La fonction cout - Cours DUGEAD 1ère année

C
ûtt
Laa ffoonnccttiioonn ccooû
Chhaappiittrree 66 :: L
Le coût total d’une entreprise correspond à la dépense minimum qu’une entreprise doit
envisager pour atteindre un certain niveau de production. Il se compose du
- coût du travail : L* w
( L = travail et w = salaire)
- coût du capital : coût d’achat des machines (R) + frais de maintenance (m) on note R + mK
En fait le coût d’achat a nécessité un emprunt dt les remboursement R s’étalent sur tte la durée de vie
du capital. La formule vaut alors pour une période donnée.
Mais ds la suite, on considèrera que le prix du capital est k, car introduire un terme constant R
ne changerait rien à l’analyse. Ainsi on notera D la demande de F de prod° : D(K,L) = wL + kK
II.. LLaa ffoonnccttiioonn ddee ccooûûtt ttoottaall
A
A.. D
Dééffiinniittiioonn
Maths => Relation qui lie les dépenses de prod° à la qté à produire : CT = CT (Q) , et non car il
représente seulement un niveau de production
Eco => Le coût total correspond aux dépenses minimales de production qui permettent de produire la
qté maximale.
Graphiquement => q1 = F(L,K)
On sait que la fct de production suivante: q = F(L,K)
De +, notons CT la dépense d’utilisation liée aux facteurs K
et L. On a : CT = wL + kK
Î Le producteur va chercher à minimiser sa dépense tt en
permettant de produire un niveau q1 :
q = F(K,L)
avec min CT = wL + kK
Remarque : Le coût correspond au prix des facteurs de
production.
Í Graphique : a1, a2 et a3 correspondent à des droites d’isocoût de différent niveau.
D Droite d’isocoût : Ensemble des facteurs de production qui génèrent un même coût de production (en fait
elle dépend du prix des facteurs de production).
Pour la tracer on suppose un niveau a de production :
a = wL + kK
Ù
K = (a/k) – (w/k)L
Cette droite est décroissante car pour un niveau de coût donné, si le producteur achète + de K,
cela s’effectuera au détriment du L.
Ici : - Niveau de coût a1 : Pour produire le niveau de prod° q1, ce coût est trop faible
- Niveau de coût a3 : Ce coût permet de produire q1 mais ne constitue pas la meilleure sol
- Niveau de coût a2 : Optimum => Car la droite d’isocoût est tangente à l’isocante.
BB.. C
Coom
mm
meenntt ddéétteerrm
miinneerr llee ccooûûtt ttoottaall
A partir des fcts de demande on peut obtenir le coût total de prod°, c’est-à-d l’ens des dépenses
engagées pr produire.
En fait : CT = Dépense de K + Dépense de L
Ù
CT = kKd + wLd
Ù
Ù
CT = kKd (k, w, CT = CT ( Q )
) + wLd (k, w, )
Commentaire des fcts de demande
Î Au 1er niveau : Ce sont des fcts de D particulières car elles dépendent de la qté à produire et aussi
des prix des facteurs.
Î Au 2nd niveau : Les fcts de D dépendront du prix des facteurs et du prix du produit vendu. En fait
ds un 2nd tps on élimine la qté à produire et elle est remplacée par le prix du produit. On peut faire
cela après avoir déterminé la fonction d’offre (chap suivant)
Ainsi on ne va commenter les fcts de demande qu’au 1er niveau :
Pour la demande de travail :
* Qd le prix du L aug, la D de L diminue. On a dc un facteur typique
* Qd le prix du K aug, la D de L aug car il devient moins cher. Ces facteurs st dc substituables.
*C’est une fct croissante de Q (qté à produire) car + on produit + on a besoin de facteurs.
*Elle est homogène de degré 0 : Le producteur est insensible à l’illusion monétaire.
De +, si les prix des facteurs aug ds une même proportion, alors la combinaison optimale des facteurs
ne varie pas.
C
C.. LLee sseennttiieerr dd’’eexxppaannssiioonn
D Sentier d’expansion : Il relie l’ensemble
des combinaisons de facteurs qui minimisent la
dépense qd le niveau de production varie. Il nous
donne, pour un système de prix donné, la structure
optimale des facteurs de production
Î En fait qd l’entreprise développe son
activité , les facteurs empruntent un sentier de
production.
L’équation mathématique caractérisant le sentier de production est celle qui caractérise les solutions
de moindre dépenses. Ds le cas standrad on a dc :
TMST K-L = (w/k)
D
D.. PPrroodduuccttiivviittééss m
maarrggiinnaalleess eett pprriixx ddeess ffaacctteeuurrss
Ù
PmL/PmK = w/k
Ù
PmL/w = PmK/k
ÎCela se traduit par le fait que lorsque les facteurs minimisent la dépense, les ptés marginales
des facteurs st généralement proportionnelles à leur prix d’utilisation.
Ainsi à l’optimum, TMST K-L = (w/k)
ÎCette égalité de la productivité marginale pondérée par le prix du facteur implique qu’à
l’optimum, le rapport qualité / prix du L = rapport qualité / prix du K. C’est-à-dire que le producteur
est indifférent entre dépenser 1 euro pr une unité supplémentaire de K ou de L. Cette unité
supplémentaire lui donne une même augmentation de la prod° qqe soit le facteur utilisé.
IIII.. LLeess ffccttss ddee ccooûûtt m
mooyyeenn eett ccooûûtt m
maarrggiinnaall
A
A.. D
Dééffiinniittiioonn dduu ccooûûtt m
mooyyeenn
Eco => Coût total par unité produite pr une ent donnée ( coût unitaire de prod°)
Maths =>
CT (Q) / Q
Graphiquement => C’est la pente d’une corde OM ( le pt M correspondant à un certain niveau de
prod°)
(graph p.152)
BB.. D
Dééffiinniittiioonn dduu ccooûûtt m
maarrggiinnaall
Eco => Coût généré par la prod° d’une unité supplémentaire.
Maths => (d rond) CT / (d rond) Q = CT ‘ (Q)
Relation reliant le coût moyen et le coût marginal :
Qd Cm > CM => CM croissant ( le coût moyen aug )
Ex : * Pr produire 10 unités => CM =2
* Pr la prod° d’une unité supplémentaire => Cm = 3
On va donc recalculer le coût moyen pr vérifier qu’il a bien aug : (10x2 + 3 ) / 10 + 1 = 2,090909…
Î Ainsi, si la dernière unité me coûte + que la moyenne des coûts, le coût moyen aug.
Remarques (voir exercice 13):
- Dans le cas de facteurs parfaitement substituables, Cm = CM
IIIIII.. LLee cchhooiixx dduu nnoom
mbbrree dd’’ééttaabblliissssm
meenntt
Doit-on avoir un seul site de prod° ou plsr ? On va supposer que si on a un site, ou plsr, on a la
même fct de coût ( car c’est la même technologie de production).
On suppose qu’on possède n sites équivalents : A-t-on intérêt à faire produire la même qté à chacun ?
Si les sites ne produisent pas la même qté, on aura par exemple, q1 < q2
(où q1 est la qté produite ds le site n°1 et q2, celle produite ds le site n°2)
A
A.. lleess ttrraannssffeerrttss ddee pprroodduuccttiioonn eett ll’’ooppttiim
muum
m
Q | Si on doit produire une unité supplémentaire, le fera-t-on sur le site 1 ou sur le site 2 ?
Pour le savoir, on doit comparer les Cm au site 1 et au site 2, dc Cm(q1) et Cm(q2)
(puisqu’on est ds un exemple) cela va dépendre de l’hypothèse qu’on met sur les Cm : le Cm
est-il croissant ou décroissant ? => Si on suppose que le Cm est croissant on a :
Cm(q1) < Cm(q2)
ceci car on avait vu que q1 < q2 ( l’inégalité reste ds le même
sens puisque la dérivée est positive… )
Ici, on en déduit qu’il est plus avantageux de faire produire l’unité supplémentaire sur le site 1
L’optimum
En fait, à l’optimum, Cm(q1) = Cm(q2) Ù q1 = q2
- Donc si on a Cm(q1) < Cm(q2), pour tenter de rééquilibrer, on va faire un tranfert du site 2 au site
1 ( Moins à produire sur le site 2 et + sur le site 1).
- A l’optimum il n’y a plus de transfert de production possible ce qui signifie que chaque
établissement produit de façon à ce que ts les Cm soient égaux entre eux.
BB.. LLeess eeffffeettss dd’’uunnee aauugg oouu dd’’uunnee ddiim
miinnuuttiioonn dduu nnbb ddee ssiitteess
- Plus on a de sites de prod°, + le Cm est faible car on fait produire de moins en moins sur chaque site.
- Il y a en fait 2 effets : Aug le nb de sites fait diminuer le Cm (effet positif) mais aug le CM ( effet
négatif). Effets inverses lors d’une diminution du nb de sites
C
C.. C
Coom
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meenntt cchhooiissiirr llee nnoom
mbbrree ddee ssiitteess ??
Propriété liant le Cm et le CM => minimisation du coût
On suppose que l’ent rémunère parfaitement ses facteurs des prod°. Ceci implique que le prix
est égal au CM. ( On montrera ds chap 8 que px = Cm) : On a dc Cm = CM d’après l’hypothèse.
De + on peut décomposer les 2 coûts de la manières suivante :
Où CT i correspond au coût total d’un site, n au nb de sites total détenu et à la qté totale produite
¾ CM = (CTi *( / n )) / (
¾ Cm = d CTi / d ( /n)
/n)
Prop => Montrons que le Cm passe par le minimum du CM
CM = CT(Q) / Q
On doit ensuite dériver CM par rapport à Q, pour trouver son minimum ( puisque pr trouver
un extremum, on résoud : « dérivée = 0 ») :
Cm = d CM / d Q = (Cm * Q – CT ) / Q ²
( car on sait que CT’(Q) = Cm(Q) )
Puisqu’on s’intéresse à un optimum, on pose Cm = 0 (car c’est qd la dérivée = 0 qu’on a une tangente)
On doit donc résoudre Cm * Q – CT = 0 Ù Cm = CT / Q
(c’est-à-dire CM)
Donc, qd le CM est minimal, le Cm est égal au CM => Cl : Le Cm passe par le minimum du CM
[En effet, pr savoir qd est-ce que le CM est minimal, il faut voir qd s’annule sa dérivée. Ici, sa dérivée est
Cm et elle s’annule lorsque Cm = CM]
L’ens des 2 rectangles ( en bleu) = Recettes
Rectangle du haut (orange) = Bénef
Rectangle du bas (jaune) = coûts
En effet, recettes – coûts = bénef
Si le Cm est décroissant on a qu’un seul site de prod° et le CM diminue car on ne supporte
qu’une seule fois les coûts fixes.
Solution simplifiée pr déterminer le nb d’établissement permettant de minimiser les coûts
On a vu que (q/n) représente le coût, qui est la variable qu’on cherche à minimiser.
Cas n°1 : CM croissant
Le CM est minimum en q = 0. Il faut dc choisir n de façon à ce que (q/n) soit minimum. Le
nombre d’établissment n doit donc être choisi le + petit possible.
En fait on utilise ts les établissements disponibles et on envisage d’en installer d’autres
Cas n°2 : CM décroissant
Le CM est minimum pour q infini. Il faut dc choisir n de façon à ce que (q/n) soit le + grd
possible. n va dc valoir 1.
En fait on ne va conserver qu’un seul établissement
Cas n°3 : CM en forme de U
Le CM est minimum pour q = q* (où q* représente une certaine qté). Il faut dc choisir n pr vérifier :
(q/n) = q*
dc
n = (q / q*)
En fait on va demander aux établissement de minimiser leurs coût moyen et on ne va conserver que
les établissements suffisants pr atteindre la prod° totale désirée.