Exercices de révision - Feuille n°1 1 Statistiques

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31 janvier 2010
[ Exercices de révision - Feuille n°1 \
1 Statistiques
Exercice 1.1 2005
En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d’un trimestre de cotisation
des années antérieures selon le tableau suivant :
Âge de l’adhérent en années
Rang x i
Montant y i du rachat d’un
trimestre de cotisation en
euros
54
0
2 229
55
1
2 285
56
2
2 340
57
3
2 394
58
4
2 449
(Source : CARMF mai 2004)
1. Calculer l’augmentation en pourcentage du montant du rachat d’un trimestre entre un salarié de
54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l’unité.
¡
¢
2. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique x i ; y i dans un repère
orthogonal :
• sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
• sur l’axe des ordonnées, on placera 2200 à l’origine et on choisira 1 cm pour 20 euros.
3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Le nuage de points permet de penser qu’un ajustement affine est justifié.
Donner une équation de la droite de régression (D) de y en x, obtenue par la méthode des moindres
carrés.
Représenter la droite (D) dans le repère précédent.
4. Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60
ans ?
5. En fait le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de 2 555 euros et le
montant du rachat d’un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le
montant du rachat baisse de 3 % par an.
Calculer le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.
Exercice 1.2 Amérique du Sud - Novembre 2004
Le tableau suivant donne les indices des prix à la consommation pour les années 1990 à 1997.
Année
Rang de l’année x i
Indice y i
1990
0
100
1991
1
103,2
1992
2
105,7
1993
3
107,9
1994
4
109,7
1995
5
111,6
1996
6
113,8
1997
7
115,2
Source Insee
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x i ; y i ) dans un repère orthogonal (2 cm
représente une année en abscisse et 1 cm représente un point d’indice en ordonnée ; faire débuter la
graduation à 100 sur l’axe des ordonnées).
Calculer les coordonnées du point moyen et placer ce point.
2. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine D par la méthode de
moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10−1 près). Représenter la droite D dans le repère
précédent.
3. On envisage l’ajustement du nuage par une branche de parabole d’équation y = ax 2 + bx + c, et l ’on
p
cherche les trois nombres a, b et c. Pour cela on pose z i = 1198 − 10y i .
Une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés est alors :
z = −x + 14.
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a. Vérifier que y = −0, 1x 2 + 2, 8x + 100, 2.
b. Dans le repère précédent, et sans étudier la fonction correspondante, tracer la branche de parabole d’équation y = −0, 1x 2 + 2, 8x + 100, 2 pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 7].
c. En choisissant ce dernier ajustement, quelle prévision de l’indice des prix à la consommation
pouvait-on faire fin 1997 pour 1998 ?
d. On sait aujourd’hui que l’indice des prix à la consommation en 1998 était de 116. Calculer le
pourcentage de l’erreur commise en utilisant la prévision trouvée en 3. c..
Exercice 1.3 Antilles - 2005
Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production C (x) d’un engrais en fonction de la masse x
produite.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs x i de masse d’engrais produite et celles
y i = C (x i ) des coûts totaux de production correspondants pour i entier variant de 1 à 5.
x i en tonnes
y i en centaines d’euros
10
100
12
110
14
145
16
196
18
308
Partie A
¢
¡
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique x i ; y i dans un repère orthogonal (unités
graphiques : 0, 5 cm pour une tonne sur l’axe des abscisses et 0, 05 cm pour une centaine d’euros sur
l’axe des ordonnées.)
2. On recherche une fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] dont la courbe représentative « ajuste » de
façon acceptable le nuage de points.
Une fonction f est dite « acceptée » si, pour les cinq valeurs x i du tableau, on a :
−10 6 f (x i ) − C (x i ) 6 10.
a. Soit f la fonction définie sur [10 ; 18] par :
f (x) = e0,3x + 80.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10−2 ).
La fonction f est-elle « acceptée » ?
xi
f (x i )
f (x i ) − C (x i )
10
12
14
16
18
b. Étudier les variations de f sur [10 ; 18] et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le
repère précédent.
Partie B : étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] par
g (x) = (0, 3x − 1)e0,3x − 80.
1. On désigne par g ′ la fonction dérivée de g .
Montrer que, pour tout x de [10 ; 18], on a : g ′ (x) = 0, 09xe0,3x .
En déduire le sens de variations de g sur [10 ; 18].
2. Établir le tableau de variations de g sur l’intervalle [10 ; 18].
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2
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3. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α sur [10 ; 18] et donner un encadrement
de α à 10−1 .
En déduire le signe de g (x) sur [10 ; 18].
Partie C
Le coût moyen de production d’une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines
d’euros par :
C m (x) =
f (x)
x
où f est la fonction étudiée dans la partie A et x ∈ [10 ; 18].
′
la fonction dérivée de la fonction C m .
1. On désigne par C m
′
(x) pour x appartenant à l’intervalle [10 ; 18].
Calculer C m
2. Déduire à l’aide de la partie B le sens de variations de la fonction C m sur l’intervalle [10 ; 18].
3. Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ?
Quel est ce coût à un euro près par défaut ?
Exercice 1.4 Mercatique - Nouvelle-Calédonie - Novembre 2010
Le service Communication vous remet le bilan des visites par les internautes du site de l’entreprise pour
une année.
Mois
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
août
septembre
octobre
novembre
décembre
Rang du mois : x i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre de visites : y i
130
150
160
170
190
200
220
230
250
250
270
300
¡
¢
1. On considère la série statistique x i ; y i donnée par le tableau ci-dessus.
¢
¡
Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées x i ; y i dans un repère orthogonal
sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie.
On prendra pour unités graphiques :
1 cm pour un mois en abscisse,
1 cm pour 10 visites en ordonnée.
L’axe des ordonnées sera gradué à partir de 100.
2. Calculer les coordonnées du point moyen G.
Placer le point G dans le repère précédent.
3. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue
par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
Tracer la droite D dans le repère précédent.
4. En supposant que le modèle précédent reste valide l’année suivante, donner par le calcul le mois au
cours duquel le nombre de visiteurs dépasse 350.
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3
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Exercice 1.5 CGHR - Nouvelle-Calédonie - Novembre 2010
Dans le cadre de cet exercice, on s’intéresse à la consommation d’électricité en France (exprimée en TWh,
c’est-à-dire en milliards de kWh) dans le secteur des transports urbains et ferroviaires pour les années 1994+
x i où x i est un nombre entier naturel.
Année : 1994 + x i
Rang de l’année :
xi
Consommation :
yi
1995
1
2000
6
2004
10
2005
11
2006
12
2007
13
8,6
10,4
12,2
11,9
12,1
12,2
Source : http ://www.developpement-durable.gouv.fr
On a représenté en annexe le nuage de points correspondant aux données de l’énoncé ; le rang x i de l’année
étant placé en abscisse et la consommation y i correspondante apparaissant en ordonnée.
On décide d’effectuer un ajustement affine.
1.
a. Donner les coordonnées x et y du point moyen G du nuage.
b. Placer G sur le graphique.
2. Au moyen de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de y en x par la méthode
des moindres carrés (arrondir les coefficients à 10−3 près).
3. Pour toute la suite de l’exercice, on utilisera la droite d’équation
y = 0, 31x + 8, 46 comme droite d’ajustement. Sur le document fourni en annexe tracer cette droite.
On considère que cette droite fournit un bon ajustement jusqu’en 2015.
4. Estimer la consommation d’électricité en France pour l’année 2010.
5. Estimer à partir de quelle année la consommation d’électricité en France dans le secteur des transports urbains et ferroviaires dépassera 14, 5 TWh.
y
14
+ + + +
12
+
10
8
+
6
4
2
2
Révisions 1
4
6
8
10
12
4
14
16
18
20
22
x
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2 Probabilités
Exercice 2.1 Antilles - Septembre 2004
Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux machines M1 et M2 . La machine
M1 peut provoquer deux défauts d 1 et d 2 . Un relevé statistique permet d’estimer que :
• 4 % des appareils présentent le défaut d 1 et lui seul ;
• 2 % des appareils présentent le défaut d 2 , et lui seul ;
• 1 % des appareils présentent à la fois les défauts d 1 et d 2 .
1. On prélève au hasard un appareil à la sortie de M1 . On note A l’évènement « l’appareil présente le
défaut d 1 » ;
B l’évènement « l’appareil présente le défaut d 2 » ;
a. Calculer les probabilités des évènements A et B notées respectivement p(A) et p(B).
Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
b. Soit D l’évènement « l’appareil présente au moins un défaut ».
Montrer que la probabilité de l’évènement D est égale à 0,07.
c. Quelle est la probabilité pour que l’appareil ne présente aucun défaut.
À la sortie de la machine M1 les appareils en cours de fabrication passent par la machine M2 qui
peut provoquer un défaut d 3 dans les conditions suivantes :
• 60 % des appareils ayant au moins un défaut en sortant de M1 présentent le défaut d 3 ;
• 3 % des appareils sans défaut à la sortie de M1 présentent le défaut d 3 .
2. On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les machines M1 et M2 .
On note C l’évènement « l’appareil présente le défaut d 3 ».
a. Traduire les informations précédentes à l’aide d’un arbre pondéré.
b. Quelle est la probabilité qu’un appareil fabriqué soit sans défaut ?
Exercice 2.2 Septembre 2004
Un jeu télévisé se déroule sur quatre semaines maximum, et est organisé de la manière suivante :
Un candidat se présente la première semaine et joue une partie.
S’il la gagne, il a la possibilité de poursuivre en deuxième semaine ou de s’arrêter.
S’il la perd, il est éliminé.
Le même processus s’applique en deuxième et troisième semaine.
À l’issue de la quatrième partie le jeu s’arrête, que le candidat ait gagné ou perdu.
Un candidat ayant joué et gagné les quatre parties est déclaré « grand gagnant ».
On admet que pour un candidat donné, la probabilité de gagner une partie est la même chaque semaine et
3
vaut .
5
On admet également, qu’un candidat ayant gagné une partie décide d’arrêter le jeu avec une probabilité de
1
.
10
1. On a dessiné le début d’un arbre modélisant le fonctionnement du jeu, pour un candidat donné.
Compléter sur la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) l’arbre identique à celui-ci, et indiquer sur
chaque branche les probabilités correspondantes.
G1 désigne l’évènement : le candidat
gagne la première partie.
P1 désigne l’évènement : le candidat
C
Décision 2
perd la première partie.
C1 désigne l’évènement : le candidat
G
2e partie 2
décide de continuer le jeu après la
première partie.
A2
C1
A1 désigne l’évènement : le candidat
Décision
décide d’arrêter le jeu après la preP2
G
mière partie.
1re partie 1
On définit de même les évènements
A1
G2 , G3 , G4 , P2 , P3 , P4 , A2 et A3 .
Révisions 1
P1
5
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2. Calculer la probabilité que le candidat gagne la première partie et arrête le jeu.
3. Montrer que la probabilité que le candidat arrête le jeu après avoir gagné la deuxième partie est
0, 032 4.
4. Calculer la probabilité que le candidat soit « grand gagnant »(donner une valeur approchée à 10−4
près).
5. On attribue un gain de 100 € à un candidat qui gagne la première partie et décide d’arrêter le jeu.
On attribue un gain de 1 000 € à un candidat qui a gagné les deux premières parties et décide d’arrêter
le jeu.
On attribue un gain de 10 000 € à un candidat qui a gagné les trois premières parties et décide d’arrêter
le jeu.
On attribue un gain de 100 000 € à un candidat « grand gagnant ».
Dans tous les autres cas, le candidat a perdu et ne gagne rien.
On donne le tableau suivant dont une case n’a pas été remplie :
Gain
Probabilité
(exacte ou
arrondie)
0€
100 €
1 000 €
10 000 €
100 000€
0,06
0,032 4
0,017 5
0,094 5
a. Que vaut la probabilité manquante ? Justifier la réponse.
b. Donner une valeur approchée de l’espérance mathématique du gain à 1 € près.
c. Interpréter ce résultat.
Exercice 2.3 Pondichery - Mars 2005
Une résidence de vacances propose deux types d’appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine.
L’appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.
Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l’une des deux formules d’entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l’appartement en fin de séjour par le personnel d’entretien) ou la
formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour
par le personnel d’entretien).
Le gestionnaire a constaté que :
– 60 % des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20 % ne souscrivent aucune formule d’entretien ;
– La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45 % des locataires de Studio et par
55 % des locataires de deux-pièces ;
– 18 % des locataires ne souscrivent aucune formule.
On rencontre un résident au hasard.
Soit S l’évènement « Le résident a loué un studio »
A l’évènement « Le résident a souscrit la formule Simple »
B l’évènement « Le résident a souscrit la formule Confort »
R l’évènement « Le résident n’a souscrit aucune formule d’entretien »
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2.
a. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?
b. Calculer P S (B).
3.
³
´
a. Calculer P (R ∩ S) ; en déduire P R ∩ S .
b. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu’il assure lui-même le nettoyage
de son appartement est 0,15.
4. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les
calculs qui justifient son affirmation.
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5. La location d’un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d’un deux-pièces 480 euros.
La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs L i . On désigne par p i , la
probabilité que le coût de la semaine soit égal à L i .
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Li
350
370
390
pi
0,12
0,21
480
500
520
0,12
b. Calculer l’espérance de L. En donner une interprétation.
Exercice 2.4 Asie - 2005
Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les
différentes flèches sont des probabilités, et, en deuxième niveau, des probabilités conditionnelles. Ainsi
pour l’arbre donné dans la question 1 : 0, 35 = P (A) et 0, 1 = P A (E).
QUESTION 1
0,35
0,65
0,65
E
0,9
F
0,5
E
0,5
F
0,3
G
0,7
H
x
G
1−x
H
La probabilité de l’évènement E est égale à :
a
0,5
b
0,1 c 0,6
d 0,36
B
QUESTION 2
0,35
0,1
A
A
Les évènements A et G étant supposés indépendants, x est égal
à:
a
0,35
b
0,1 c 0,3
d 0,36
B
QUESTION 3
0,35
0,65
A
B
Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l’arbre ci-contre.
Cette experience aléatoire est répétée quatre fois de façon
indépendante.
La probabilité d’obtenir au moins une fois l’évènement A est
égale à :
a
b
0,35
c 0,178 506 25
0,821 493 75
d 0,015 006 25
Exercice 2.5 Pondichery - 2007
Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des
Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a
mis une annonce pour signaler qu’elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.
On sait que :
– 32 % des chatons sont des Siamois, 54 % des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans.
– Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles.
– 66 % des Abyssins sont des femelles.
– Il y a au total 40,96 % de chatons mâles.
Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu’il n’arrive
pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard. On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants :
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S : « Pierre achète un chaton Siamois » ;
B : « Pierre achète un chaton Birman » ;
A : « Pierre achète un chaton Abyssin » ;
M : « Pierre achète un chaton mâle » ;
F : « Pierre achète un chaton femelle ».
1.
a. Traduire les données de l’énoncé en langage de probabilités.
b. Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l’énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
2.
a. Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois,
b. Calculer p(M ∩ A) et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
c. En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
d. Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
3. Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu’il décide d’en acheter trois toujours au
hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.
Quelle est la probabilité qu’il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (le résultat sera arrondi à 10−3 ) ?
Exercice 2.6 Étrangers 2009
Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux
défauts notés a et b. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.
On note A l’évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut a ».
On note B l’évènement : « Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut b ».
On note A et B les évènements contraires respectifs de A et B .
On donne les probabilités suivantes : p(A) = 0, 2 ; p(B ) = 0, 1 et p(A ∪ B ) = 0, 25.
Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.
PREMIÈRE PARTIE
1. Démontrer que la probabilité de l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts » est égale à 0, 05.
2. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
3. Démontrer que la probabilité de l’évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne
présente aucun des deux défauts » est égale à 0, 75.
4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut b. Calculer la
probabilité que cette pièce présente également le défaut a.
5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut b. Calculer
la probabilité que cette pièce présente le défaut a.
DEUXIÈME PARTIE
On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection
est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.
1. Calculer la probabilité qu’une seule des trois pièces soit sans défaut.
2. Calculer la probabilité qu’au moins une des trois pièces soit sans défaut.
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3 Étude de fonctions
Exercice 3.1 Hotellerie - 2010
Première partie : étude statistique
Avant d’établir un restaurant dans une zone d’emploi, on réalise un sondage qui permet de déterminer,
selon le prix du repas, le nombre de personnes susceptibles de déjeuner chaque jour dans ce restaurant. On
obtient les résultats suivants :
Prix du repas (en € ) x i
Nombre de personnes y i
4
138
5
127
6
116
7
107
8
96
9
88
10
80
11
73
12
67
13
60
14
54
15
50
¡
¢
1. Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées x i , y i de cette
série statistique dans un repère orthogonal :
sur l’axe des abscisses : 1 cm représente 1 €,
sur l’axe des ordonnées : 1 cm représente 10 personnes.
2. On partage le nuage en deux parties. Calculer les coordonnées du point moyen G 1 du nuage formé
des six premiers points et les coordonnées du point moyen G 2 du nuage formé des six autres points.
Tracer la droite (G1G2) sur le graphique.
3. On admet que la droite (G 1G 2 ) réalise un bon ajustement du nuage. Montrer que cette droite admet
pour équation : y = −8x + 164 .
4. À l’aide de l’équation de la droite (G 1G 2 ), estimer le nombre de personnes susceptibles de déjeuner
chaque jour dans le restaurant si le repas est vendu 13,50 €. Quelle serait alors la recette quotidienne
du restaurant ? On rappelle que : recette = prix du repas × nombre de personnes.
5. On souhaite qu’au moins 90 personnes déjeunent chaque jour, déterminer à l’aide du graphique le
prix du repas à ne pas depasser (on fera apparaître les constructions utiles).
Deuxième partie : optimisation de la recette quotidienne
On modélise la recette quotidienne du restaurant en euros pour un prix de vente x du repas en euros grâce
à la fonction f , définie sur l’intervalle [4 ; 15] par
f (x) = −8x 2 + 164x.
1. Quelle recette quotidienne peut-on espérer si le prix du repas est fixé à 8,50 €.
2. Déterminer f ′ (x) où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
3. Étudier les variations de f sur l’intervalle [4 ; 15].
4. Déterminer le prix du repas qui rend la recette quotidienne prévisible maximale. Quelle serait alors
cette recette ?
Exercice 3.2 BTS - Groupement E - 2002
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par
f (x) =
¢
1¡ 3
x − 9x 2 + 24x
4
On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthononné d’unité 1 cm.
a. Calculer f ′ (x) où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
b. Résoudre l’équation f ′ (x) = 0. Étudier le signe de f ′ (x) lorsque x varie dans [0 ; 5].
c. Dresser le tableau des variations de f .
d. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f à l’origine O du repère.
e. Tracer la courbe C f et sa tangente T .
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2. Soit g la fonction définie sur [0 ; 5] par g (x) = −x 2 + ax + b.
Déterminer les réels a et b sachant que la courbe représentative de g passe par l’origine O du repère
et par le point A de coordonnées (5 ; 5).
3. Soit h la fonction définie sur [0 ; 5] par h(x) = −x 2 + 6x.
a. Calculer h ′ (x) où h ′ désigne la fonction dérivée de h.
Étudier le signe de h ′ (x) lorsque x varie dans [0 ; 5].
b. Dresser le tableau des variations de h.
c. Montrer que les courbes C f et C h ont, en O, la même tangente T .
d. Construire la courbe C h dans le même repère que précédemment.
Exercice 3.3 Hotellerie 1994
Partie A : exploitation d’un graphique
Le plan est muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm. On donne la courbe représentative C f
d’une fonction f définie sur [ −2 ; 2 ].
y
1. Résoudre graphiquement sur l’intervalle, l’équation : f (x) = −1. On tracera les pointillés utiles.
1
~
j
O
2. Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l’intervalle de l’équation : f (x) = 0. Justifier la réponse.
~
i
1
3. Etablir le tableau de variations de la fonction f sur
l’intervalle.
x
Partie B : étude d’une fonction
On considère la fonction g définie sur R par :
g (x) = x 3 − 3x + 1
et sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
1. Etudier limx→+∞ g (x) et limx→−∞ g (x).
2. Déterminer la dérivée g ′ de la fonction g et étudier son signe. Etablir le tableau de variations de la
fonction g .
3. Tracer la courbe C g .
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C g au point d’abscisse 0 et tracer cette tangente.
5. Tracer la droite D d’équation : y = x + 1 et résoudre graphiquement l’équation : g (x) > x + 1.
Exercice 3.4 STAE - 2000
Partie A : Lecture graphique
³ →
− →
−
La courbe C ci-dessous, représente une fonction f définie et dérivable sur ]−∞ ; 2] dans un repère orthogonal O, ı ,
unités graphiques : 1 cm en abscisses et 0,8 cm en ordonnées. Aux points A et B, les tangentes à la courbe
sont horizontales. Aux point E d’abscisse 0, la tangente à C est la droite (EF). En expliquant votre démarche,
vous répondrez aux questions suivantes
1. Par lecture graphique, donner les valeurs de f (0), f ′ (1), f ′ (−3), f ′ (0).
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2. En déduire une équation de la tangente à C au point E.
3. Déterminer graphiquement la limite de f en −∞.
4. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation f ′ (x) > 0.
A
4
E
2
→
−

−4
B
F
O
→
−
ı
4
−2
−4
−6
Exercice 3.5 STG - Sportifs - Octobre 1999
1. Résoudre dans R l’équation x 2 + 203x − 410 = 0
2. Dans un supermarché, le chef du rayon électricité effectue son bilan trimestriel. Au mois d’octobre,
son chiffre d’affaires est de 20 000 F.
a. Au mois de novembre, le chiffre d’affaires, noté N (x), est en hausse de x % par rapport à celui du
mois d’octobre.
Exprimer N (x) en fonction de x.
b. Le chiffre d’affaires du mois de décembre, que l’on note D(x), a été en augmentation de (x +3)%
par rapport à celui du mois de novembre.
Exprimer D(x) en fonction de N (x) , puis vérifier que D(x) = 20 600 + 406x + 2x 2
c. On sait qu’au mois de décembre le chiffre d’affaires est de 21 420 F. Utiliser la question 1. pour
trouver x et en déduire les taux d’augmentation respectifs des chiffres d’affaires entre octobre et
novembre, et entre novembre et décembre.
3. Si les chiffres d’affaires avaient subi une même augmentation de t % entre octobre et novembre, et
entre novembre et décembre, quelle valeur approchée à 10−3 près par défaut faudrait-il donner à t
pour que le chiffre d’affaires de décembre soit aussi de 21 420 F, celui d’octobre étant toujours de
20 000 F ?
Exercice 3.6 Étude de la fonction f, définie par f (x) =
(x − 2)2
x −1
Soit f la fonction définie sur ] − ∞; 1[∪]1; +∞[ par f (x) =
un repère orthonormé d’unités 2cm.
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(x − 2)2
. On note C sa courbe représentative dans
x −1
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1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire une asymptote
verticale.
a. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c que l’on déterminera tels que :
c
.
Pour tout x 6= 1, f (x) = ax + b +
x +1
b. En déduire que la droite ∆ d’équation y = x − 3 est asymptote à C .
c. Étudier les positions relatives de C et de son asymptote oblique.
2. Déterminer la fontion dérivée f ′ de f , et en déduire les variations de f . Dresser alors le tableau de
variations de f
3. Déterminer l’équation de la tangente (T ) à C au point d’abscisse 0.
4. Construire sur une feuille les courbes C , (T ) et ∆.
Exercice 3.7 STG - RH - Novembre 2010
L’entreprise CDUCOSTO est spécialisée dans la fabrication d’abris de jardin ; elle peut en fabriquer au maximum 30 par mois. On admet que tous les abris de jardin fabriqués sont vendus. Tous les montants sont ici
exprimés en centaines d’euros.
On a représenté trois fonctions sur le graphique fourni en annexe.
1
◮ la courbe C représente la fonction f définie par f (x) = x 2 +48 où x ∈ [0 ; 30] et exprime le coût total
3
de fabrication de x abris de jardin par l’entreprise CDUCOSTO.
◮ le segment d représente la fonction r définie par r (x) = 3x où x ∈ [0 ; 30] et exprime la recette réalisée
pour la vente de x abris de jardin au prix unitaire de 300 euros.
◮ le segment D représente la fonction R qui exprime la recette réalisée pour la vente de x abris de jardin
au prix unitaire de 1 000 euros.
1. À l’aide du graphique, expliquer pourquoi le choix d’un prix de vente unitaire de 300 euros est un
mauvais choix pour l’entreprise.
Dans la suite de l’exercice, l’entreprise décide de vendre chaque abri 1 000 euros.
a. Vérifier que R(25) = 250.
b. Exprimer la recette R(x) ainsi réalisée en fonction de x.
2. À l’aide du graphique, déterminer pour quels nombre n d’abris de jardin fabriqués et vendus, l’entreprise réalise un bénéfice.
3. Exprimer le bénéfice B (x) en fonction de x.
2
4. Vérifier que la dérivée B ′ de la fonction B s’écrit B ′ (x) = 10 − x.
3
5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initintive même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer le nombre d’abris de jardin que l’entreprise CDUCOSTO doit fabriquer chaque mois pour
réaliser un bénéfice maximum. Quel sera alors le montant de ce bénéfice maximum ?
y
350
C
300
D
250
200
150
100
d
50
O
Révisions 1
2
4
6
8
10
12
14
16
12
18
20
22
24
26
28
30
x
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Exercice 3.8 Étude de la population d’une ville
On note f (t ) la population, en milliers, d’une ville nouvelle, fondée en 1970, où t désigne la durée écoulée
en année depuis 1970.
t 2 + 11t + 8
On donne : f (t ) =
, pour t ∈ [0; +∞[.
2(t + 1)
c
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que : f (x) = ax + b +
.
t +1
2.
a. Étudier les variations de f.
b. Résoudre f (t ) ≥ 30. Interpréter ce résultat.
3.
a. Étudier la limite de f en +∞.
b. Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique dont vous préciserez
l’équation. Interpréter en terme de rythme de croissance de la population.
Le rythme de croissance à l’instant t est assimilable à la dérivée de la fonction de la population.
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