1 Problème : dimensionnement d`un réacteur à gaz à cycle

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Problème : dimensionnement d’un réacteur à gaz à cycle direct :
exemple d’un réacteur HTR
Un réacteur à gaz à cycle direct à haute température (HTR) est constitué, dans le sens de parcours du
fluide, d’une chaudière, d’une turbine, d’un échangeur et d’un compresseur (voir Fig. 1). On convient de
numéroter les différents états du fluide de travail de la façon suivante :
1. l’entrée du compresseur et la sortie de l’échangeur
2. la sortie du compresseur et l’entrée du réacteur
3. la sortie du réacteur et l’entrée de la turbine
4. la sortie de la turbine et l’entrée de l’échangeur
2
Réacteur
compresseur
1
3
turbine
échangeur
4
Figure 1: Représentation schématique d’un HTR.
Le fluide de travail est de l’Hélium, considéré comme un gaz parfait. Ses capacités calorifiques massiques à pression constante et à volume constant sont considérées constantes. Les données relatives au
cycle et au fluide sont données au Tab. 1.
(γ−1)/γ
La schématisation du cycle retenu est le cycle de Brayton. Dans le problème, on note z = r p
et
Θ = T3 /T1 .
Description
Température maximale du cycle
Température minimale du cycle
Pression de sortie du compresseur
Taux de détente de la turbine
Puissance thermique du coeur
Capacité thermique massique à pression constante
Rapport des capacités thermiques
Rendement de compression
Rendement de détente
Variable
T3
T1
p2
r p = p3 /p4
P
cp
γ
ηC
ηT
Valeur
850°C
30°C
72 bar
2.7
600 MW
5.2 kJ/(kg.K)
1.67
0.87
0.93
Table 1: Données de dimensionnement d’un réacteur HTR.
1.1
Préliminaires
1.1.1
Bilan d’énergie
Pour un système ouvert, comme chacun des composants du réacteur décrit plus haut, sous quelles conditions le bilan d’énergie s’écrit-il
M ∆h = W + Q
Donner la signification des différents termes de cette équation.
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1.1.2
Travail maximal
Pour une machine comme un compresseur ou une turbine, pour des pressions amont et aval données,
montrer que le travail minimal fourni au système est celui correspondant à une transformation réversible.
Pour un gaz parfait, montrer que le travail correspondant à une transformation réversible s’exprime
uniquement en fonction du débit-masse dans le cycle, M, de la température d’entrée et d’une température
de sortie hypothétique calculée par une transformation isentropique.
Montrer que cette dernière température s’exprime en fonction du rapport des pressions amont et aval.
Définitions
Pour un compresseur à rapport de pression donné, la puissance mécanique fournie, WC , est forcément
supérieure à la valeur donnée par une compression isentropique, WCis . On définit le rendement de compression par
WCis
<1
ηC =
WC
Pour une turbine à rapport de pression donné, le travail récupéré, WT , est forcément inférieur à celui
calculé pour une détente isentropique, WTis . On définit le rendement de détente par
ηT =
WT
<1
WTis
Dans la suite du problème, on considère le rendement des machines constant et indépendant du rapport
des pressions notamment.
1.2
Cycle de Brayton
A quelles étapes du cycle de Brayton les différents composants du circuit de la Fig. 1 peuvent-ils être assimilés. Pouvez-vous justifier simplement l’utilisation du cycle de Brayton pour décrire le fonctionnement
d’un HTR ?
1.3
Débit-masse du cycle et puissance de compression
1.3.1
Bilan thermique du réacteur
Effectuer le bilan thermique du réacteur. Montrer que la puissance de coeur, P, le débit-masse du fluide
de travail, M, et les températures d’entrée et de sortie du réacteur sont liées par une relation que l’on
explicitera.
1.3.2
Efficacité de compression et température de sortie du compresseur
Connaissant le rendement du compresseur et le rapport des pressions amont et aval, montrer que l’on peut
calculer la température de sortie du compresseur par une expression de la forme
α1 − 1
T2 = T1 1 +
β1
où l’on donnera l’expression des coefficients α1 et β1 en fonction du rapport des pressions par l’intermédiaire
de z et ηC , le rendement du compresseur.
1.3.3
Débit du cycle
A l’aide du résultat précédent, donner l’expression du débit-masse du cycle, M, en fonction uniquement
des données fournies dans le Tab. 1.
2
1.3.4
Puissance de compression
En effectuant le bilan d’énergie du compresseur, calculer la puissance fournie au compresseur. L’exprimer
en fonction du débit-masse M, de la température T1 , de z et de ηC .
1.3.5
Application numérique
Pour les caractéristiques du cycle données au Tab. 1, évaluer successivement la température de sortie du
compresseur, T2 , le débit-masse du cycle, M, et la puissance fournie au compresseur.
1.4
Puissance de la détente et rendement du cycle
1.4.1
Température de sortie de la turbine
Connaissant le rendement de la détente et les pressions amont et aval, montrer que l’on peut calculer la
température de sortie de la turbine par une expression de la forme
1
T4 = T3 1 − α2 1 −
β2
où l’on donnera l’expression des coefficients α2 et β2 en fonction de z et ηT .
1.4.2
Puissance fournie par la détente
En appliquant le bilan d’énergie à la détente, montrer que la puissance fournie à la turbine peut s’exprimer
en fonction de la température d’entrée de la turbine, T3 , de z et le rendement de la détente ηT .
1.4.3
Rendement du cycle
En faisant l’inventaire des puissances échangées, calculer le rendement du cycle comme quotient de la
puissance mécanique nette récupérée à la puissance thermique fournie par la chaudière.
Exprimer le rendement en fonction du débit-masse, M, de la température T1 , du rapport des température
Θ, des rendements ηT et ηC et de z.
Exprimer le rendement du cycle de Carnot ηCarnot dont les deux isothermes seraient T1 et T3 .
1.4.4
Application numérique
A l’aide des valeurs données dans le Tab. 1, évaluer successivement la température de sortie de la turbine,
T4 , la puissance récupérée à la turbine, WT et le rendement du cycle η.
Comparer la valeur du rendement trouvée à celle du cycle de Carnot.
1.5
Optimisation du cycle
Le rendement est fonction du rapport de pression par l’intermédiaire de z. On cherche à optimiser le
rendement du cycle en choisissant bien cette dernière valeur. On note qu’en changeant le rapport de pression, le débit du cycle change. Montrer, en éliminant le débit du cycle dans l’expression du rendement
précédemment trouvée, que l’on peut l’exprimer uniquement en fonction de Θ, z, ηC et ηT .
On peut calculer analytiquement la valeur du maximum du rendement. On peut aussi la déterminr
graphiquement. Par la méthode qui vous convient, déterminer le rendement maximum du cycle. Calculer
le rapport de pression et le débit du cycle à l’optimum de rendement.
3
Réacteur
5
2
3
compresseur
regénérateur
turbine
1
4
échangeur
6
Figure 2: Représentation schématique d’un HTR avec regénérateur.
1.6
Etude du cycle avec regénérateur
On peut augmenter le rendement de l’installation en lui ajoutant un récupérateur de chaleur ou regénérateur.
Le regénérateur est un échangeur placé pour le côté chaud à la sortie de la turbine et côté froid à la sortie du
compresseur. En observant la Fig. 2, on remarque que la différence d’enthalpie disponible pour l’échange
est (h4 − h2 ). Il n’est pas possible de transférer intégralement cette enthalpie au fluide en raison de la
capacité limitée du regénérateur. Seule une fraction de l’énergie disponible peut servir à réchauffer le gaz
entrant dans le coeur.
Soit QR la puissance thermique effectivement transférée. En effectuant le bilan d’énergie sur chaque
côté du regénérateur, on obtient
QR = M (h5 − h2 ) = M (h4 − h6 )
où les notations sont celles de la Fig. 2. La puissance maximale transférable par le regénérateur est
QR∞ = M (h4 − h2 )
La fraction de cette puissance effectivement transférée définit l’efficacité du regénérateur
εR =
1.6.1
QR
QR∞
Nouvelle température d’entrée du coeur
Calculer la nouvelle température d’entrée du coeur, T5 , suite à la mise en place d’un regénérateur d’efficacité
donnée. Montrer qu’elle s’exprime simplement en fonction de T2 , T4 et εR . En utilisant les résultats des
questions précédentes, exprimer T5 en n’utilisant que les températures connues du cycle T1 et T3 et non plus
T2 et T4 .
1.6.2
Nouveau bilan du cycle
En effectuant le bilan d’énergie du coeur et en reprenant les expressions des puissances de compression et
de détente calculées précédemment, évaluer le rendement du cycle en présence du regénérateur.
1.6.3
Application numérique
On considère une efficacité du regénérateur, εR = 0.95. Evaluer successivement la température d’entrée du
coeur T5 , le débit-masse du cycle, M, le rendement et la puissance nette disponible. Comparer le rendement
calculer à celui du cycle de Carnot ηCarnot et commenter.
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