Méthodes de Monte Carlo exactes et application au pricing d`options

Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Méthodes de Monte Carlo exactes et
application au pricing d’options Asiatiques
B. Jourdain & M. Sbai
CERMICS-ENPC
GT Méthodes stochastiques et finance
30 Mars 2007
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Plan
1
RT
Options de payoff : f αST + β 0 St dt avec α 6= 0
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
2
Options asiatiques (α 6= 0)
3
Conclusion
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Préliminaires I
On se met dans le cadre du modèle Black & Scholes
dSt
= (r − δ)dt + σdWt .
St
2
En notant γ = r − δ − σ2 , on a St = S0 eσWt +γt .
On s’intéresse à une option de payoff :
!
Z T
f αST + β
St dt
0
RT
avec E f 2 αST + β 0 St dt
But : calculer par simulations
C0 = E e−rT f
< ∞.
Z
!!
T
Su du
αST + β
.
0
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Préliminaires II
Changement de variable à la Rogers&Shi [2] :
Z t
−σWu −γu
e
du eσWt +γt .
ξt = αS0 + βS0
0
Lemme
Z
∀t ∈ [0, T ], ξt et αSt + β
t
Su du ont même loi.
0
⇒ C0 = E e−rT f (ξT ) avec ξ est solution de l’EDS
(
2
dξt = βS0 dt + ξt (σdWt + (γ + σ2 )dt)
ξ0 = αS0 .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Lignes directrices
1
RT
Options de payoff : f αST + β 0 St dt avec α 6= 0
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
2
Options asiatiques (α 6= 0)
3
Conclusion
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Passage à une volatilité unitaire
log(ξt )
Xt =
⇒
σ
(
dXt
βS0 −σXt
)dt + dWt
σ e
0)
.
with x = log(αS
σ
= ( σγ +
X0 = x
On veut donc calculer C0 = E e
−rT
f (e
σXT
(1)
) .
Proposition
Le processus (Lt )t∈[0,T ] défini par
"Z
Lt = exp
0
T
γ
βS0 −σYt
1
( +
e
) dYt −
σ
σ
2
Z
0
T
γ
βS0 −σYt 2
( +
e
) dt
σ
σ
est une martingale sous QW x .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
#
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Idée de la Preuve :
Rt ∀t ∈ [0, T ], 0 σγ +
βS0 −σYu
σ e
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
2
< ∞, QX et QW x p.s.
Existence et unicité en loi pour l’EDS (1).
Donc, QX est a.c par rapport à QW x et on a


Z T
Z T

d QX
γ
γ
βS0 −σYt
1
βS0 −σYt 2 
= exp 
( +
e
) dYt −
( +
e
) dt 

.
d QW x
σ
σ
2
σ
σ
0 |
0
{z
}
a(Yt )
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Ru
0
Soient A(u) = 0 a(x)dx = σγ u + βS
(1 − e−σu )
σ2
et Z le processus distribué suivant la loi
Z x
x
QZ = L (Wt )t∈[0,T ] |WT = y h(y)dy
R
où h est une densité définie par h(u) = C exp A(u) −
On a alors
#
" Z
T
d QX
= C exp −
g(Yt )dt
d QZ
0
avec g(u) =
a2 (u)+a0 (u)
2
=
γ
(σ
+
βS0 −σu 2
e
) −βS0 e−σu
σ
Jourdain, Sbai
2
(u−x)2
2T
.
MC exacte et pricing d’options asiatiques
.
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
On vérifie que g est minorée :
 2
 γ2
2σ
inf g(u) =
 g 1 log( 2βS0 )
u∈R
2
σ
σ −2γ
si 2γ ≥ σ 2
sinon.
et en posant k = infu∈R g(u) et φ : u 7→ g(u) − k, on a bien
" Z
#
T
d QX
= C exp −
φ(Yt )dt
d QZ
0
avec
γ2
−k <∞
u→+∞
2σ 2
lim φ(u) = +∞.
lim φ(u) =
u→−∞
On peut donc appliquer la méthode BPR [1].
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Résultats numériques
Call : f (x) = (x − K )+ .
S0 = 100, K = 100, r = 0.05, σ = 0.3, δ = 0, T = 1, α = 0.6 et
β = 0.4.
Method
Trap+KV
BPR
M
10
20
50
-
N
A. rate
106
-
106
24%
Price
11.46
11.46
11.47
11.46
C.I at 95%
[11.43, 11.48]
[11.43, 11.49]
[11.44, 11.5]
[11.43, 11.5]
CPU
5s
9s
21 s
81 s
TAB .: Pricing avec une méthode MC standard et la méthode exacte.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Le taux d’acceptation de l’algorithme dépend fortement du
α
paramètre α+β
:
α/(α + β)
Acceptance Rate
0.3
0.003%
TAB .: Influence du paramètre
α
α+β
Jourdain, Sbai
0.4
0.47%
0.5
5.66%
0.6
24.43%
0.7
53.85%
sur le taux d’acceptation de l’algo.
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Pour la simulation d’une variable aléatoire qui a pour densité h,
on met en oeuvre une méthode de rejet.
γ
h(u) = C e σ
u+
βS0
(u−x)2
(1−e−σu )− 2T
σ2
γ
≈ C e σ u+
βS0
(u−x)2
u− 2T
σ
u− x+
= Ce−
T (γ+βS0 )
σ
2
2T
0)
⇒ Utiliser une N (x + T (γ+βS
, T ) comme prior ?
σ
Très mauvais ! il faut chercher le bon mode de la densité.
Après calculs, on trouve
γT + W βS0 Te−γT −σx + σx
∗
u =
σ
où W est l’inverse de la fonction t :7→ tet .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
.
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Pour la simulation d’une variable aléatoire qui a pour densité h,
on met en oeuvre une méthode de rejet.
γ
h(u) = C e σ
u+
βS0
(u−x)2
(1−e−σu )− 2T
σ2
γ
≈ C e σ u+
βS0
(u−x)2
u− 2T
σ
u− x+
= Ce−
T (γ+βS0 )
σ
2
2T
0)
⇒ Utiliser une N (x + T (γ+βS
, T ) comme prior ?
σ
Très mauvais ! il faut chercher le bon mode de la densité.
Après calculs, on trouve
γT + W βS0 Te−γT −σx + σx
∗
u =
σ
où W est l’inverse de la fonction t :7→ tet .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
.
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Pour la simulation d’une variable aléatoire qui a pour densité h,
on met en oeuvre une méthode de rejet.
γ
h(u) = C e σ
u+
βS0
(u−x)2
(1−e−σu )− 2T
σ2
γ
≈ C e σ u+
βS0
(u−x)2
u− 2T
σ
u− x+
= Ce−
T (γ+βS0 )
σ
2
2T
0)
⇒ Utiliser une N (x + T (γ+βS
, T ) comme prior ?
σ
Très mauvais ! il faut chercher le bon mode de la densité.
Après calculs, on trouve
γT + W βS0 Te−γT −σx + σx
∗
u =
σ
où W est l’inverse de la fonction t :7→ tet .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
.
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
On utilise une N (u ∗ , T ) comme prior. Les résultats numériques
sont nettement meilleurs
α
α+β
Nb of simulations
0.2
0.5
0.8
106
Acceptance rate
61%
68%
80%
Computation time
3s
3s
2s
TAB .: Taux d’acceptation de la méthode du rejet pour la simulation
suivant la densité h avec S0 = 100, σ = 0.3, T = 2 et r = 0.1.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Lignes directrices
1
RT
Options de payoff : f αST + β 0 St dt avec α 6= 0
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
2
Options asiatiques (α 6= 0)
3
Conclusion
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
On reprend à ce niveau : C0 = E e
−rT
f (e
σWTx
d QX
)
d QW x
avec
" Z
#
T
d QX
x
= eA(WT )−A(x)−kT exp −
φ(Wtx )dt .
d QW x
0
Fonction d’importance : Pour une densité ρ à choisir, on
considère le processus Z qui a pour loi
Z QZ = L (Wtx )t∈[0,T ] |WTx = y ρ(y)dy.
R
Alors
(ZT −x)2
−kT

eA(ZT )−A(x)− 2T
√
C0 = E e−rT f (eσZT )
2πT ρ(ZT )
Jourdain, Sbai

e−
RT
0
φ(Zt )dt 
MC exacte et pricing d’options asiatiques
.
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Soient N ∼ pZ une v.a.d et (Vi )i ∼ qZ une suite i.i.d de v.a.r à
valeurs dans [0, T ] qui sont indépendants sachant Z . On a
N
Y MZ − φ(ZV )
1
i
C0 = E e−rT f (eσZT )ψ(ZT )e−MZ T
pZ (N)N!
qZ (Vi )
!
i=1
où ψ(u) =
e
A(u)−A(x)−
√
(u−x)2
−kT
2T
2πT ρ(u)
et MZ = sup{φ(u); u ≥ min Zt }.
t
Prendre qZ = U [0, T ] et pZ = P(MZ T ) garantit l’intégrabilité
du carré et légitime la construction d’intervalles de confiance :
C0 = E e
−rT
f (e
σZT
)ψ(ZT )
N
Y
i=1
Jourdain, Sbai
φ(ZVi )
1−
MZ
!
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Réduction de variance
En s’inspirant de la méthode BPR, on choisit pour la distribution
terminale ρ une loi normale de moyenne u ∗ et variance T .
Variable de contrôle
: Pour un call, on sait calculer
E e−rT (eσZT − K )+ quand ZT ∼ N donc on peut mettre en
oeuvre une méthode de variable de contrôle.
Perturbation de φ : On introduit un nouveau paramètre cT et
on remplace φ par φ − cT . Après renormalisation, on obtient
!
N
Y
φ(ZVi ) − cT
−rT
σZT
−cT T
C0 = E e f (e )ψ(ZT )e
1−
MZ
i=1
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Algorithme de simulation exacte de BPR [1]
Méthode de calcul exacte d’espérances
Résultats numériques
Bien qu’on ne soit plus assuré de l’intégrabilité du carré, on a
essayé pZ ∼ P(cP T ). Cela permet d’éviter la simulation
récursive du Brownien sachant son minimum et la valeur
terminale.
Method
BPR
ECE (cT = MZ T )
ECE (cP = cT = 1)
N
106
106
106
Price
11.46
11.46
11.46
C.I at 95%
[11.43, 11.5]
[11.43, 11.49]
[11.43, 11.49]
CPU
81 s
17 s
6s
TAB .: Comparaison entre les différentes méthodes MC exactes.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Nouveau changement de variable
Prix d’une option asiatique :
C0 = E e
−rT
f
1
T
Z
!!
T
Su
0
On fait un nouveau changement de variables non nul en t = 0

Z
S0 t σ(Wt −Wu )+γ(t−u)

e
ξt =
du
t 0

ξ0 = S0 .
Z
1 T
ξT et
Su du ont même loi donc C0 = E e−rT f (ξT ) avec
T 0
(
σ2
t
dξt = ξ0 −ξ
dt
+
ξ
)dt
σdW
+
(γ
+
t
t
t
2
ξ0 = S0 .
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
(
ξt
Xt = log( ) ⇒
ξ0
dXt = σdWt + γdt +
X0 = 0.
e−Xt −1
dt
t
Pb : Singularité en 0. C’est pourquoi on considère l’EDS

Zt

dZt = σdWt + γdt − dt
t
 Z = X = 0.
0
0
Lemme
On a existence et unicité pour (2) et (3). De plus
σ
Zt =
t
Z
t
s dWs +
0
Jourdain, Sbai
γ
t est solution de (3).
2
MC exacte et pricing d’options asiatiques
(2)
(3)
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Proposition
"Z
Lt = exp
0
t
e−Zs − 1 + Zs
1
dWs −
σs
2
Z t
0
e−Zs − 1 + Zs
σs
est une martingale donc C0 = E e−rT f (S0 eZT )LT
2
#
ds
Idée de la preuve :
∀ > 0, il existe un voisinage (aléatoire) de t = 0 pour lequel
1
1
|Zt | ≤ t 2 − et |Xt | ≤ t 2 − (L.L.I du MB). On en déduit que
R t e−Zs −1+Zs 2
0
σs
ds < ∞ et
R t e−Zs −1+Zs 2
0
σs
ds < ∞.
On conclut grâce à l’unicité en loi des EDS (2) et (3).
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
2
1 − z + z2 − e−z
Soit A(t, z) =
. Par Itô sur [, T ] et passage à
σ2t
la limite on a
Z T −Zt
Z T
Z T
Z2
1 − Zt + 2t − e−Zt
e
− 1 + Zt
1 − e−Zt
A(T , ZT )=
dZ
−
dt+
dt.
t
2t
σ2t
σ2t 2
0
0
0
hR
i
T
Donc C0 = E e−rT f (S0 eZT )eA(T ,ZT ) exp 0 φ(t, Zt )dt avec
2
1 − z + z2 − e−z 1 − e−z e−z − 1 + z
φ(t, z)=
−
−
2t
σ2t 2
σ2t
Jourdain, Sbai
e−z − 1 − z
+γ .
2t
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f



“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
lim φ(t, z) = −∞
z→−∞
lim φ(t, z) = +∞
⇒ Impossible d’appliquer BPR.
z→+∞
Pour pouvoir traiter le cas des calls et des puts asiatiques avec
la méthode de calcul exacte d’espérance, on a besoin de
Conjecture
E eA(T ,ZT )−rT (eZT + 1)e
Jourdain, Sbai
RT
0
|φ(t,Zt )|dt
< ∞.
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Pour un call, on pourra alors écrire que
N
C0 = E eA(T ,ZT )−rT (S0 eZT
Y φ(Ui , ZU )
1
i
− K )+
p(N) N!
q(Ui )
i=1
pour p et q bien choisis. Mais a-t-on
„

R
2
T φ (t,Zt )
dt
0
q(t)
E e2A(T ,ZT )−2rT f 2 (S0 eZT )
«N 
p(N)2 (N!)2
 < ∞?
Lemme
∀ > 0, on a p.s. φ(t, Zt ) −
2Zt3
3σ 2 t 2
+
Zt
2t
= O(t − ).
Par conséquent, pour q(t) = Ct a avec a > −1, on a
RT
0
φ2 (t,Zt )
q(t) dt
< ∞ p.s. si et seulement si a < 0.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
!
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Choix des distributions p et q
Lemme
Soit g une fonction réelle mesurable et intégrable sur [0, T ]. La
N
Y
1
g(Vi )
variance de
est minimale pour
p(N) N!
q(Vi )
i=1
|g(t)|
1[0,T ] (t)
qopt (t) = R T
|g(t)|dt
n
0R
!
T
Z T
|g(t)|dt
0
popt (n) =
exp −
|g(t)|dt .
n!
0
D’où notre choix de p = P(cP T ) et q(t) =
φ est approximativement d’ordre √1 ).
√1√ 1
(t)
2 t T [0,T ]
(t)
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
(car
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Réduction de variance
Finalement
√
QN 2 Ui φ(Ui ,ZUi )
A(T
,Z
)−rT
Z
c
T
p
T
T
√
C0 = E e
(S0 e − K )+ e
i=1
cp T
Perturbation de φ : On introduit un nouveau paramètre cT
comme précédemment.
Conditionnement : Pour chaque
trajectoire
Z j simulée, on
«
√ k„ k j
Q k 2 Ui φ(Ui ,ZUik )+cT
P
√
calcule n1 nk=1 N
au lieu de
i=1
cp T
”
√ “
j
QN 2 Ui φ(Ui ,ZUi )+cT
√
.
i=1
cp T
Variable de contrôle : On peut utiliser e−rT S0 eZT − K +
2
comme variable de contrôle puisque ZT ∼ N ( γ2 T , σ 3T ).
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Résultats numériques
Vérification numérique des conjectures
E eA(T ,ZT )−rT (S0 eZT + 1) ecp T
E e
2A(T ,ZT )−2rT
(S0 e
ZT
2
+ 1) e
!
√
N
Y
2 Ui |φ(Ui , ZUi )|
√
< ∞ (4)
cp T
i=1
2cp T
N
Y
4Ui φ2 (Ui , ZU )
!
i
i=1
cp2 T
<∞
(5)
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
8.4
440
8.2
420
8.0
400
7.8
380
7.6
360
7.4
340
7.2
320
7.0
300
6.8
280
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
F IG .: Plusieurs réalisations MC
du calcul de (4) en fonction du
nombre de simulations.
Jourdain, Sbai
100000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
F IG .: Plusieurs réalisations MC
du calcul de (5) en fonction du
nombre de simulations.
MC exacte et pricing d’options asiatiques
90000
100000
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Method
E.C.E standard
E.C.E optimisé
Trap+KV
Price
7.037
7.039
7.041
C.I at 95%
[7.02313,7.05151]
[7.02959,7.04854]
[7.04073,7.04232]
N
27.105
4.105
34.104
CPU
7s
7s
7s
TAB .: Prix d’un call asiatique avec différentes méthodes MC. Pour la
méthode E.C.E standard (sans réduction de variance), on prend
1
et n = 10. Enfin,
cp = 1. Pour E.C.E optimisé, on prend cp = cT = 2T
pour Trap+KV, le nombre de pas de temps est fixé à 20.
Même avec réduction de variance, la méthode n’est pas
compétitive en termes de temps de calcul.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
+
Extension de la méthode BPR quand on chercher pour le
calcul d’espérances.
Prix MC d’une option asiatique sans biais de discrétisation
(un benchmartk fiable).
Méthode E.C.E compétitive pour pricing d’option sur
RT
αST + β 0 Su du.
Variance pas assez faible pour le pricing des asiatiques.
On n’est pas assuré de la légitimité de la méthode
théoriquement (conjecture).
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques
Options de payoff : f
“
”
R
αST + β 0T St dt avec α 6= 0
Options asiatiques (α 6= 0)
Conclusion
Références
Références I
A. Beskos, O. Papaspiliopoulos, and Gareth O. Roberts.
Retrospective exact simulation of diffusion sample paths.
Bernoulli, 12(6), December 2006.
L. C. G. Rogers and Z. Shi.
The value of an Asian option.
J. Appl. Probab., 32(4) :1077–1088, 1995.
Jourdain, Sbai
MC exacte et pricing d’options asiatiques