Des inégalités impossibles Logo Question Réponse
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Question du jeudi #23 Culture Math Des inégalités impossibles Logo 1 a(1 − b) > , 4 1 b(1 − c) > , 4 c(1 − a) > 1 . 4 Question Soit a, b et c des nombres positifs. Montrer que l’on ne peut pas avoir simultanément les trois inégalités suivantes. 1 a(1 − b) > , 4 1 b(1 − c) > , 4 1 c(1 − a) > . 4 Réponse Si a > 0 et a(1 − b) > 1 > 0, le nombre 1 − b est lui aussi positif, donc b 6 1. Ainsi, on 4 a a, b, c ∈ [0, 1]. Une manière de répondre à la question est alors d’utiliser le résultat suivant : 1 Proposition. Soit x ∈ [0, 1]. Alors x(1 − x) 6 . 4 La preuve de cette proposition est aisée : x(1 − x) = x − x2 est un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif. Son maximum est donc atteint au milieu de ses racines, 1 c’est-à-dire en . 2 Ainsi, en multiplicant trois copies de cette inégalité (une pour chacune des variables), on obtient 3 1 1 = . a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c) 6 4 64 Or, si les trois inégalités de la question étaient vraies, on obtiendrait en les multipliant a(1 − b)b(1 − c)c(1 − a) = a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c) > ce qui est impossible. 1 1 , 64