Le déterminant
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Le déterminant
Le déterminant 1 1.1 Définition, vocabulaire Soient n vecteurs de Rn : pour savoir si ils forment une famille libre, et donc une base de Rn , il existe un outil appellé déterminant, qui renvoie 0 si la famille est liée, et un nombre non nul sinon. Le déterminant de e1 , . . . , en se note de la façon suivante : on écrit les coordonées des vecteurs dans une matrice, et on referme le tableau ainsi obtenu non pas dans des parenthèses, mais entre des barres verticales. Exemple: 2 15 2 15 e1 = ,e2 = . On écrit alors det(e1 , e2 ) = −1 −2 −1 −2 1.2 On peut aussi parler du déterminant d’une matrice : le déterminant de la matrice A s’écrit comme A, mais avec des barres à la place des parenthèses. 1.3 Si A est une matrice, det(A) = 0 ⇔ A pas inversible. 2 2.1 2.2 Calcul du déterminant a b = ad − bc Pour un déterminant 2 × 2, on apprend par coeur : c d Pour un déterminant 3 × 3, on apprend par coeur la règle de Sarrus : a b c d e f = aei + dhc + gbf − (gec + hf a + idb) g h i Exemple: 1 −1 3 0 2 −2 = 1 0 1 2.3 Le déterminant de matrices plus grandes s’effectue avec la technique du développement par rapport à une ligne ou une ⎞ ⎛ colonne: a11 . . . a1n ⎜ .. ⎟ une matrice dont on veut calculer le determinant. Soit A = ⎝ ... . ⎠ an1 . . . ann On note alors Aij = matrice obtenue à partir de A en enlevant la ligne i et la colonne j. On peut montrer le résultat suivant : Proposition 1 Quelque soit la ligne i choisie, a11 . . . a1n .. .. . . det(A) = ai1 . . . ain = ai1 (−1)i+1 det(Ai1 ) + . . . + (−1)i+n ain det(Ain ) .. .. . . an1 ann De plus, on a le résultat identique en travaillant avec une colonne. Exemple: 1 2 4 1 1 1 −1 2 −2 2 5 −1 = 0 1 3 −1 2.4 Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses termes diagonaux. 2.5 On peut simplifier le déterminant en faisant des opérations élémentaires, c’est à dire remplacer la ligne Li par Li + αLj ( ou la colonne Ci par Ci + αCj Ces opérations nous permettent de faire apparaitre des 0 où on le souhaite dans le déterminant que l’on cherche à calculer. Exemple: 2 −1 3 1 1 −1 = 0 0 2 2.6 Si on transpose une ligne avec une autre, (ou une colonne avec une autre) le déterminant est multiplié par −1 2.7 Si toute une ligne (ou toute une colonne) est facteur d’un même terme, on peut factoriser ce terme dans le calcul du déterminant Exemple: a a2 a3 1 −1 0 = 0 0 6 3 3.1 Applications du déterminant Pour calculer les valeurs propres d’une matrice A, on calcule χA , le polynôme caractéristique de A avec la formule χA = det(XIn − A) Exemple: 3.2 Le déterminant sert à calculer l’inverse d’une matrice avec la formule A.t com(A) = det(A).In . Rappel: on appelle comatrice de A la matrice bij dont les coefficients sont (−1)i+j det(Aij ). On la note com(A). Exemple: ⎛ ⎞ 2 −1 3 Calculer l’inverse de A = ⎝1 1 −1⎠ 0 0 2 3.3 Le déterminant sert aussi à calculer le rang. 2 Proposition 2 Le déterminant d’une matrice est la taille du plus grand déterminant non nul extrait de la matrice. Rappel : On appelle déterminant extrait de A un determinant obtenu à partir de det(A) en enlevant k lignes et k colonnes. Exemple: 1 −2 0 −1 −1 est un déterminant extrait de A. Si det(A) = −1 1 −1, 2 4 2 0 4 Ainsi, pour calculer le rang d’une matrice A ∈ Mn (R), on procèdera de la façon suivante : (a) On calcule le determinant de la matrice. S’il est non nul, rg(A) = n (b) Sinon, on cherche un déterminant de taille n − 1 non nul. s’il y en a un, la matrice est de rang n − 1. Sinon, on continue en cherchant un déterminant de taille n − 2, et ainsi de suite... Exemple: ⎛ ⎞ 1 −2 0 Calculer le rang de ⎝−1 1 −1⎠ 2 0 4 3