corrigé sujet Bac SMS -

Série SMS – Juin 2004 – Métropole – correction
Exercice 1
Partie A
1. 82 % des 250 personnes ont une carte de sécurité sociale à leur nom et non périmée ou sont
inscrites sur la carte d’une autre personne.
82
= 205 .
100
Cela représente donc 205 personnes. Parmi elles, 11 sont inscrites sur la carte d’une autre
personne, donc les personnes ayant une carte à leur nom sont au nombre de 205 − 11 = 194.
2. Tableau à compléter :
Les justifications, même non exigées, sont fournies pour expliquer les résultats.
Le 194 de la question 1 nous permet, par différence, de trouver 142 personnes ne bénéficiant
pas de la CMU et ayant une carte à leur nom et non périmée (car 52 en bénéficient).
6 % ont une carte périmée ou en cours de demande, c’est-à-dire 15 personnes. Or 8 ont une
carte en cours de demande, donc par différence, 7 ont une carte périmée et parmi elles, 4 ne
bénéficient pas de la CMU.
11 personnes sont inscrites sur la carte d’une autre personne, dont 5 ne bénéficient pas de la
CMU, ce qui implique que 6 en bénéficient.
8 personnes ont une carte en cours de demande, et 4 bénéficient de la CMU, donc 4 également
n’en bénéficient pas.
Enfin, le total de 250 personnes nous permet de trouver que 250 − (194 + 11 + 7 + 8) = 30
personnes n’ont pas de carte de sécurité sociale et n’en ont pas fait la demande. Parmi elles,
13 bénéficient de la CMU.
Au total, il y a donc 78 bénéficiaires de la CMU et 172 non bénéficiaires.
250 ×
Bénéficie de la
CMU
Ne bénéficie pas
de la CMU
Total
A une carte de sécurité sociale à son
nom et non périmée
52
142
194
Est inscrit sur une carte d’une autre
personne
6
5
11
A une carte périmée
3
4
7
A une carte de sécurité sociale en cours
de demande
4
4
8
N’a pas de carte de sécurité sociale et
n’en a pas fait la demande
13
17
30
Total
78
172
250
3. 78 personnes bénéficient de la CMU et parmi elles, 6 sont inscrites sur la carte d’une autre
personne.
6
Cela représente :
× 100 %, c’est-à-dire environ 7,7 % .
78
Partie B
1. A ∩ B : « La fiche est celle d’une personne bénéficiant de la CMU et inscrite sur la carte d’une
autre personne ».
A∪B : « La fiche est celle d’une personne bénéficiant de la CMU ou celle d’une personne inscrite
sur la carte d’une autre personne ».
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2. Chaque fiche a la même probabilité d’être tirée. Sur les 250 personnes, 78 bénéficient de la
CMU.
78
Donc P (A) =
, d’où : P (A) = 0,312.
250
De même, sur les 250 personnes, 11 sont inscrites sur la carte d’une autre personne.
Ainsi, P (B) =
11
et donc P (B) = 0,044.
250
6 personnes bénéficient de la CMU et sont inscrites sur la carte d’une autre personne.
6
et donc : P (A ∪ B) = 0,024.
250
3. On sait, d’après le cours, que P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) d’où :
D’où P (A ∩ B) =
P (A ∪ B)
= 0,312 + 0,044 − 0,024
= 0,332 .
Exercice 2
Partie A
1. a. La fonction x 7→ ln(4x + 1) est de la forme ln u avec u(x) = 4x + 1.
u est
et strictement positive sur 0 ; 25 ; donc x 7→ ln(4x + 1) est dérivable
dérivable
5
sur 0 ; 2 .
De plus, x 7→ −x + 1 est une fonction affine, donc également dérivable sur 0 ; 25 ;
Par somme, f est donc dérivable sur 0 ; 52 ; et, pour tout x élément de 0 ; 52 , on a :
f 0 (x)
f 0 (x)
b. Sur l’intervalle 0 ;
5
2
=
4
−1
4x + 1
=
4
4x + 1
−
4x + 1 4x + 1
=
4 − 4x − 1
4x + 1
=
−4x + 3
.
4x + 1
, x est toujours différent de − 14 .
f 0 (x) = 0
équivaut à
−4x + 3
=0
4x + 1
équivaut à
− 4x + 3 = 0
équivaut à
x=
L’équation f 0 (x) = 0 a donc pour solution unique x =
3
.
4
3
.
4
c. On dresse un tableau de signes :
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x
3
4
0
−4x + 3
+
4x + 1
+
f ′ (x)
+
5
2
0
−
+
0
−
d. On déduit, du tableau précédent et du signe de f 0 (x) le tableau de variations de la fonction f .
On complète ce tableau avec les valeurs de f (0), f 43 et f 52 .
x
3
4
0
f ′ (x)
+
5
2
0
ln(4) +
−
1
4
f (x)
3
ln(11) −
3
2
2. Tableau de valeurs :
x
f (x)
2
0,5
1,60
0,75
1,64
1
,60
1,5
1,45
2
1,20
2,5
0,90
glycémie
0
1,00
(C f )
1
~j
~ı
0,75
1
2
heures
3.
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Partie B
1. La glycémie est décrite par la fonction f .
L’étude précédente a montré que f atteint son maximum pour x = 34 .
L’unité de temps étant l’heure, la glycémie est maximale au bout de 45 minutes.
2. La valeur moyenne de la glycémie est de 1 g·L−1 .
25
= 0,25 g·L−1 .
25 % de cette valeur représente 1 ×
100
L’intervalle dans lequel doit rester la glycémie est donc [0,75 ; 1,25].
Hyperglycémie
2
glycémie
3. a. On place 0,75 et 1,25 sur l’axe des ordonnées.
On cherche les abscisses des points de la courbe dont les ordonnées sont dans l’intervalle [0,75 ; 1,25].
1,25
(C f )
1
Hypoglycémie
0,75
0,11
~ı
1
2
1,90
heures
Avec ce graphique, on voit que la période d’hyperglycémie a lieu entre 0,11 et 1,90 heure.
Aucun des points de la courbe n’ayant une ordonnée inférieure à 0,75 , il n’y a pas d’hypoglycémie (entre 0 et 2 heures et demi).
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