Racine carrée et PGCD

Correction de l'Interrogation de MATHEMATIQUES (Racine carrée et PGCD)
A=
A=
A=
A=
EXERCICE 1 : (3POINTS) Écrire sous la forme a + b  c : (avec a, b et c des nombres relatifs)
C = (3  2 + 4 )( 2 – 3  2 )
B =   8−3 ²
  5−2  53
C = 3  2 ×2 – 9×2 + 4×2 - 4×3  2
 5× 53  5−2  5−2×3 B =   8 ²−6  89
C = 6  2 - 18 + 8 - 12  2
5  5−6
B = 8−6  89
C = - 10 - 6  2
−1 5
B = 17−6×2  2
B = 17−12  2
EXERCICE 2 : (3POINTS) Résoudre les équations suivantes :(donner les solutions simplifiées)
x²-3 = 13
12x²+5 =3x²+17
x² = 16
12x²-3x² =17-5
9x² =12
12
Les solutions de
x² =
cette équation sont
9
4
 16 et − 16
x² =
c'est-à-dire 4 et - 4.
3
4
4
Les solutions de cette équation sont
et
.
−
3
3
2
4
23
De plus, on a
=
=
.
3
3
3
23
−2 3
Les solutions simplifées sont donc
et
3
3
EXERCICE 3 : (4POINTS)
1. Calculer le PGCD de 1 756 et 1 317 (on détaillera les calculs nécessaires).
J'utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver PGCD(1756,1317):

Étapes
1
a
b
1 756 1 317
r
439


a – bq = r

1756 - 1×1317 = 439

1317 – 3×439 = 0
On a finalement PGCD (1756,1317) = 439
2. Un fleuriste a reçu 1 756 roses blanches et 1 317 roses rouges. Il désire réaliser des
bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Chaque bouquet devra être composé du
même nombre de roses blanches et du même nombre de roses rouges.
2
1 317
439
0
a. Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.
Je note N le nombre total de bouquets.
Toutes les fleurs sont utilisées et équitablement réparties dans chaque bouquet donc : ( en notant B
le nombre de roses blanches par bouquet et R le nombre de roses rouges par bouquet)
►le nombre total de roses blanches est égale au nombre de fleurs par bouquet multiplié par
le nombre total de bouquets. 1756 = N × B.
►le nombre total de roses rouges est égale au nombre de fleurs par bouquet multiplié par le
nombre total de bouquets 1317 = N × R.
N est donc un diviseur commun de 1756 et 1317. On veux avoir le maximum de bouquets donc N
doit être le plus grand diviseur commun de 1756 et 1317. N est donc le PGCD de 1756 et 1317.
D'après 1°), PGCD(1756,1317) = 439.
Le fleuriste pourra faire au maximum 439 bouquets en répartissant équitablement les roses blanches
et rouges.
b. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
On a 1756 = 4 × 439 et 1317 = 3 × 439 donc chaque bouquet sera composé de 3 roses rouges et de
4 roses blanches.
Correction de l'Interrogation de MATHEMATIQUES (Racine carrée et PGCD)
EXERCICE 1 : (3POINTS) Écrire sous la forme a + b  c : (avec a, b et c des nombres relatifs)
A =   7−4  72
B =   6−5 ²
C= 2  361−4  3
2
2
A =   7 2  7−4  7−4×2
B =   6 −2×5× 65² C= 2  3−2  3×4  36 – 6×4 3
C= 2  3−246−24  3
A = 7−2  7−8
B = 6 – 10  625
C = −18 – 22  3
A = −1−2  7
B = 31 – 10  6
EXERCICE 2 : (3POINTS) Résoudre les équations suivantes :(donner les solutions simplifiées)
x² + 12 = 15
14x² – 6 = - 2x² + 18
x² = 15-12
14x²+2x² =18+6
x² = 3
16x² =24
24
x² =
Les solutions de
16
cette équation sont
3
x² =
et
.
− 3
2
3
3
3
Les solutions de cette équation sont
et
.
−
2
2
3
 3 =  3× 2 = 6
De plus, on a
=
2
2
2
 2×  2
6 et − 6 .
Les solutions simplifées sont donc
2
2



EXERCICE 3 : (4POINTS)
1. Calculer le PGCD de 2 219 et 1 268 (on détaillera les calculs nécessaires).
J'utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver PGCD(1756,1317):
Étapes
a
b
r
a – bq = r
1
2 219 1 268
951

2 219 - 1×1 268 = 951
2
1 268
317

1 268 – 1× 951 = 317
951

951 – 3 × 317 = 0
On a finalement PGCD (2219,1317) = 317
2. Un fleuriste a reçu 2 219 roses blanches et 1 268 roses rouges. Il désire réaliser des bouquets
identiques en utilisant toutes les fleurs. Chaque bouquet devra être composé du même nombre de
roses blanches et du même nombre de roses rouges.
a. Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.
Je note N le nombre total de bouquets.
Toutes les fleurs sont utilisées et équitablement réparties dans chaque bouquet donc : ( en notant B
le nombre de roses blanches par bouquet et R le nombre de roses rouges par bouquet.)
►le nombre total de roses blanches est égale au nombre de fleurs par bouquet multiplié par
le nombre total de bouquets. 2 219 = N × B.
►le nombre total de roses rouges est égale au nombre de fleurs par bouquet multiplié par le
nombre total de bouquets 1 268 = N × R.
N est donc un diviseur commun de 2 219 et 1 268. On veux avoir le maximum de bouquets donc N
doit être le plus grand diviseur commun de 2 219 et 1 268. N est donc le PGCD de 2 219 et 1 268.
D'après 1°), PGCD(2 219,1 268) = 317.
Le fleuriste pourra faire au maximum 317 bouquets en répartissant équitablement les roses blanches
et rouges.
b. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
On a 2 219 = 7 × 317 et 1 268 = 4 × 317 donc chaque bouquet sera composé de 4 roses rouges et de
7 roses blanches.
3
951
317
0