Analyse des signaux Échantillonnage

Analyse des signaux
Échantillonnage
Christian Cardinal, Ph.D.
Professeur adjoint
Département de génie électrique
École Polytechnique de Montréal
Automne 2005
ELE 3700 – Analyse des signaux : Échantillonnage
Échantillonnage
L’échantillonnage est un élément important en traitement numérique de
signaux - il constitue la première opération à effectuer lors d’une conversion
analogique à numérique (A/N)
Conversion Analogique - Numérique
Numérique
Analogique
Echantillonnage
Quantification
Codage
Numérique
Convertisseur A/N
Échantillonnage : Valeurs de l’amplitude du signal prises (observées) à des
instants réguliers (opération réversible)
Quantification : Valeurs échantillonnées (analogiques) arrondies à des valeurs prises dans un ensemble de valeurs prédéterminées (opération irréversible :
bruit de quantification)
Codage numérique : Représentation numérique (binaire) des valeurs quantifiées
ELE 3700 – Analyse des signaux : Échantillonnage
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Théorème de l’échantillonnage
Soit un signal m(t) à bande limitée, de fréquence maximale fm et dont la
transformée de Fourier est M (f ). On prend des échantillons m(nTs) à intervalle
régulier Ts = 1/fs.
M(f)
m(t)
0
t
-f
m
f
m
f
On peut reconstituer un signal m(t) à bande étroite et de largeur de bande
fm par un filtrage passe-bas idéal si fs ≥ 2fm.
Trois types d’échantillonnage : Idéal, Naturel, Instantané.
La démonstration du théorème se fait en considérant un échantillonnage idéal.
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Théorème de l’échantillonnage : Échantillonnage Idéal
m(t)
X
ys(t)
dT (t)
s
Le train d’impulsions δTs (t) s’écritX
δTs (t) =
δ(t − nTs)
n
Ainsi, la sortie de l’échantillonneur idéal est :
X
X
ys(t) = m(t)
δ(t − nTs) =
m(nTs)δ(t − nTs)
n
Puisque T F (δTs ) =
1
Ts
P
k δ(f
n
− kfs), alors,
1 X
Ys(f ) = M (f ) °
M (f − kfs)
∗ T F {δTs } =
Ts
k
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Théorème de l’échantillonnage : Échantillonnage Idéal (suite)
Résultat : Le spectre de ys(t) est celui de m(t) décalé à kfs, k =
..., − 2, − 1,0,1,2,...
|Y (f)| Filtre de
s
recupération
...
...
f
-f
-2f
s
s
0
-f
m
f
m
f
s
2f
s
Sur-échantillonnage : fs > 2fm
|Y (f)|
s
...
...
-2f
s
- f -f
s m
0
f f
ms
f
2f
s
Chevauchement
des spectres
Sous-échantillonnage : fs < 2fm
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Théorème de l’échantillonnage : Échantillonnage Idéal (suite)
Observations
– Si fs = 2fm, (fréquence de Nyquist) les spectres sont juxtaposés; un filtrage
idéal permet de récupérer parfaitement le spectre M (f )
– Si fs > 2fm, les répétitions des spectres s’éloignent, laissant une bande de
garde Bg = fs − 2fm entre les spectres
|Y (f)| Filtre de
s
recupération
...
...
f -2f
s m
-f -f - f s -f +f
s m
s m
-f
m
0
f
m
f
f
f -f s
s m
f +f
s m
Permet d’utiliser un filtre pratique et réalisable
– Si fs < 2fm, les spectres se chevauchent (aliasing) et la récupération complète
du signal n’est plus possible.
En pratique les signaux ne sont pas à bande strictement limitée. Un préfiltrage
adéquat (avant échantillonnage) du signal est généralement effectué.
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Échantillonnage Idéal : Récupération du signal
y (t)
s
filtre passe-bas
idéal h(t) <==> H(f)
^
m(t)
|H(f)|
T
s
-f
m
0
f
m
f
L’application d’un filtre passe-bas idéal à un signal échantillonné ys(t) donne :
m̂(t) = ys(t)°
∗ h(t) =
X
m(nTs)δ(t−nTs)°
∗ h(t) =
n
X
m(nTs)h(t−nTs)
n
Puisque la réponse à l’impulsion du filtre passe-bas idéal est :
h(t) = 2fmTs
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sin(2πfmt)
2πfmt
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Échantillonnage Idéal : Récupération du signal (suite)
Réponse à l’impulsion du filtre passe-bas h(t)
1
0.8
h(t)
0.6
T =1, f =1
s
0.4
s
Note : fs = 2fm
0.2
0
Ts
2Ts
−0.2
−0.4
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
t
Le signal m̂(t) devient alors :
m̂(t) =
X
n
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m(nTs)
sin(2πfm(t − nTs))
2πfm(t − nTs)
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Échantillonnage Idéal : Récupération du signal (suite)
0.8
0.7
^
m(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−5
−4
−4/2f
m
−3
−3/2fm
−2
−2/2fm
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−1
−1/2fm
0
1
1/2f
m
2
2/2f
m
3
3/2fm
4
4/2f
5
m
2-1-8
Échantillonnage Pratique
Au lieu d’utiliser un train d’impulsions (non-réalisable), on utilise un train de
créneaux étroits dont la durée de chaque créneau est τ
Deux cas possibles :
– La forme du créneau suit le signal m(t) : Échantillonnage Naturel
– La forme du créneau n’est pas déformée par m(t), seule l’amplitude du créneau
change en fonction de l’échantillon m(nTs): Échantillonnage Instantané
(Flat Top Sampling)
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Échantillonnage Naturel
m(t)
ys(t)
X
ys(t)
t
pt(t)
-T 0
s
T 2T 3T 4T 5T 6T
s s s s s
s
t
La sortie de l’échantillonneur est ys(t) = m(t)pτ (t), ainsi,
Ys(f ) =
X
PnM (f − nfs), fs ≥ 2fm
n
où les Pn, n = ..., − 1,0,1,... sont les coefficients de la série de Fourier de pτ (t) :
Ys(f ) =
X
n
A
τ sin(nπfsτ )
M (f − nfs)
Ts (nπfsτ )
où τ /Ts est le rapport cyclique (duty cycle) du signal pτ (t)
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Échantillonnage Naturel : Représentation spectrale
m(t)
|M(f)|
t
0
f
m
pt(t)
f
f
m
Pt(f)
t
t
-T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T
s s s s s s
s
2
-2fs
-fs
0
fs
2fs
fs
2fs
ys(t)
Ys(f)
t
-T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T
s s s s s s
s
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t
2
-2fs
-fs
0
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Échantillonnage Instantané
Méthode d’échantillonnage la plus simple à réaliser en pratique et donc la plus
utilisée.
ys(t)
t
-T 0
s
T 2T 3T 4T 5T 6T
s s s s s
s
t
On montre que le signal échantillonné ys(t) s’écrit :
ys(t) =
X
m(nTs)p(t − nTs)
n
où p(t) est une impulsion d’amplitude A et de durée τ
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Échantillonnage Instantané
Principe : Utiliser un échantillonneur-bloqueur
Échantillonnage
idéal
m(t)
y’ (t)
s
circuit de maintien
(bloqueur)
X
h(t)
y (t)
s
circuit de maintien
(bloqueur)
y(t)
d(t)
h(t)
d(t)
0
t
A
0
d (t)
T
y(t)
t
t
On a que,
T F {δ(t)} = 1, T F {y(t)} = Y (f ) = Aτ sin(2πf τ /2)/(2πf τ /2)
et donc H(f ) = P (f ) =P
Aτ sin(2πf τ /2)/(2πf τ /2)
On sait que Ys0(f ) = T1s n M (f − nfs) et donc la sortie de l’échantillonneur
bloqueur devient :
Ys(f ) =
Ys0(f )H(f )
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Aτ X sin(πf τ )
=
M (f − nfs)
Ts n (πf τ )
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Échantillonnage Instantané (suite)
Observations
– Les répliques de M (f ) sont déformées par la fonction P (f ) = Aτ sin(πf τ )/(πf τ )
– La récupération parfaite du signal par simple filtre passe-bas n’est plus directement possible
La solution à ce problème est d’appliquer un filtre égaliseur dont la réponse en
fréquence est de la forme :
Heg (f ) =
1
1
=
P (f ) Aτ sin(πf τ )
(πf τ )
Filtre de récupération
Égaliseur
y (t)
s
filtre
passe-bas
idéal
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1/P(f)
^
m(t)
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