P - UQAM

Transcription

P - UQAM

Météorologie Dynamique
Chapitre 17 :
Applications des équations de base
Table de matières
06/04/2010

Écoulement horizontal en coordonnées naturelles

Écoulements balancés
z Écoulement géostrophique
z Écoulement cyclostrophique
z Écoulement inertiel
z Écoulement gradient
z Vent gradient versus vent géostrophique
SCA4622 : E. Monteiro
Ch17aCh17a-2
Mouvement horizontal
dV
1
+ fk × V = − ∇ Z p
dt
ρ
Coordonnées x, y, Z, t
Coordonnées x, y, p, t
En général
06/04/2010
dV
+ fk × V = − g 0 ∇ p Z = −∇ p Φ
dt
I − Co =
Inertie
Coriolis
P
Pression
Ch17aCh17a-3
Coordonnées naturelles
(
) (
i , j , k ⇒ lˆ ≡ τ , nˆ ≡ η , kˆ ≡ k
)
τ ×η = k
06/04/2010
Ch17aCh17a-4
δτ
δτ
1
δs
= δτ =
⇒
=
δψ =
R
τ
δs R
δτ
dτ η
lim
=
=
δ s→0 δ s
ds R
Adapté de Holton
dV
dV
dτ
V = Vτ ⇒ I =
=τ
+V
dt
dt
dt
dV
dV
V2
⎛ dτ ds ⎞
I =τ
+V ⎜
+η
⎟ =τ
dt
dt
R
⎝ ds dt ⎠
06/04/2010
Ch17aCh17a-5
dV
dV
V2
I =
=τ
+η
dt
dt
R
P = Pττ + Pηη
Co = − fVη
06/04/2010
Ch17aCh17a-6
Équation du mouvement horizontale
dV
V2
τ + η + fVη = Pττ + Pηη
dt
R
06/04/2010
Composante tangentielle
DV
= Pτ
Dt
Composante normale
V2
= − fV + Pη
R
Ch17aCh17a-7
dV
=0
dt
Mouvement balancé
Un mouvement est balancé quand il ne dépend pas du temps : toutes
les dérivées temporelles sont nulles.
Composante tangentielle
DV
1 ∂p
= 0 = Pτ = −
ρ ∂s
Dt
Composante normale
V2
= − fV + Pη
R
La condition de mouvement balancé implique nécessairement qui le vent soit
parallèle aux isobares puisque ∂p/∂s = 0, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de
changement de pression le long du parcours de l’air (se déplace le long d’une
isobare).
06/04/2010
Ch17aCh17a-8
Écoulement géostrophique
I
U
R0 =
=
<< 1
fL
Co
Pη
1 ∂p
dV
I =
= 0 ⇒ R → ∞ ⇒ Vg =
=−
dt
f
ρ f ∂n
06/04/2010
Ch17aCh17a-9
Co = 0
Écoulement cyclostrophique
Écoulement dont l’échelle horizontale est
assez petite pour qu’on puisse négliger la
force de Coriolis : Ro >> 1.
Circulation cyclonique
V2
= Pn ⇒ V =
R
( RPn )
Circulation anticyclonique
V
Pn
L
L
Pn
R < 0, Pn < 0
R > 0, Pn > 0
06/04/2010
V
Ch17aCh17a-10
Co = 0
Un écoulement cyclostrophique est typique des phénomènes de vents forts, en
rotation, de dimensions faibles (Ro = U/fL>>1).
Tourbillon de poussière
06/04/2010
Ch17aCh17a-11
Co = 0
Un écoulement cyclostrophique est typique des phénomènes de vents forts, en
rotation, de dimensions faibles (Ro = U/fL>>1) : tornade
Tornade
06/04/2010
Ch17aCh17a-12
Co = 0
⎛ 1 ∂p ⎞
V = ⎜−
R⎟
⎝ ρ ∂n ⎠
1
2
Cette équation représente l’équilibre entre la force centrifuge et la force de
gradient de pression. Théoriquement il n’y a pas de limite pour la force d’un
système gouverné par cette équation balancée, puisque quel que soit le
gradient de pression, la vitesse du vent peut augmenter (ou diminuer) pour
maintenir l’équilibre. Dans la réalité, la force de frottement tend à limiter
l’intensité des vents.
R > 0 : circulation cyclonique au tour d’un centre de basse pression (∂p/∂n < 0)
R < 0 : circulation anticyclonique au tour d’un centre de basse pression (∂p/∂n > 0)
06/04/2010
Ch17aCh17a-13
Écoulement cyclostrophique : Tri-State Tornado
Co = 0
Exemple : La tornade la plus destructrice enregistrée aux États-Unis a eu lieu le
18 mars 1925 : «Tri-State Tornado». Elle a passé du Missouri au Illinois et
ensuite à Indiana. Elle a provoquée 695 morts en 4 heures.

06/04/2010
Sa dimension a été évaluée à 1200
mètres de diamètre.
La vitesse de déplacement estimé a été
de 32,6 m/s (un record)
Une tornade de classe F5 de l’échelle
Fujita – Pearson
(vitesses entre 117-142 m/s)
Ch17aCh17a-14
06/04/2010
Ch17aCh17a-15
R ∼ 600 m;V ∼ 30 m / s; f ∼ 10−4 s −1 ⇒ R0 ∼ 5 × 102
∂p
V2
∼ −ρ
∼ −28 Pa / m
∂n
R
06/04/2010
Ch17aCh17a-16
06/04/2010
Ch17aCh17a-17
06/04/2010
Ch17aCh17a-18
P∼0
Écoulement inertiel
Considérons un écoulement où la force de gradient est faible ou équilibré par
les forces de frottement. Tout se passe comme si aucune force réelle agissait
sur l’air. Les parcelles d’air sont tout simplement sous l’influence de la rotation
de la Terre. Dans un référentiel inertiel le mouvement sera rectiligne et
uniforme.
On observe ce type de mouvement au dessus de surfaces ou la force de
frottement est importante. Ces types d’écoulements sont nommés
oscillations inertielles. Ils sont aussi communs dans les océans.
V2
I − Co = 0 ⇒
+ fV = 0 ⇒ V = − fR
R
2π R 2π
2π
1 jour
=
=
=
T=
V
f
2Ω sin ϕ 2sin ϕ
06/04/2010
La période d’oscillation
Ch17aCh17a-19
P∼0
2π R 2π
2π
1 jour
=
=
=
T=
2Ω sin ϕ 2sin ϕ
V
f
T ≅ 19,5h
Blumen and Lundquist, 2001
Dans un monde parfait, l’hodographe d’une
oscillation inertielle pure serait un cercle
parfait.
White-water, Kansas
Amplitude : 4,19 m/s
Latitude ϕ = 38°N
06/04/2010
Ch17aCh17a-20
P∼0
Une bouée, dans la mer Baltique, à la dérive poussée par de forts vents en juillet
1969.
Quand le vent
s’est affaiblit les
courants
océaniques
suivent des
trajectoires
circulaires
inertielles sous
l’action de la
force de Coriolis.
06/04/2010
Ch17aCh17a-21
P ∼ I ∼ Co
Écoulement gradient
Dans des écoulements où le nombre de Rossby est proche de 1, nous
devons considérer les trois termes de l’équation : la force centrifuge, la
force de gradient de pression et la force de Coriolis.
Le vent qui correspond à l’équilibre entre ces trois termes est appelé le
vent gradient.
Composante tangentielle de l’équation du mouvement :
Composante normale de l’équation du mouvement :
06/04/2010
DV
=0
Dt
V2
= − fV + Pη
R
Ch17aCh17a-22
P ∼ I ∼ Co
fR
±
V =−
2
( fR )
4
2
R ∂pn
−
ρ ∂n
Racine négative
Racine positive
∂pn/∂n > 0
R>0
06/04/2010
R<0
∂pn/∂n < 0
R>0
R<0
∂pn/∂n > 0
R>0
R<0
∂pn/∂n < 0
R>0
R<0
Ch17aCh17a-23
P ∼ I ∼ Co
fR )
(
fR
V =−
±
+ RPn
2
4
2
V2
= − fV + Pη
R
fR ) R ∂pn
(
fR
±
−
V =−
2
4
ρ ∂n
2
fR
V =−
±
2
06/04/2010
( fR )
4
2
+ fRVg
Ch17aCh17a-24
fR
V =−
±
2
( fR )
4
P ∼ I ∼ Co
fR ) R ∂pn
(
fR
V =−
±
−
2
4
ρ ∂n
2
2
+ RPn
Cette équation a plusieurs solutions dépendant du signe de R et de Pn, ainsi que
le signe de la racine carré. Les solutions sont, cependant, sujettes à deux
contraintes :
( fR ) + RP > 0
n
4
2
Contraintes physiques :
06/04/2010
fR )
(
fR
−
±
+ RPn > 0
2
4
2
Ch17aCh17a-25
Écoulement gradient : Hémisphère nord
fR
V =−
±
2
Cyclonique
autour d’un L
( fR )
4
P ∼ I ∼ Co
2
+ RPn
Anticyclonique
autour d’un H
Anticyclonique
autour d’un L
Cyclonique
autour d’un H
f
+
+
+
+
R
+
-
-
+
Pn
+
+
-
-
⎛ ( fR )2
⎞
+ RPn ⎟
⎜
⎜ 4
⎟
⎝
⎠
-fR/2
V>0
06/04/2010
1
2
Toujours > fR/2
racine +
< fR/2 ou
(fR)2/4>RPn
+
2 racines
Toujours > fR/2
+
racine +
<fR/2 ou
(fR)2/4>RPn
jamais +
Ch17aCh17a-26