Problème de gestion de production électrique à court-terme

Problème de gestion de production électrique à court-terme
dans les vallées hydrauliques
Raouia Taktak1 ∗, Claudia D’Ambrosio2 , Sonia Toubaline2
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ISIMS/LT2S, Pôle Technologique de Sfax, Tunisie
[email protected]
CNRS LIX, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France
{dambrosio,toubaline}@lix.polytechnique.fr
Mots-clés : Hydro Unit Commitment Problem, programmation linéaire mixte, graphe
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Introduction
Le problème de gestion de production hydro-électrique à court-terme consiste à trouver,
pour une vallée hydraulique, un programme de production qui minimise le coût de gestion
sous les contraintes techniques de fonctionnement. Une vallée hydraulique est composée par un
ensemble de réservoirs connectés par des unités (turbines ou pompes). Ce problème, connu aussi
sous le nom Hydro Unit Commitment Problem (HUCP), est un problème complexe présentant
plusieurs difficultés liées notamment aux contraintes techniques. Le HUCP a fait l’objet de
nombreux travaux dans la littérature. Plusieurs variantes du problème ont été considérées et
résolues avec différentes approches de résolutions [2, 3]. Dans ce travail, nous nous plaçons dans
un cadre déterministe et “price-taker”, c’est-à-dire, que nous négligeons les incertitudes liées
aux apports hydrauliques et nous supposons que les prix d’électricité sont connus à l’avance.
Sous ces hypothèses, nous présentons brièvement un programme linéaire mixte et proposons
des méthodes de reformulation pour le problème. Dans les sections suivantes, nous considérons
le cas particulier d’un seul réservoir. L’étude du cas d’un seul réservoir peut être utilisée pour
résoudre un sous-problème du problème général dans le cadre d’une décompostion Lagrangienne
par exemple.
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Modélisation en programme linéaire mixte
Dans [1], Borghetti et al. étudient le HUCP dans le cas d’un seul réservoir. Les auteurs
proposent une formulation du problème en termes de programme linéaire mixte. Notons T =
{1, . . . , t} l’ensemble des pas de temps et J = {1, . . . , n} l’ensemble des unités (turbines/pompes).
Les variables de décision du modèle incluent des variables continues à savoir
• qjt : quantité de flot dans l’unité j à la période t (j ∈ J, t ∈ T ),
• pjt : puissance électrique générée ou consommée par l’unité j à la période t (j ∈ J, t ∈ T ),
• vt : volume d’eau dans le bassin à la période t (t ∈ T ),
• st : quantité d’eau déversée à la période t (t ∈ T ),
ainsi que des variables binaires assurant l’activation/désactivation des unités et l’état de ces
dernières (en repos, en marche : pompe ou turbine). Un autre ensemble de variables binaires a
été aussi utilisé pour la linéarisation de la fonction objectif et des contraintes.
L’objectif étant de maximiser le profit total, la fonction objectif s’écrit sous la forme suivante :
max
XX
ejt −(Dj + Πt Ej )yejt ,
∆t Πt pjt −Cj w
(1)
j∈J t∈T
∗
This work benefited from the support of the “FMJH Program Gaspard Monge in Optimization and
operations research”
correspondant au coût de vente de la puissance produite moins le coût d’activation des turbines
et pompes respectivement.
D’autre part, les contraintes retenues dans le modèle peuvent être classées en deux familles :
• Contraintes globales relatives au réservoir (volume final, conservation de flot,. . .)
• Contraintes locales relatives aux unités (contraintes de bornes, contraintes de gradient,. . .)
Dans la section suivante, nous proposons une modélisation en termes de graphe ainsi que
des reformulations pour le modèle étudié dans [1].
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Modélisation en graphe et reformulations
Dans cette section, nous considérons une version restreinte du problème étudié dans [1].
Nous supposons en particulier que les variables qjt et pjt sont discrètes. Le modèle restreint
ainsi obtenu peut être par la suite utilisé pour résoudre un sous-problème du problème général.
Considérons une unité j ∈ J. À une période t ∈ T , l’unité peut être soit au repos, fonctionner
comme une turbine ou comme une pompe. Notons par Ij l’ensemble des points de fonctionnement de l’unité j ∈ J. Chaque point opérationnel i ∈ Ij est caractérisé par une puissance
pi et un flot qi . Nous associons à chaque unité j ∈ J un graphe orienté Gj = (Nj , Aj ) (voir
Figure 1) où Nj est l’ensemble des nœuds correspondant aux points de fonctionnement possibles de l’unité j ∈ J pendant les différentes périodes, et Aj est l’ensemble des arcs possibles
entre les différents nœuds de Nj . Un arc aj ∈ Aj correspond, en effet, à un changement d’état
possible de l’unité j ∈ J entre deux périodes successives.
FIG. 1 – Modélisation en termes de graphe
En se basant sur cette modélisation, nous proposons, de façon similaire, une modélisation par
réservoir agrégeant toutes les unités. Ces modélisations seront utilisées pour proposer des reformulations du HUCP. Nous montrerons, en particulier, que le HUCP se réduit à un problème
classique à savoir le plus court chemin avec contraintes.
Références
[1] Alberto Borghetti, Claudia D’Ambrosio, Andrea Lodi, and Silvano Martello. An milp
approach for short-term hydro scheduling and unit commitment with head-dependent reservoir. Power Systems, IEEE Transactions on, 23(3) :1115–1124, 2008.
[2] Milad Tahanan, Wim van Ackooij, Antonio Frangioni, and Fabrizio Lacalandra. Large-scale
unit commitment under uncertainty. 4OR, 13(2) :115–171, 2015.
[3] Raouia Taktak and Claudia D’Ambrosio. An overview on mathematical programming approaches for the deterministic unit commitment problem in hydro valleys. Energy Systems,
under revision.