LES VECTEURS

V4 – Les vecteurs (exercices)
LES VECTEURS
Exercice
Soit ABC un triangle.
2
= AB
1)SoitGlepointdéfiniparAG
3
a) Construire le point G
= 0
GA + 2GB
b) Démontrer que = 0
+ 3HC
2)SoitHlepointdéfinipar2HB
= ! BC
a) DémontrerqueBH
"
b) Construire le point H
+ 3KC
= 0
3)SoitKlepointdéfiniparKA
enfonctiondeAC
a) ExprimerAK
b) Construire le point K
+ 2LB
= + 3)*
4)SoitLlepointdéfiniparLA
0
+
+
= AB
+ -*
a) DémontrerqueAL
!
,
b) Construire le point L
+ 2LB
= 3)/
5)a)DémontrerqueLA
0)EndéduirequeLestlemilieude[GC]
enfocntionde)5
+ 3LC
6)a)Exprimer2LB
0)EndéduirequeL, AetHsontalignés
7) Procéder de manière analogue pour démontrer que le point L appartient à (KB)
8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) ?
Piste : Pour faciliter la construction, choisir le triangle ABC tel que AB = 6, BC = 5 et AC = 4.
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1
V4 – Les vecteurs (exercices)
2
CORRECTION
1) b)
2
2
2
⇔ + GB
:Chasles ⇔ + GB
: = 0
AG = AB
AG = 9AG
AG − 9AG
3
3
3
2
2
1
2
− GB
= 0 ⇔ AG
− GB
= 0
⇔ AG − AG
3
3
3
3
− 2GB
= 0(onmultipliepar3) ⇔ −1GA
− 2GB
= 0
⇔ 1AG
= 0(onmultipliuepar − 1)
⇔ GA + 2GB
2) b)
= = + 3HC
+ 39HB
+ + 3HB
+ 3BC
2HB
0 ⇔ 2HB
BC: = 0 ⇔ 2HB
0
= ⇔ HB
+ 3BC
= −3BC
=
5HB
0 ⇔ 5HB
−3
3
= BC ⇔ BH
BC
5
5
3) b)
= + 39KA
+ AC
: = + 3KA
+ 3AC
= KA + 3KC
0 ⇔ KA
0 ⇔ KA
0
+ 3AC
= = −3AC
⇔ KA
=
4KA
0 ⇔ 4KA
−3
3
= AC
AC ⇔ AK
4
4
4) b)
= + 2(LA
+ + AC
) = + 3LC
LA + 2LB
0 ⇔ LA
AB) + 3(LA
0
+ 2LA
+ 2AB
+ 3LA
+ 3AC
= + 2AB
+ 3AC
= ⇔ LA
0 ⇔ 6LA
0
= −2AB
− 3AC
⇔ LA
=
⇔ 6LA
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−2
3
1
1
⇔ AL
= AB − AC
AB − AC
6
6
3
2
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3
5) a)
LA + 2LB
+ 2GB
= LG + GA + 2LG
+ = 3LG
GA + 2GB
= 0
Or GA + 2GB
= 3LG
Donc LA + 2LB
b)
+ 2LC
+ 2CB
= 3LG
LC + CA
+ 3LC
+ 2CB
= 3LG
⇔ CA
6) a)
= 2LH
+ 3LC
+ 2HB
+ 3LH
+ 3HC
2LB
+ 2HB
+ 3HC
= 5LH
= 0(>?@ABCDEF@?G2)
+ 3HC
Or 2HB
= 5LH
+ 3LC
DH où2LB
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