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Méthode : on part du point A (connu) et on effectue le/les trajet/s
REVISIONS - VECTEURS ET COLINEARITE ABC est un triangle. On souhaite dans chaque cas placer le point M donné par une « équation vectorielle ». 1. Placer M tel que AM = BA + CB . a. Placer N tel que NC + 2 AB = CA Méthode : on part du point A (connu) et on effectue le/les trajet/s indiqués pour trouver M. b. Placer P tel que PA + BC = 3 AC MA = a. Placer N tel que AN = BC + 2 BA 3 1 AB + BC 2 2 AM = b. Placer P tel que BP = AC – 3 AB 2 MA 3 AB BC = + 2 2 2 C coefficient de MA pour se ramener à « MA = … » B 3 1 BA + CB 2 2 2. Placer M tel que MA = BA + BC . M Méthode : on remplace chaque vecteur par son A opposé pour se ramener à « AM = … » B C AM = AB + CB M A Méthode : on utilise la relation de Chasles pour n’avoir qu’un seul « type » de vecteur contenant le point M. MA + MA + AB = 2 BC b. Placer P tel que PA = 2 BA + AC 2 MA = 2 BC + BA 3. Placer M tel que MA + BA = CB : Méthode : on isole AM comme on le ferait pour une équation classique. MA = BC + 1 BA 2 AM = CB + MA = – BA + CB 5. Placer tel que MA + MB = 2 BC : a. Placer N et P tels que NC = CA – BA b. Placer P tel que 2 PC + BC = AC C a. Placer N tel que 4 NC = BC B Méthode : on divise tous les vecteurs par le A 4. Placer M tel que 2 MA = 3 AB + BC . M 1 AB 2 MA = AB + CB AM = BA + BC A M B C A M B C a. Placer N tel que NA + NB + NC = 0 b. Placer P tel que PA – 2 PB = AB REVISIONS - VECTEURS ET COLINEARITE EXERCICE 2B.1 Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en utilisant la relation de Chasles : EXERCICE 2B.5 Soit I le milieu du segment [AB] et M un point n’appartenant pas à (AB). u = AB + BC + CA v = IJ + KI + JK x = DE + FG + EF + DG EXERCICE 2B.2 Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en transformant les soustractions en addition de l’opposé, puis en utilisant la relation de Chasles : u = AB – AC C B x = 2 MN – MP – PQ + MQ EXERCICE 2B.3 I est le milieu de [AB]. Montrer que GA + GB + GC = 0 (Rappel : le centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane en partant du sommet) w = AB + MA – MB + BA G v = RT – ST + RS EXERCICE 2B.6 ABC est un triangle, G est le centre de gravité de ce triangle. A w = AB + AC + BC Montrer que MA + MB = 2 MI EXERCICE 2B.7 ABC est un triangle, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. B I A A J I Ecrire plus simplement les vecteurs suivants : u = IA + IB C v = AB – BI + AI B w = MI + AB – AI + BI (M est un point quelconque) Montrer que BC = 2 IJ . EXERCICE 2B.4 ABCD est un parallélogramme de centre O. B EXERCICE 2B.8 ABC est un triangle. I et J sont les symétriques respectifs de B et C par rapport à A. J B A O A C D Montrer que tous ces vecteurs sont nuls. u = OA + OB + OC + OD v = AO – BO + CO – DO I C w = AB + 2 BC – AC – AD Exprimer en fonction de AB et AC les vecteurs suivants : IA ; AJ ; BC ; CB ; IJ REVISIONS - VECTEURS ET COLINEARITE EXERCICE 1 EXERCICE 4 Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en utilisant la relation de Chasles : Soit u , v et w trois vecteurs : u v u = AB + BC + CA w v = IJ + KI + JK Chacun de ces vecteurs est obtenu en multipliant u , v ou w par un réel k. Identifier chacun d’entre eux. w = AB + AC + BC x = DE + FG + EF + DG u = AB – AC a. v = RT – ST + RS w = AB + MA – MB + BA x = 2 MN – MP – PQ + MQ b. c. d. EXERCICE 5 On donne le triangle ABC suivant : e. f. g. A h. i. j. B C EXERCICE 2 A et B sont deux points distincts. a. Placer le point M tel que BM = A 1 AB 2 B a. Construire : les points M, N, P, Q et R définis par : b. Compléter les égalités suivantes : AB = …… BM AM = …… AB BA = …… BM BM = …… AM MB = …… AB AM = …… BM Le point M tel que AM = 2 BC 2 Le point N tel que BN = AC 3 Le point P tel que CP = 2 AB – EXERCICE 3 Soit un triangle ABC. Construire les points suivants : Le point Q tel que AQ = - M tel que AM = BA + BC N tel que BN = 2 AB – CB P tel que CP = -3 AB – 2 AC 4 AC 3 3 Le point R tel que AR = - BC 4 b. Montrer que PN = BA 1 AC 3 REVISIONS - VECTEURS ET COLINEARITE EXERCICE 3A.1 EXERCICE 3A.2 F B D A E M L P K R T U V b. KL et IJ ? c. EF et MN ? d. TU et CD ? e. VW et GH ? f. AB et MN ? g. IJ et TU ? h. AB et OP ? i. VW et MN ? w = -2 v . Montrer que u et w sont colinéaires. EXERCICE 3A.4 a. AB et GH ? u = 3v j. TU et KL ? -2 v = w. Montrer que u et w sont colinéaires. W Dans chaque cas, indiquer si les vecteurs sont colinéaires et, s’ils le sont, le justifier : 3u = v S u , v et w sont trois vecteurs tels que : u , v et w sont trois vecteurs tels que : O B N v = -2w. EXERCICE 3A.3 J Montrer que u et w sont colinéaires. G u = 3v C H I u , v et w sont trois vecteurs tels que : EXERCICE 3A.5 u et v sont deux vecteurs définis par : Non Oui car AB = … GH Non Oui car KL = … IJ Non Oui car EF = … MN Non Oui car TU = … CD Non Oui car VW = … GH Non Oui car AB = … MN Non Oui car IJ = … TU Non Oui car AB = … OP Non Oui car VW = … MN Non Oui car TU = … KL u = 2 AB – AC v = 6 AB – 3 AC Montrer que u et v sont colinéaires. EXERCICE 3A.6 u et v sont deux vecteurs définis par : 1 3 u = AB + 3 AC v = AB + AC 2 2 Montrer que u et v sont colinéaires. EXERCICE 3A.7 u et v sont deux vecteurs définis par : 3 u = BA – AC v = 4 AB + 3 AC 4 Montrer que u et v sont colinéaires. EXERCICE 3A.8 ABC est un triangle. Soit M et N deux points définis par : AM = 3 AB + BC CN = 2 AC a. Montrer que MN et BC sont colinéaires Indication : on pourra utiliser la relation de Chasles pour écrire que MN = MA + AC + CN b. Soit P défini par : BP = 3 BC . Montrer que NP et AB sont colinéaires. REVISIONS - VECTEURS ET COLINEARITE EXERCICE 3C.1 DEF est un triangle. EXERCICE 3C.7 ABC est un triangle. Soit P tel que DP = -3 EF 2 Soit Q tel que DQ = EF 3 Montrer que les points D, P et Q sont alignés. Soit F tel que CF = 2 BC Montrer que (AB) et (EF) sont parallèles. 3 DE – DF 4 3 Soit N tel que DN = - DE + 2 DF . 2 Montrer que D, M et N sont alignés. Soit M tel que DM = EXERCICE 3C.5 IJKL est un parallélogramme 1. a. Montrer que KM = 3 IJ – JK b. Montrer que KN = -6 IJ + 2 JK 2. Montrer que K, M et N sont alignés EXERCICE 3C.6 ABC est un triangle. Soit M tel que AM = 3 AC – AB Soit S tel que IS = 2 IK – 3 IJ Montrer que (IJ) et (RS) sont parallèles. (On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer : RS = RJ + JI + IS ) EXERCICE 3C.10 ABC est un triangle. Soit N tel que BN = 2 AB – BC Montrer que (MN) et (AC) sont parallèle. Soit R tel que JR = 2 JK + IJ EXERCICE 3C.9 IJK est un triangle. Soit N tel que LN = 2 JK – 4 IJ Soit M tel que AM = AB – 3 BC Soit M tel que IM = 4 IJ décomposer : EF = EA + AC + CF ) EXERCICE 3C.4 DEF est un triangle. (On pourra utiliser la relation de Chasles pour Soit M tel que AM = 2 AB – AC 1 Soit N tel que AN = - AB + AC . 2 Montrer que A, M et N sont alignés. Soit E tel que AE = 3 BC – 2 AB EXERCICE 3C.3 ABC est un triangle. EXERCICE 3C.8 ABC est un triangle. b. Montrer que CJ = -2 BD 2. En déduire que C, I et J sont alignés. Soit N tel que AN = 2 AB + 3 BC Montrer que (MN) et (AC) sont parallèle. 1. a. Montrer que CI = BD 1 AC 2 décomposer : MN = MA + AN ) Soit J tel que BJ = 2 AB – AD (On pourra utiliser la relation de Chasles pour EXERCICE 3C.2 ABCD est un parallélogramme. Soit I tel que AI = 2 AD Soit M tel que AM = BC + Soit N tel que AN = BC – AC Montrer que (MN) et (AC) sont parallèles. (On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer : MN = MA + AB + BN ) EXERCICE 3C.11 RSTU est un parallélogramme. 1 Soit M tel que SM = RS – RU 2 1 Soit N tel que RN = 3 RU – RS 2 Montrer que M, S et N sont alignés (On pourra utiliser la relation de Chasles pour (On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer : MN = MA + AN ) décomposer : MN = MS + SR + RN )
