composition 1 - Thalesm mathématiques

Classes de 3ème
composition de mathématiques n°1
NOM :
Maitrise de la langue :
Prénom :
30 novembre 2015
Classe :
/4
Note :
/40
Observations :
Compétences testées lors de ce devoir
Rechercher, extraire et organiser l’information utile.
Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique,
démontrer.
Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage
adapté.
Nombres et calculs: connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires.
Utiliser des tableaux, des graphiques.
Durée 2 heures
Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie.
La calculatrice est autorisée.
1
Classes de 3ème
composition de mathématiques n°1
Exercice 1 :
30 novembre 2015
/7
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées
aux amandes.
1) Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque
corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées ?
/2
2) Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins dont la
composition est identique. Ils souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
a) Emma propose d’en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier.
/2
b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et
quelle sera leur composition ?
/3
2
Classes de 3ème
composition de mathématiques n°1
Exercice 2 : Tableau de valeurs et fonctions
30 novembre 2015
/5
On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par
une fonction affine f et par une autre fonction g. Une copie de l’écran obtenu
est donnée ci-dessous.
La formule dans la cellule C2 est : =-5*C1 + 7.
1) Quel est l’image de -3 par f ?
/1
2)
/1,5
3)
Calculer f(7)
Donner l’expression de f(x).
/1,5
4)
On sait que g(x) = x² + 4. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite
vers la droite pour compléter la plage de cellules C3 :H3.
Quelle est cette formule ?
/1
3
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composition de mathématiques n°1
Exercice 3 :
30 novembre 2015
/6
Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l’arc.
Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-après.
La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres
(m) parcourue par la flèche.
1)
Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune
justification n’est attendue.
a) De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?
/1
b) A quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol
/1
c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
/1
4
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30 novembre 2015
2) Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs.
La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par :
f(x) = -0,1x² + 0,9x + 1
a) Calculer f(5).
/1,5
b) La flèche s’élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?
/1,5
Exercice 4 :
/5
Les longueurs sont données en centimètres.
On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1.
On ne demande pas de faire de figure en vraie grandeur.
5
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30 novembre 2015
1) Calculer OE puis BD.
/3
2) On donne OG = 2,4 et OF = 2.
/2
Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.
6
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/4
Exercice 5
Vénus
4,9  1024 kg
30 novembre 2015
Jupiter
1,9  1027 kg
Mercure
Terre
330,2  1021 kg
59,7  1023 kg
Mars
Neptune
642  1021 kg
10,3  1025 kg
Saturne
Uranus
56,8  1025 kg
86,8  1024 kg
a) Ranger ces planètes de la plus lourde à la plus légère.
/2
b) Maxime affirme : « Jupiter est plus lourde que toutes les autres planètes réunies.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
/2
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30 novembre 2015
/9
Exercice 6
Une famille de quatre personnes hésite entre deux modèles de piscine.
Elle regroupe des informations afin de prendre sa décision.
Information 1 : les deux modèles de piscine
La piscine « ronde »
La piscine « octogonale »
Hauteur intérieure : 1,20 m
Hauteur intérieure : 1,20 m
Vue de dessus : un cercle de rayon 1,70 m
Vue de dessus : un octogone régulier
de diamètre extérieur 4,40 m.
1,70 m
4,40 m
Information 2 :
La construction d’une piscine de surface au sol de moins de 10 m² ne nécessite aucune
démarche administrative.
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Information 3 :
Surface minimale conseillée par baigneur : 3,40 m².
Information 4 :
Aire d’un octogone régulier : Aoctogone = 2 2R²
où R est le rayon extérieur à l’octogone.
Volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h : Vcylindre = R²h
Volume d’un prisme droit hauteur h : Vprisme = Airebase  h
Information 5 :
Débit du robinet de remplissage : 12 litres d’eau par minute.
1) Chacun des modèles proposés impose-t-il des démarches administratives ?
/3
2) Les quatre membres de la famille veulent se baigner en même temps.
Expliquer pourquoi la famille doit dans ce cas choisir la piscine octogonale.
/2
9
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30 novembre 2015
3) On commence le remplissage de cette piscine octogonale le vendredi à 14 h 00 et on
laisse couler l’eau pendant la nuit, jusqu’au samedi matin à 10 h 00.
La piscine va-t-elle déborder ?
/4
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CORRECTION
30 novembre 2015
Exercice 1 :
/7
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées
aux amandes.
1) Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque
corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées ?
/2
3003 = 20×150 + 3 et 3 731 = 20×186 + 11
Il lui reste 3 + 11 = 14 dragées non utilisées.
2) Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins dont la
composition est identique. Ils souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
a) Emma propose d’en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier.
/2
3003 = 90×33 + 33.
On ne peut pas faire 90 ballotins car 90 n’est pas un diviseur de 3003.
b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et
quelle sera leur composition ?
/3
Pour faire un maximum de ballotins de composition identique, il faut choisir le PGCD de
3003 et de 3731.
Utilisons pour calculer PGCD(3731 ;3003) l’algorithme d’Euclide.
Dividende
Diviseur
Reste
3731
3003
728
3003
728
91
728
91
0
Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 91.
Donc d’après l’algorithme d’Euclide PGCD(3731 ;728) = 91.
Emma et Arthur feront donc 91 ballottins.
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CORRECTION
30 novembre 2015
Chaque ballottin sera composé de : 3731/91 = 41 dragées aux amendes et de : 3003/91 =
33 dragées au chocolat.
Exercice 2 : Tableau de valeurs et fonctions
/5
On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par
une fonction affine f et par une autre fonction g. Une copie de l’écran obtenu
est donnée ci-dessous.
La formule dans la cellule C2 est : =-5*C1 + 7.
1) Quel est l’image de -3 par f ?
/1
L’image de -3 par la fonction f est 22.
2)
Calculer f(7)
/1,5
f(7) = -5×7 + 7 = -35 + 7 = -28
3)
Donner l’expression de f(x).
/1,5
f(x) = -5x + 7
4)
On sait que g(x) = x² + 4. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite
vers la droite pour compléter la plage de cellules C3 :H3.
Quelle est cette formule ?
Formule en B3 : =B1*B1 + 4
/1
ou =B1^2 + 4
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CORRECTION
Exercice 3 :
30 novembre 2015
/6
Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l’arc.
Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-après.
La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres
(m) parcourue par la flèche.
1) Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques.
Aucune justification n’est attendue.
a) De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?
/1
La flèche est tirée d’une hauteur de 1 mètre.
(Il s’agit de l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0).
b) A quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol
/1
La flèche retombe au sol à une distance de 10 mètres de Julien.
(Il s’agit de l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 0.)
c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
/1
La hauteur maximale atteinte par la flèche est 3 mètres.
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CORRECTION
30 novembre 2015
(Il s’agit de l’ordonnée du point le plus haut de la courbe.)
2) Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs.
La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par :
f(x) = -0,1x² + 0,9x + 1
a) Calculer f(5).
/1,5
f(5) = -0,1×5² + 0,9×5 + 1 = -0,1×25 + 4,5 + 1 = -2,5 + 5,5 = 3
b) La flèche s’élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?
/1,5
f(4,5) = -0,14,5² + 0,94,5 + 1 = - 2,025 + 4,05 + 1 = 3,025 > 3
Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (4,5 ;3,025).
Donc la flèche s’élève à plus de 3 mètres de hauteur.
Exercice 4 :
/5
Les longueurs sont données en centimètres.
On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1.
On ne demande pas de faire de figure en vraie grandeur.
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Classes de 3ème
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CORRECTION
1) Calculer OE puis BD.
30 novembre 2015
/3
Les droites (BD) et (CE) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans
les triangles OCE et OBD :
OD OB BD
=
=
.
OE OC CE
Soit :
6
7,2 BD
=
=
OE 10,8 5,1
D’où : OE =
6×10,8
7,2×5,1
= 9 cm et BD =
= 3,4 cm
7,2
10,8
2) On donne OG = 2,4 et OF = 2.
/2
Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.
OG 2,4 24 1
OF 2 1
=
=
= et
= =
OB 7,2 72 3
OD 6 3
Les points F, O, D d’une part et les points G, O et D d’autre part sont alignés dans le
même ordre et
OG OE
=
, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites
OB OF
(GF) et (BD) sont parallèles.
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CORRECTION
30 novembre 2015
/4
Exercice 4
Vénus
4,9  1024 kg
Jupiter
1,9  1027 kg
Mercure
Terre
330,2  1021 kg
59,7  1023 kg
Mars
Neptune
642  1021 kg
10,3  1025 kg
Saturne
Uranus
56,8  1025 kg
86,8  1024 kg
a) Ranger ces planètes de la plus lourde à la plus légère en utilisant l’écriture scientifique.
/2
a) Vénus : 4,9  1024 kg
Jupiter : 1,9  1027 kg
Mars : 6,42  10²  1021 = 6,42  102+21 = 6,42  1023 kg
Neptune : 1,03  101  1025 = 1,03  101+25 = 1,03  1026 kg
Mercure : 3,302  10²  1021 = 3,302  102+21 = 3,302  1023 kg
Terre : 5,97  101  1023 = 5,97  101+23 = 5,97  1024 kg
Saturne : 5,68  101  1025 = 5,68  101+25 = 5,68  1026 kg
Uranus : 8,68  101  1024 = 8,68  101+24 = 8,68  1025 kg
Donc MJupiter > MSaturne > MNeptune > MUranus > MTerre > MVénus > MMars > MMercure
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CORRECTION
30 novembre 2015
b) Maxime affirme : « Jupiter est plus lourde que toutes les autres planètes réunies.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
/2
Masse des 8 planètes autres que Jupiter :
4,9  1024 + 6,42  1023 + 1,03 1026 + 3,302  1023 + 5,97  1024 + 5,68  1026 + 8,68  1025
= (49 + 6,42 + 1030 + 3,302 + 59,7 + 5 680 + 868)  1023
= 7696,42  1023 = 7,69642  103  1023 = 7,69642  103+23 = 7,69642  1026
Or 7,69642  1026 < 1,9  1027 = MJupiter
Donc Maxime a bien raison.
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CORRECTION
30 novembre 2015
/9
Exercice 6
Une famille de quatre personnes hésite entre deux modèles de piscine.
Elle regroupe des informations afin de prendre sa décision.
Information 1 : les deux modèles de piscine
La piscine « ronde »
La piscine « octogonale »
Hauteur intérieure : 1,20 m
Hauteur intérieure : 1,20 m
Vue de dessus : un cercle de rayon 1,70 m
Vue de dessus : un octogone régulier
de diamètre extérieur 4,40 m.
1,70 m
4,40 m
Information 2 :
La construction d’une piscine de surface au sol de moins de 10 m² ne nécessite aucune
démarche administrative.
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Classes de 3ème
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CORRECTION
30 novembre 2015
Information 3 :
Surface minimale conseillée par baigneur : 3,40 m².
Information 4 :
Aire d’un octogone régulier : Aoctogone = 2 2R²
où R est le rayon extérieur à l’octogone.
Volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h : Vcylindre = R²h
Volume d’un prisme droit hauteur h : Vprisme = Airebase  h
Information 5 :
Débit du robinet de remplissage : 12 litres d’eau par minute.
1) Chacun des modèles proposés impose-t-il des démarches administratives ?
/3
Calculons l’aire des deux piscines :
Piscine ronde : Apiscine_ronde = R² = 1,70² = 2,89  9,08 m² < 10 m².
La piscine ronde ne nécessite donc pas de démarches administratives.
Piscine octogonale : Apiscine_octogonale = 2 22,2² = 9,68 2  13,7 > 10 m².
La piscine octogonale nécessite donc des démarches administratives.
2) Les quatre membres de la famille veulent se baigner en même temps.
Expliquer pourquoi la famille doit dans ce cas choisir la piscine octogonale.
Pour la piscine ronde :
/2
2,89
9,68 2
 2,27 < 3,4 et pour la piscine octogonale :
 3,42 >
4
4
3,4 ; donc pour que les quatre membres de la famille se baignent en même temps il faut
choisir la piscine octogonale.
3) On commence le remplissage de cette piscine octogonale le vendredi à 14 h 00 et on
laisse couler l’eau pendant la nuit, jusqu’au samedi matin à 10 h 00.
La piscine va-t-elle déborder ?
/4
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Classes de 3ème
composition de mathématiques n°1
CORRECTION
30 novembre 2015
Le volume de la piscine octogonale est : Vpiscine_octogonale = 9 ,68 21,2 = 11,616 2  16,428
m 3.
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 litres.
Donc 11,616
2 m3 = 11 616 2 litres.
Si le débit est de 12 litres par minute, il faudra
11 616 2
minutes pour remplir la piscine ;
12
soit environ 1 369 minutes ; soit environ 22 heures et 49 minutes.
Entre samedi 10 h 00 et vendredi 14 h 00, il y a : 10 + 10 = 20 heures < 22 heures
Donc la piscine ne déborde pas.
20