Bac blanc Janvier 2008

Epreuve blanche du baccalauréat STG
Mathématiques
Janvier 2008
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : (5 points)
Le tableau suivant (Insee-2006) présente l’évolution du nombre d’exploitations agricoles en France :
A
B
C
D
E
F
1 Année
1955 1970 1988
2000 2005
2 Nombre d’exploitations (milliers) 2 280 1 588 1 017
664
545
3 Indice
100
69
24
1. a) Quelle formule faut-il saisir en C3 pour compléter la ligne 3 ?
b) Indiquer les valeurs manquantes de la ligne 3.
c) Quel est le taux d’évolution du nombre d’exploitations de 1955 à 2005 ?
2. a) Donner une valeur décimale arrondie à 10−3 près du nombre réel t tel que (1 + t )5 = 0,821.
b) Déterminer alors le taux annuel moyen d’évolution du nombre d’exploitations entre les années
2000 et 2005.
c) Calculer une estimation du nombre d’exploitations en 2006 en prenant pour taux d’évolution du
nombre d’exploitations entre les années 2005 et 2006 le taux annuel moyen d’évolution du nombre
d’exploitations entre les années 2000 et 2005.
Exercice 2 : (6 points)
Le conseil municipal d’une commune décide de reboiser une partie de son territoire par la plantation
d’au moins 600 conifères, 1 600 chênes et 1 500 arbustes variés.
Le marché présente deux possibilités d’achats :
– assortiments (du type A) contenant 15 conifères, 20 chênes, 15 arbustes, pour un prix de 400 € ;
– assortiments (du type B) contenant 5 conifères, 20 chênes, 25 arbustes, pour un prix de 300 €.
On se propose de déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour que le
reboisement envisagé soit le plus économique possible.
1. Traduire par des inéquations les différentes contraintes.
2. Montrer que les contraintes sont traduites par le système d’inéquations (S) suivant où x et y sont
yà − 3 x 120
des entiers naturels : (S) yà − x 80
yà − x 60
3. On considère le graphique ci-dessous :
{
a) Donner, par lecture graphique, les équations réduites des droites D1, D2 et D3.
b) Hachurer sur le graphique donné l’ensemble des points M dont les coordonnées (x; y) ne vérifient pas le
système (S ).
c) Le conseil municipal peut-il réaliser son projet avec 70 lots de type A et 15 lots de type B ?
Justifier.
4. Soit d la dépense occasionnée par l’achat de x lots A et y lots B. Exprimer d en fonction de x et y et
d
en déduire que y = − x +
300
5. La relation obtenue à la question précédente est une équation de la droite dont les points de
coordonnées entières (x; y) déterminent la dépense d.
a. Tracer la droite (∆) correspondant à une dépense de 30 000 €.
b. Peut-on répondre aux contraintes avec cette somme ? Justifier.
6. Expliquer comment le graphique permet de repérer le point I (x; y) pour lequel la dépense d est
minimale. Lire les coordonnées de I sur le graphique puis calculer le coût minimum correspondant.
Exercice 3 : (5 points)
Dans une entreprise de vente par correspondance, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en
promotion pendant une semaine. Un jour de cette semaine, on tire au hasard le nom d’une personne
dont la commande est parvenue ce jour-là.
On admet que :
- la probabilité qu’elle achète le téléviseur est 0,6 ;
- la probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est 0,7 ;
- la probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD si elle n’achète pas le téléviseur est 0,1.
On désigne par T l’événement "la personne achète le téléviseur" et par L l’événement "la personne
achète le lecteur de DVD".
On notera et les événements contraires respectifs de T et L.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant ainsi que la colonne "probabilité du résultat".
Probabilité de résultat
0,7
…
…
L
T
…
P(T ∩ L) = 0,42
P(T ∩ L )= ...
L
…
L
…
L
... = ...
T
... = ...
2. Donner les probabilités conditionnelles PT(L), PT( L ), PT(L), PT( L ).
3. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : "la personne achète les deux appareils" ;
B : "la personne n’achète aucun des deux appareils".
4. Démontrer que P(L) = 0,46.
Exercice 4 : ( 4 points) QCM
Chaque question n’admet qu’une seule réponse.
Chaque réponse juste rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point et l’absence de réponse
donne 0 point. Un total de points négatif amène la note 0. Aucune justification n’est demandée.
On reportera le numéro de la question et de la réponse sur la copie.
On donne ci-dessous la courbe (Γ) d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ –3 ; 3,5 ],
ainsi que les tangentes à la courbe (Γ) aux points A, B , C d’abscisses respectives −2 ; 1 et 2.
1. L’équation f(x) = 0, sur l’intervalle [0 ; 3,5] a :
a) une solution
b) deux solutions
2. f ’(–2) est égale à : a) –3
b) 2
3. La tangente au point B a pour équation réduite :
a) y = – 4 x + 4
b) y = 4 x + 4
4. Sur l’intervalle [−2 ; 0 ], la dérivée f ’ est :
a) négative
b) positive
c) trois solutions
c)
c) y = − x + 1
c) change de signe
Corrigé du Bac blanc janvier 2008.
Exercice 1 :
1. a) Il faut saisir : "=C2/$B2*100".
b) Pour 1988, on trouve : 100 ó45. Pour 200, on trouve :  100 ó 29.
c) La différence d’indice entre 1955 et 2005 est : 24 − 100 = −76 donc le taux d’évolution est −76 %.
2. a) On résout : (1 + t)5 = 0,821  1 + t = 5  t ó 0,961 − 1 = −0,039.
b) Le coefficient multiplicatif entre 2000 et 2005 est ó 0,821. Le taux moyen annuel t entre 2000 et 2005
vérifie donc : (1 + t)5 = 0,821 donc t ó −3,9 %.
c) Une estimation du nombre d’exploitations en 2006 est : 5450,961 ó 524 milliers.
Exercice 2 :
1. La situation peut se résumer dans le tableau suivant :
lots A lots B minimum
conifères 15x
5y
600
chênes
20x
20y 1600
arbustes 15x
25y 1500
La contrainte sur les conifères est : 15x + 5y à 600.
La contrainte sur les chênes est : 20x + 20y à 1600.
La contrainte sur les arbustes est : 15x + 25y à 1500.
2. On a :
15x + 5y à 600  5y à −15x + 600  y à −3x + 120
20x + 20y à 1600  20y à −20x + 1600  y à −x + 80
15x + 25y à 1500  25y à −15x + 1500  y à − x + 60.
3. a) D1 a pour équation y = −3x + 120 ; D2 a pour équation y = −x + 80 ; D3 a pour équation y = − x + 60.
c) (70 ; 15) n’est pas dans le domaine des solutions de (S) donc le projet ne peut être réalisé ainsi.
d
300
5 a) d = 300  D : y = − x + 100. (La droite passe par (0 ; 100) et (75 ; 0).
b) D traverse le domaine des solutions donc on peut répondre aux contraintes avec cette somme.
6. On détermine la parallèle à D qui traverse le domaine et dont l’ordonnée à l’origine est la plus petite.
Elle passe par I(20 ; 60) donc la dépense minimale est : dm = 40020 + 30060
soit dm = 26000 €.
4. La dépense est : d = 400x + 300y soit : 300y = −400x + d  y = − x +
Exercice 3 :
Probabilité de résultat
0,6
0,4
0,7
L
0,3
L
P(T ∩ L) = 0,42
T
0,1
L
0,9
L
P(T ∩ L ) = 0,18
P( T ∩ L) = 0,04
T
P( T ∩ L ) = 0,36
2. PT(L) = 0,7 ; PT( L ) = 0,3 ; PT(L) = 0,1 ; PT( L ) = 0,9
3. A = T ∩ L donc P(A) = 0,42. B = T ∩ L donc P(B) = 0,36.
4. On a : P(L) = P(T ∩ L) + P( T ∩ L) = 0,42 + 0,04 = 0,46.
Exercice 4 : 1. b)
2. b)
3. a)
4. b)