Demo #3 - igt.net

Demo #3
21 septembre 2005
1
Hillier et Lieberman, Exercice 6.1-6
•
Soit le programme linéaire suivant:
maximiser x1 – 3 x2 + 2 x3
sous les contraintes:
2 x1 + 2 x2 – 2 x3 ≤ 6 (ressource 1)
- x2 + 2 x3 ≤ 4 (ressource 2)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
•
Questions
a) Construire le problème dual du problème primal ci-dessus.
b) Résoudre le dual graphiquement. Utiliser cette solution pour
identifier les coûts marginaux des ressources du problème
primal.
c) Confirmer les résultats obtenus dans la question précédente en
résolvant le problème primal à l’aide de l’algorithme du simplex.
2
Hillier et Lieberman, Exercice 6.3-5
•
Soit le programme linéaire suivant:
maximiser Z = 2 x1 – 4 x2
sous les contraintes:
x1 - x2 ≤ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
•
Questions
a) Construire le problème dual du problème primal ci-dessus.
Trouver sa solution optimale par un raisonnement direct.
b) Utiliser les propriétés des écarts complémentaires et la solution
optimale du problème dual pour trouver une solution optimale du
problème primal.
c) Supposons que c1, le coefficient de x1 dans la fonction objectif du
problème primal puisse prendre n’importe quelle valeur. Pour
quelle valeur de c1 est-ce que le problème dual n’a pas de
solution réalisable ? Pour ces valeurs, qu’est-ce que la théorie de
la dualité implique pour le problème primal ?
3
Hillier et Lieberman, Exercice 6.6-2
•
Soit le programme linéaire suivant:
maximiser Z = 3 x1 + x2 + 4 x3
sous les contraintes:
6 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 25
3 x1 + 4 x2 + 5 x3 ≤ 20
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
dont le tableau optimal est le suivant:
Z
x1
+2 x2
+ (1/5) x4
+ (3/5) x5
=
17
- (1/3) x2
+ (1/3) x4
- (1/3) x5
=
5/3
- (1/5) x4
+ (2/5) x5
=
3
x2
+ x3
4
Hillier et Lieberman, Exercice 6.6-2, suite 1
•
Analyse de sensibilité. Nous vous proposons de réaliser une
analyse de sensiblité en examinant de façon indépendante les 4
changements suivants dans le programme linéaire que nous
venons de définir. Pour chaque changement, effectuer une analyse
de sensibilité de façon à réviser l’ensemble final des équations
(variables en base / variables hors-base). Tester la réalisabilité et
l’optimalité des solutions obtenues (ne pas réoptimiser).
•
Questions
a)
b)
c)
d)
Changer le membre de droite de la contrainte 1 à b1 = 15.
Changer le membre de droite de la contrainte 2 à b2 = 5.
Changer le coefficient de la variable x2 dans la fonction objectif à
c2 = 4.
Changer le coefficient de la variable x3 dans la fonction objectif à
c3 = 4.
5