogonale
Des activités concernant les symétries orthogonales sont commencées dès la maternelle. Il s’agit de pliages et
d’observation de figures à l’aide de miroir. Il est important de proposer dès ce niveau de classe des axes de
symétrie de direction quelconque afin de ne pas enfermer cette notion dans des positions privilégiées des axes de
symétrie.
Toutes ces activités seront reprises et affinées au cours des années suivantes
En CP
Toutes les activités précédentes peuvent être reprises et approfondies.
On continue à travailler les différents tracés et à affiner les catégories de figures, suivant leur façon de rentrer
dans leur empreinte et suivant quelques unes de leurs propriétés.
Il est nécessaire de proposer différentes manipulations de figures géométriques obligeant les élèves à les disposer
dans différentes positions. Le vocabulaire, sommet, côtés, angles n’est pas introduit pour lui-même mais est
travaillé de façon plus précise à l’occasion de situation de communication.
Alignement
A ce niveau de classe on peut travailler l’alignement et le prolongement de ligne droite. Ces activités sont assez
délicates et nécessite d’être entreprises après un travail spécifique sur les tracés en temps que tels.
Grandeurs et mesures
Des bandes de papiers peuvent être utilisées pour vérifier les égalités des longueurs des côtés des polygones. Le
compas peut être introduit pour tracer des cercles et comparer des longueurs (ceci n’est cependant pas urgent au
cycle 2), après avoir utilisé les règles-compas (matériel Celda).
Utilisation du quadrillage
Le repérage sur un quadrillage est commencé à ce niveau de classe.
Symétrie orthogonale
Le tracé de figures symétriques par pliage et avec l’utilisation de géomiroir (matériel celda) est poursuivi.
5
En CE1
Tout ce qui a été vu dans les classes précédentes doit être repris, à savoir, les tracés à la règle et l’identification
des polygones suivant leur nombre de côtés et quelques unes de leurs propriétés, l’utilisation du compas, les
prolongements, la symétrie orthogonale.
Le
repérage
sur quadrillage est repris et prolongé
au repérage
sur des
plans ou
cartes
simples.
Parallélisme et orthogonalité
Un travail plus spécifique sur les droites parallèles, perpendiculaires et sécantes est entrepris à ce niveau de
classe. Nous n’oublierons pas que le parallélisme des droites en tant que compétence exigible relève du cycle 3,
mais il est utile de l’entrevoir avant.
Les propriétés du cercle et le vocabulaire afférent pourront être introduits au cours des activités, ceci n’étant
qu’une toute première approche sans que ce soit exigibles. Il s’agit surtout, si le contexte s’y prête, d’utiliser le
vocabulaire le plus rigoureux possible.
Le vocabulaire de la géométrie est repris et approfondi dans des situations de communication de plus en plus
précises (à préciser).
Les différentes familles de polygones seront reprises en cycle 3 et les droites particulières de ces figures seront
étudiées.
(1) Akihiro Nozaki, Mitsumasa Anno, Jeux mathématiques, volume 1, Collection Père Castor, Flammarion, Paris
Comment travailler la symétrie orthogonale en cycles 1 et 2 ?
Un
matériel
et
des
activités
adaptés
pour
apprendre
quelques
propriétés
de
la
symétrie.
En cycles 1 et 2, la géométrie plane est avant tout un domaine d’expérimentation, de manipulation, sur des
formes et des dessins. Ceux-ci doivent devenir progressivement des figures caractérisées par des propriétés sur
lesquelles
il
devient
possible
de
réfléchir
et
raisonner.
Le
matériel
adapté
à
la
symétrie
est
:
- Le papier calque
- Le miroir incassable
- Le géomiroir (matériel celda)
On pourra introduire le vocabulaire spécifique suivant :
- L’axe de symétrie d’une figure
- Une figure est le symétrique d’une autre figure par rapport à une droite appelée axe de symétrie
- Deux figures sont symétriques l’une de l’autre
Et
aussi
travailler
quelques
propriétés
de
la
symétrie
:
la
figure
initiale
et
la
figure
symétrique
image
sont superposables
par
retournement.
- Les figures polygonales symétriques ont même forme et leurs côtés sont de même longueur.
- La figure symétrique d’une figure donnée, non traversée par l’axe, se situe de l’autre « côté » de l’axe.
6
En maternelle, les premières activités sur la symétrie peuvent être proposées dès le cycle 1. Il s’agit avant tout de
familiariser
les
élèves,
par
diverses
manipulations,
à
la
notion
de
symétrie
orthogonale.
Étape 1 : Il est plus aisé de commencer par faire observer l’image d’un objet dans un miroir. Ces activités
peuvent
être
pratiquées
librement
par
les
élèves
en
cycle
1
et
2.
Etape 2 : Ensuite à partir de ces observations on peut demander aux élèves ce qu’ils ont observé, de façon à faire
remarquer que l’image de l’objet observé dans un miroir est inversée par rapport à l’objet de départ. Plusieurs
jeux peuvent ensuite être mis en place. Les élèves devront, par exemple, placer un carré bicolore, puis son
symétrique, en faisant référence à l’image qui serait vue dans un miroir. Le miroir et surtout le géomiroir (1),
permettent
de
vérifier
si
le
carré
a
été
placé
convenablement.
Axe
de
symétrie
Etape 3 : On peut aussi proposer aux élèves de trier des dessins comprenant deux figures et de regrouper ceux
dont les figures se recouvrent exactement par pliage. Il est intéressant de donner des figures obtenues par
translation, par rotation, par agrandissement et par déformation, afin que les élèves comprennent ce que sont les
attributs
essentiels
de
deux
figures
symétriques
par
rapport
à
un
axe.
Certains élèves n’ont pas besoin de plier pour constater que certaines deux figures ne sont pas symétriques l’une
de l’autre. D’autres au contraire, plient systématiquement le papier. On peut marquer le pli et indiquer qu’il s’agit
de l’axe de symétrie. Le pliage est particulièrement bien adapté à la mise en évidence de l’axe de symétrie et de la
superposition
par
retournement
des
deux
figures.
Etape 4 : on peut ensuite faire construire l’image symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe, en
utilisant
le
pliage
et/ou
le
géomiroir.
Etape 5 : on peut faire trier, en utilisant le pliage ou le géomiroir, des figures qui ont au moins un axe de
symétrie. Là encore il est nécessaire de proposer des figures qui n’ont pas d’axe de symétrie, qui en ont
seulement 1, 2, 3 ou une infinité, ce qui est le cas du disque. On dégage à nouveau le ou les axes de symétrie.
Etape 6 : On fait compléter par pliage et à l’aide du géomiroir, la moitié d’une figure donnée, connaissant son axe
de
symétrie.
Cela
peut
également
se
faire
par
découpage.
Plusieurs activités de pliages et découpage peuvent être menées permettant la réalisation de napperons frise etc…
En CP et en CE1 toutes les activités précédentes doivent être reprises. Cependant il est important de solliciter les
élèves afin de leur permettre d'anticiper les pliages et de les inciter, petit à petit, à ne les utiliser que pour vérifier
leurs
prévisions.
Le miroir ou le géomiroir, posés sur l'axe seront davantage utilisés pour vérifier que l'image, dans le miroir, est la
même
que
celle
qui
est
dessinée
de
l'autre
côté
de
l’axe.
On peut ajouter des activités sur quadrillage et faire construire des figures par symétrie par rapport à une des
lignes
du
quadrillage.
(1) Matériel Celda
Comment travailler les figures planes au cycle 2 ?
Des solides aux figures planes
Au cycle 2, une première étude de certains solides et de certaines figures planes déjà manipulés par les élèves est
conduite et permet une première mise en évidence de quelques unes de leurs propriétés. Les problèmes posés
doivent le plus souvent concerner des objets manipulables (solides, figures découpées) et, lorsque le travail
concerne
des
figures
dessinées,
celles-ci
doivent
occuper
des
positions
variées.
Il peut être intéressant, au cycle 2, de partir de l’analyse de solides pour retrouver les figures planes, comme le
montre
cette
séquence
de
travail
pour
la
dernière
année
du
cycle
2,
avec
une
progression
allant
du
cube
au
carré
:
Voici la progression extraite du document d’accompagnement :
Etape 1 : jeu de portrait sur des solides.
Etape 2 : réalisation d’un cube en pâte à modeler et mise en évidence des caractéristiques du cube.
Etape 3 : Mise en évidence du carré comme face d’un cube.
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Etape 4 : Mise en évidence des propriétés géométriques du carré : côté de même longueur et angles particuliers
Etape 5. : Entraînement à la construction de carrés dont on connaît un ou plusieurs débuts de côté et un ou deux
angles.
Etape 6 : Travail spécifique sur les angles droits du carré.
Documents d’accompagnement des programmes de mathématiques de l’école primaire février
2005 (2007)
Quels sont les enjeux de l'enseignement de la géométrie pour le cycle 2 ?
Des compétences visées pour le cycle 2, dans la continuité de celles attendues en fin de cycle 1
Ce que la tradition appelle « enseignement de la géométrie » renvoie, à l’école primaire, à deux champs de
connaissances : d’une part celui des connaissances nécessaires à l’enfant pour contrôler ses rapports usuels avec
l’espace, champ souvent désigné par « structuration de l’espace », d’autre part celui de la géométrie proprement
dite.
Savoir prendre, mémoriser, exploiter (en particulier communiquer) des informations spatiales pour se déplacer,
pour reconnaître ou construire des objets, nécessite des apprentissages qui ne s’effectuent pas tous
spontanément. C’est le cas, par exemple, de l’utilisation des cartes et des plans, en situation réelle. Ces
compétences ne sont pas toutes formulables dans les termes usuels de la géométrie et elles relèvent aussi
d’autres disciplines comme l’EPS ou la géographie. Elles constituent les bases nécessaires à toute maîtrise fine de
certaines activités humaines qui se développent en relation avec l’espace. Ainsi, la représentation des objets en
perspective pose des problèmes importants à des élèves de 15 ans s’ils n’ont jamais eu l’occasion auparavant de
se poser la question de la différence entre ce qu’ils voient d’un objet et ce qu’ils en savent.
Le champ de la géométrie proprement dite constitue un savoir mathématique, élaboré au cours de l’histoire, dont
l’intérêt
pour
les
jeunes
de
la
scolarité
obligatoire
est
double
:
- fournir des outils et développer des connaissances nécessaires pour résoudre des problèmes de l’espace
physique,
rencontrés dans
le cadre de
pratiques professionnelles,
sociales et
culturelles
;
initier
au
raisonnement
déductif.
Le premier aspect est abordé au cycle 2, puis développé au cycle 3. Le deuxième aspect n’est vraiment travaillé
qu’au
collège.
Les élèves du cycle 2, qui ont entre 5 ans et demi et 8 ans, doivent encore consolider de nombreuses compétences
spatiales avant de pouvoir tirer profit d’un enseignement visant la connaissance explicite de concepts
géométriques. Aussi, les compétences visées en fin de cycle 2 renvoient-elles, pour une part importante, à la
structuration de l’espace et sont-elles dans la continuité de celles attendues en fin de cycle 1: maîtrise du langage
spatial dans différentes conditions, réalisation et/ou utilisation de plans ou de maquettes en rapport avec l’espace
réel, développement de nouvelles connaissances comme l’alignement ou de nouvelles compétences comme la
capacité à décrire, dans une situation spatiale, ce que voit quelqu’un placé à un autre endroit.
Documents d’accompagnement des programmes 2002 école primaire p 66 et 67
Documents d’accompagnement des programmes 2002 école primaire p 66 et 67 février 2005 (2007)
Quels sont les objectifs du jeu du portrait utilisé en géométrie ?
Le jeu du portrait, un moyen d’utiliser et de s’approprier les propriétés géométriques d’une figure
plane ou d’un solide.
Rappelons brièvement ce qu’est un jeu de portrait. Il s’agit pour les élèves de découvrir quelle figure plane ou quel
solide a été choisi par le professeur ou par un élève, en posant des questions auxquelles on ne peut répondre que
par oui ou par non et qui concernent uniquement les propriétés géométriques de ces figures ou de ces solides. Ce
jeu peut être pratiqué dès le cycle 2.
Il permet aux élèves de s’approprier un vocabulaire géométrique précis. De plus ils sont obligés d’utiliser la
déduction pour trouver la figure dont il s’agit à partir des réponses obtenues à leur propre question ou à celles
posées par les autres élèves.
8
Ils apprennent à différencier les figures planes en mettant en évidence une propriété relative à une figure donnée.
Par exemple, pour trouver qu’un carré a été choisi par l’enseignant, il ne suffit pas, en général, de savoir que la
figure cachée a 4 côtés égaux car cette information ne permet pas de distinguer un carré d’un losange, mais il faut
encore avoir des informations sur les angles et savoir qu’en plus des 4 côtés égaux, la figure a 4 angles droits. A
partir des propositions faites par les élèves, le professeur peut en profiter pour mettre en évidence les propriétés
qui permettent de décider, à coup sûr, de la nature d’une figure et pour faire comprendre aux élèves la nécessité
d’utiliser
des
termes
géométriques
précis
pour
décrire
complètement
une
figure
plane.
Si c’est un élève qui mène le jeu, il faut qu’il connaisse parfaitement les propriétés de la figure qu’il a choisie afin
de répondre convenablement aux questions de ses camarades. Pour l’aider, on peut prévoir un mémo reprenant
les principales propriétés des différentes figures.
A l’occasion de ce jeu, on utilisera des contre-exemples qui permettront de faire comprendre aux élèves que
certaines propriétés ne sont pas suffisantes pour caractériser une figure et qu’il y a donc parfois plusieurs types de
figures possédant cette propriété.
Françoise Cerquetti-Aberkane (2008)
Comment choisir un matériel pédagogique adapté pour travailler les figures planes ?
Choisir un matériel qui permet de faciliter l’accès à l’abstraction.
Pour que le matériel pédagogique soit adapté il est nécessaire qu’il puisse donner une image convenable des
figures planes et ce dès le cycle 1. Les figures planes sont des objets géométriques sans épaisseur. Il faut donc
que les figures simples matérialisées soient variées et assez minces, afin que les élèves aient une représentation
correcte de celles-ci et ne risquent pas de mélanger solides et figures planes. De plus il vaut mieux que la couleur
des figures ne vienne pas perturber l’apprentissage. Or, la plupart des matériels pédagogiques du commerce
proposent des figures planes régulières et souvent les matériaux dans lesquels elles sont découpées sont épais et
donnent donc une image assez particulière des figures planes. De plus les fabricants jouent aussi sur les couleurs
des figures afin de rendre le matériel plus attrayant.
Si l’on veut que les élèves manipulent des figures simples afin d’en avoir une bonne représentation, il est souvent
nécessaire de fabriquer soi-même le matériel. On choisira donc du bristol léger uni ou de la mousse fine d’une
même couleur dans lesquels on découpera différents triangles (triangles sans particularité avec un angle obtus, et
d’autres avec uniquement des angles aigus, triangles isocèles, équilatéraux, rectangles). Il est nécessaire de
réaliser plusieurs triangles identiques afin de permettre aux élèves de les associer et de réaliser ainsi différents
quadrilatères leur permettant aussi de paver l’espace. De la même façon, on découpera différents quadrilatères
(carré, rectangle, losange et quadrilatères sans particularité, y compris des quadrilatères avec un angle rentrant,
des trapèzes avec et sans particularité, des parallélogrammes, des cerfs volants). Là encore réaliser plusieurs
quadrilatères sans particularité, identiques afin de permettre des associations. On peut y adjoindre des disques et
des formes ovales, ainsi que quelques autres polygones. Toutes ces figures peuvent être proposées aux élèves
pour qu’ils effectuent des tris, et également pour qu’ils réalisent des assemblages afin de construire d’autres
figures complexes. Le fait qu’elles soient réalisées d’une seule couleur permet que les élèves s’attachent plus aux
particularités géométriques qu’à la couleur des figures lors de ces activités de tris. On peut également utiliser ce
matériel pour faire des jeux de portraits.
La manipulation d’un tel matériel permet aux élèves de voir des figures planes dans toutes les positions et non pas
seulement dans les positions stéréotypées où l’un des côtés est parallèles aux bords de la feuille. Ils peuvent ainsi
plus facilement reconnaître les figures simples dans une configuration complexe ensuite.
Françoise Cerquetti-Aberkane (2008)
Comment aider les élèves de cycle 2 à construire les notions spatiales et à les structurer
?
Travailler d’abord dans l’espace réel
Ce n’est vraiment qu’au cycle 2 que les élèves peuvent commencer à relier l’espace réel à des représentations de
cet espace telles que des photographies, des maquettes ou des plans. Beaucoup de manuels font l’impasse sur le
travail nécessaire à la construction de ces relations et ne proposent que des activités sur des dessins représentant
des espaces fictifs. Or, des recherches portant sur les compétences de jeunes de l’enseignement professionnel ont
montré que la maîtrise de ces relations était insuffisante pour leur permettre de mener à bien des tâches
professionnelles courantes telles que la lecture de plans ou de graphismes techniques. Dès le cycle 2, ces
compétences peuvent être travaillées à partir de situations appropriées, qui nécessitent, il est vrai, du matériel et
un temps de préparation relativement importants.
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Trois types d’activités sont proposés ci-après pour illustrer les apprentissages relatifs à cette partie. Ils concernent
respectivement le repérage, l’orientation et les points de vue.
1. Retrouver un objet caché
La situation décrite est destinée à développer l’utilisation du langage spatial dans des situations de plus en plus
complexes et à travailler les compétences ainsi décrites dans le document d’accompagnement : « De nombreuses
situations proposées dans l’espace environnant fournissent des occasions d’observer une même réalité sous
différents angles, de confronter les points de vue correspondants ou d’anticiper un point de vue en fonction d’une
position supposée d’un observateur. »
Situation de départ
Plusieurs boîtes absolument identiques sont disposées dans la classe. Un objet est caché dans l’une d’entre elles
en l’absence de deux élèves, mais devant les autres. Au retour des deux élèves, les autres doivent leur donner des
indications pour qu’ils retrouvent l’objet caché du premier coup, sans montrer du doigt son emplacement.
Deux cas sont possibles :
a) Emetteurs et récepteurs sont placés de la même manière et regardent dans la même direction (GS
ou CP)
b) Les élèves ne sont pas placés de la même manière et ne regardent pas tous dans la même direction
(fin CP ou CE1)
2. Construire et utiliser un plan ou une maquette pour communiquer des positions ou des
déplacements.
Réaliser un plan d’un espace réel consiste à représenter, en dimension réduite, cet espace qu’on ne voit pas d’un
seul tenant, en l’imaginant vu de dessus (projection horizontale). Pour utiliser ce plan, il faut être capable de
l’orienter et de s’y repérer. La complexité d’une telle tâche nécessite des étapes sur lesquelles il faut revenir
régulièrement pendant la scolarité primaire. Mais il ne faut pas pour autant renoncer à présenter des situations où
les élèves peuvent s’emparer de la fonction essentielle du plan : fournir des indications sur une position dans un
espace à quelqu’un qui ne la connaît pas. Il faut seulement renoncer à faire produire des plans « achevés », c’està-dire à l’échelle et reproduisant tous les détails de l’espace.
3. Différents points de vue sur un assemblage d’objets
L’objectif est de faire prendre conscience aux élèves que deux personnes qui ne sont pas placées au même endroit
face à un dispositif ne voient pas la même chose puis de leur faire imaginer ce que peut voir une personne qui
n’est pas située au même endroit qu’eux-mêmes.
Documents d’accompagnement des programmes Mathématiques école primaire février 2005 (2007)
Comment choisir des situations plaçant les élèves face à des problèmes nécessitant le
recours à des connaissances spatiales ou géométriques ?
Repérer
des
situations
dans
lesquelles
ces
connaissances
jouent
un
rôle
fonctionnel.
Il s’agit de repérer des situations dans lesquelles ces connaissances jouent un rôle fonctionnel. En voici trois
exemples.
Donner des indications pour retrouver un objet caché
Le langage spatial prend du sens dans des situations où il faut donner des indications à quelqu’un pour retrouver
un objet caché. Faire vivre dans la classe des jeux de ce type permet aux élèves de comprendre la nécessité de
recourir à des procédés langagiers ou graphiques précis, éventuellement introduits par l’enseignant s’ils ne sont
pas connus. Par exemple, plusieurs boîtes absolument identiques sont disposées dans la classe, un objet est caché
dans l’une d’entre elles en l’absence de deux élèves, mais devant les autres. Au retour des deux élèves absents,
les autres élèves doivent leur donner des indications pour qu’ils retrouvent l’objet caché du premier coup.
Construire un objet superposable à un objet donné
10
Ce type de problème correspond à des situations rencontrées dans la vie courante, comme avoir à découper une
étagère dans une plaque de bois qui s’adapte à un emplacement donné. Pour réussir, il faut déterminer certaines
des propriétés géométriques de la forme à découper et être capable de les utiliser dans un tracé. De même, dans
la classe, c’est en ayant à reproduire un carré, sous certaines conditions, qu’après des tentatives infructueuses, les
élèves peuvent découvrir qu’il ne suffit pas qu’un quadrilatère ait 4 côtés de même longueur pour qu’il soit un
carré, mais qu’il faut également contrôler les angles.
Utiliser un plan
Un plan est un document qui sert à communiquer des informations sur un espace. C’est ainsi qu’il est conçu dans
les activités d’orientation en EPS, comme le précise cette compétence de fin de cycle 2 : « dans un milieu connu
(parc public), par deux, retrouver cinq balises sur les indications données par le groupe qui les a placées ». Est
évoquée ici une situation de communication entre élèves mettant en jeu des « émetteurs » et des « récepteurs ».
Les émetteurs sont chargés de placer les balises dans un certain espace et de trouver le moyen de désigner leurs
positions pour que, à partir de ces indications, les récepteurs les retrouvent. Dans le contexte de l’EPS au cycle 2,
on peut penser que les élèves ont à leur disposition un plan du parc, sur lequel ils ont déjà travaillé et que
l’enseignant veut contrôler qu’ils sont capables de s’en servir pour repérer une position, en articulant deux
catégories de compétences : passer de l’espace réel à l’espace représenté et inversement. De nombreuses
connaissances sont en .oeuvre dans cette activité :
- lecture d’une représentation d’un espace à 3 dimensions par un espace à 2 dimensions ;
- codage de certains éléments trop difficiles à représenter ;
- orientation du plan.
Dans le cadre de l’enseignement de l’espace en mathématiques, les élèves peuvent être confrontés à des
situations de même type, dans des espaces moins complexes que ceux utilisés en EPS (voir partie 3).
Documents d’accompagnement des programmes Mathématiques école primaire février 2005 (2007)
Que faut-il prendre en compte lors de la validation de productions géométriques des
élèves ?
S’attacher davantage à la stratégie qu’à la production elle-même.
Comme cela a déjà été souligné, la validation doit être placée sous la responsabilité des élèves. Il est important
qu’ils puissent prendre conscience par eux-mêmes de la validité des procédures qu’ils ont mises en oeuvre. Pour
cela, l’enseignant détermine à quels moments il doit s’interdire d’intervenir pour que les élèves puissent mesurer
les effets de leurs décisions. À d’autres moments, l’enseignant doit apporter de l’information, poser des exigences
de précision pour les tracés ou pour le vocabulaire employé.
Les productions des élèves peuvent être matériellement erronées alors que la stratégie a été correcte.
En effet, le rapport au réel est source d’ambiguïtés. Même exécutée par un adulte, la reproduction d’une figure ne
se superpose pas exactement au modèle. Des erreurs interviennent, liées non à la conceptualisation mais à
l’imprécision des mesures ou des instruments (ou à un défaut dans leur maniement). Ce phénomène
d’imprécision, fondamental, est constitutif des rapports entre la géométrie et la réalité qu’elle permet de décrire. Il
est donc nécessaire que les élèves y soient confrontés assez tôt. L’enseignant doit donc accepter une marge de
tolérance, discutée avec les élèves. La discussion autour des causes possibles de cette nécessaire tolérance est
cependant difficile au cycle 2. Elle relève davantage du cycle 3 où il devient important de distinguer si un résultat
incorrect est dû :
- à une erreur de stratégie : non respect toutes les propriétés de l’objet, mauvaise organisation des étapes ;
- à l’imprécision des mesures ou à une utilisation maladroite des instruments.
Le
but
fixé
peut
être
atteint
alors
que
leur
stratégie
n’est
pas
pertinente.
Ainsi, dans une situation de communication, les élèves peuvent se comprendre et réussir en utilisant des termes
erronés ou imprécis ou non géométriques. Par exemple dans un jeu de portrait pour faire retrouver une figure
dont ils ne connaissent pas le nom (trapèze, par exemple), au lieu de la caractériser par le nombre de ses côtés,
les élèves de CE1 se font très bien comprendre de leurs camarades en la décrivant comme « un pot de fleur
retourné ». L’enseignant constate et accepte la réussite, mais précise aussi à cette occasion le mot mathématique
correct.
Documents d’accompagnement des programmes. Mathématiques école primaire février 2005 (2007)
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Comment permettre aux élèves de s’approprier les propriétés géométriques de
certaines figures planes ?
Les situations de référence doivent être complétées par des situations de réinvestissement.
Les problèmes qui ont permis aux élèves de construire des connaissances nouvelles constituent pour eux des
situations de référence qui ne suffisent pas à assurer un apprentissage efficace. Des situations de
réinvestissement sont nécessaires, dans lesquelles les connaissances dégagées vont être reconnues, formulées,
précisées et prendre peu à peu le statut de savoirs, en même temps que les élèves vont pouvoir affiner leurs
compétences. Ainsi, les élèves peuvent être invités à rechercher les carrés, dans un ensemble de figures,
comportant des carrés et des «presque-carrés», placés dans des directions différentes (en particulier avec leurs
côtés non parallèles aux bords de la feuille). Dans cette activité, les élèves de fin de cycle 2 trouvent une occasion
de dissocier la propriété « être carré » de sa reconnaissance visuelle. Dans un premier temps, ils classent les
figures en carrés et non-carrés sur la base de la seule perception. Dans un second temps, ils ont recours aux
propriétés (« les 4 côtés ne sont pas de même longueur, donc ce n’est pas un carré ») et aux instruments
(gabarits d’angle droit, règle.) pour confirmer ou infirmer leur choix initial. Ils commencent ainsi à dissocier la «
vérité géométrique » de la « vérité perçue ». Plus tard, à la fin du cycle 3 par exemple, le projet de tracer sur le
sol de la cour un grand carré de 6 mètres de côté conduit à s’interroger sur les instruments à utiliser, à repenser
leur emploi, à découvrir qu’une figure peut avoir les propriétés d’un carré sans qu’elle soit perçue comme telle,
pour des raisons d’orientation ou de perspective.
C’est ainsi que les compétences relatives au langage géométrique, à la maîtrise des instruments et des techniques
peuvent se développer peu à peu, dans des situations variées et signifiantes pour les élèves. Comme pour les
enseignements numériques, seul un nombre suffisant de séances consécutives permet de mener à bien de telles
situations. Il n’est pas donc pertinent de concevoir un enseignement de la géométrie limité à une séance par
semaine. En effet, celui-ci ne permet pas aux élèves de s’approprier, sur un thème donné, des compétences et des
connaissances organisées.
Documents d’accompagnement
2005 (2007)
des
programmes
Mathématiques
école
primaire
p
69
12
février

quelques réponses à des questions fréquentes

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