(V,E), 15, voir graphe (q, u, v), 98, voir configuration d`une machine

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(V,E), 15, voir graphe (q, u, v), 98, voir configuration d`une machine
Index
(Ag , r, Ad ), 26, voir arbre binaire
(V, E), 15, voir graphe
(q, u, v), 98, voir configuration d’une
machine de Turing
., 14, voir concaténation
=, 82
Ac , 12, voir complémentaire
C[w], voir configuration d’une machine
de Turing, initiale, 99
F (G/p), 40, voir substitution
F (p1 , · · · , pn ), 40
F (t/x), 75
F (x1 , · · · , xk ), 70
L(M ), 100, 110, voir langage accepté
par une machine de Turing
L; , 135
L6= , 136
,, 35–37, 66, 73, voir double implication
⌦, voir notations de Landau, 164
), 24, 35–38, 66, 73, voir définition
inductive / di↵érentes notations d’une, voir implication
⌃, 13, voir alphabet
⌃⇤ , 13, 14, voir ensemble des mots sur
un alphabet
⌃ASCII , 13
⌃bin , 13
⌃exp , 13, 27
⌃latin , 13
⌃nombre , 13
⇥, voir notations de Landau, 164
\, 11, voir intersection de deux ensembles
[, 11, voir union de deux ensembles
✏, 13, 14, voir mot vide
⌘, 38, 75, 76, 135, 173, voir équiva-
lence entre formules, voir équivalence entre problèmes
9, 66, 76, 77, voir quantificateur
8, 66, 76, 77, voir quantificateur
-calcul, 96
m , 134, 138, voir réduction
|w|, voir longueur d’un mot
, 173, 174, voir réduction
C, 13
E, 159
N, 13
R, 13
R 0 , 13
Z, 13
A(d), 158
C, 66
F, 66
N , 27, 28, 31, 32, 34
P(E), 11, voir parties d’un ensemble
R, 66
V, 66
|=, 37, 38, 45, 50, 72–74, 87, 153, 154,
voir conséquence sémantique
µ(A, d), 158, voir mesure élémentaire
µ(A, n), 159, voir complexité d’un algorithme au pire cas, voir complexité d’un algorithme en moyenne
¬, 35, 36, 41, 66, 73, voir négation
6|=, 37, 72, 73, voir conséquence sémantique
, 103
o, voir notations de Landau, 164
⇢, 11, voir partie d’un ensemble
⇥, 12, voir produit cartésien de deux
ensembles
`, 50, 51, 61, 87, 89–91, 99, 153, 154,
208, voir démonstration, voir
231
232
relation successeur entre configurations d’une machines de
Turing
_, 35–39, 66, 73, voir disjonction
^, 35–39, 41, 66, 73, voir conjonction
uqv, 99, voir configuration d’une machine de Turing
wi , 14
hhM i, wi, 123, voir codage d’une paire
hM i, 123, voir codage d’une machine
de Turing
hmi, 122, voir codage
h i, 153, voir codage d’une formule
hw1 , w2 i, 123, 124, voir codage d’une
paire
2-SAT, 190
3-COLORABILITE, 196
3-SAT, 189
INDEX
étiqueté, 16
arcs d’un graphe, 15
arêtes d’un graphe non-orienté, 15
aristotéliciens, voir connecteurs
arité
d’un symbole de fonction, 28, 66
d’un symbole de relation, 66
du sommet d’un arbre, 17
Arith, 28, 30–32, 34, 36, 39, voir expressions arithmétiques
Arith0 , 32–34, 36, 39, voir expressions
arithmétiques parenthésées
arithmétique, voir théorie, voir théorie
de Peano, 86, 147
de Robinson, 84, 85, 147
atomique, voir formule
auto-réductible , voir problème
axiomes
d’une théorie du calcul des prédicats, 79
de l’arithmétique de Robinson, 84,
147
de l’arithmétique de Peano, 86, 147
de l’égalité, 82
de la logique du calcul des prédicats, 88
de la logique propositionnelle, 50,
51
AB, 26, 29
ABS, 29
algorithme, 49, 95, 158
efficace, 157, 168
alphabet, 13
binaire, 13
latin, 13
ambiguë, voir définition
ancêtre du sommet d’un arbre, 17
application, 12
arbre, 17, 56
binaire, 18, 26
bases de données, 65
étiqueté, 26, 27
binaire, 35
strict, 29
boucle, 100
clos dans la méthode des tableaux, branche
58
close dans la méthode des tableaux,
de décomposition
58, 60
d’une formule, 69
développée dans la méthode des
de dérivation, 31
tableaux, 60
enraciné, 16, 17, 26
ouverte dans la méthode des talibre, 16, 26
bleaux, 60
ordonné, 16, 17, 21, 26
réalisable dans la méthode des taouvert dans la méthode des tableaux,
bleaux, 61
59
bytecode, 121
plan
synonyme : arbre ordonné, voir C-complétude, voir complétude
arbre ordonné
C-dur, voir complétude
INDEX
calcul
233
du calcul propositionnel, pour la
preuve par déduction naturelle,
-calcul, 96
54
d’une machine de Turing, 100
dur, 174
des prédicats, 65
fonctionnelle du calcul propositionpropositionnel, 35
nel, 41, 42
calculabilité, 110, 121, 157
RE-complétude, voir RE-complet
calculable, 133, 143
théorème, voir théorème de comen temps polynomial, 172
plétude
fonction, voir fonction calculable
complexité,
110, 157
certificat, 175, 181, 185
asymptotique
d’un algorithme, 163
chemin, 15
d’un
algorithme,
159
simple, 15
au
pire
cas,
159
Church-Turing, voir thèse
en moyenne, 159
circuit, 15
d’un
problème, 160
hamiltonien d’un graphe, 171, 193
propre,
voir fonction
CIRCUIT HAMILTONIEN, 175, 193
compositionnalité,
39, 40
CIRCUIT LE PLUS LONG, 195
concaténation,
14
clause, 55
notation, voir .
CLIQUE, 192
conclusion d’une règle de déduction, 25
close, voir formule ou branche
configuration d’une machine de Turing,
clôture, voir propriétés
98, 99
universelle d’une formule du prenotation, voir (q, u, v), voir uqv
mier ordre, 75
acceptante, 99
co-C, 210
initiale, 99
codage
initiale,notation, voir C[w]
notation, voir h.i
refusante, 99
d’une formule, 153
conjonction, 35, 37
notation, voir h i
notation, voir ^
d’une machine de Turing, 122
coNLOGSPACE, 210
notation, voir hM i
connecteurs aristotéliciens, 35
d’une paire
connexe, 16
notation, voir hhM i, wi, voir coNP, 185, 210
hw1 , w2 i
conséquence
cohérente, voir théorie
sémantique, 45, 54, 87
COLORABILITE, 171
notation, voir |=
coloriage d’un graphe, 170, 171, 196
consistance
complémentaire, 12
d’un ensemble de formules, 45, 79
notation, voir Ac
synonyme : qui possède un modu problème de l’arrêt des machines
dèle, voir aussi modèle
de Turing, 133
d’une théorie, voir consistance d’un
notation , voir HALTING PROBLEM ensemble de formules
complète, voir théorie
coNSPACE(), 210
complétude, 138, 174
constantes, 28, 66
d’une méthode de preuve, 50
constructible
d’une théorie, 79, 87
en temps , voir fonction
234
en espace, voir fonction
contradictoire
contraire : consistant, voir consistance
synonyme : inconsistant, voir inconsistant
corps
algébriquement clos, 84
commutatif, 84
coupure, 50
synonyme : modus ponens, voir
modus ponens
COUPURE MAXIMALE, 192
INDEX
disjonction, 35, 37
notation, voir _
domaine, 71
d’une structure
synonyme : ensemble de base, voir
ensemble de base d’une structure
domaine d’une application, 12
double implication, 37
notation, voir ,
dur, voir complétude
décidable, 127
décide, 100
dénombrable, 18
décidable, 49, 127, 128, 131, 135, 157
contraire : indécidable, voir indé- efficace, voir algorithme, 168, 169, 171
cidable
égalitaire, 82
décidé, voir langage
égalité, 82, 83
déduction naturelle, 50, 53
enfant d’un sommet interne d’un arbre,
définition
17
explicite, 23
ensemble
inductive, 21, 23, 24, 26, 33
clos par un ensemble de règles
di↵érentes notations d’une, 24,
synonyme : ensemble stable par
25
un ensemble de règles, voir
non-ambiguë, 33, 36
ensemble stable par un ensemble
par le bas, 30, 31
de règles
par le haut, 30
de base d’une définition inductive,
récursive, 21
23, 24
degré de non déterminisme, 125
des mots sur un alphabet, 13
degré d’un sommet, 15
notation, voir ⌃⇤
démonstration, 49, 50, 87, 96
fermé par un ensemble de règles
à la Frege et Hilbert
synonyme : ensemble stable par
un ensemble de règles, voir
synonyme : par modus ponens,
ensemble stable par un ensemble
voir démonstration par mode règles
dus ponens
stable
par un ensemble de règles,
en déduction naturelle, 54
24, 29
par modus ponens, 51, 88, 89
ensemble de base
par récurrence, 22
d’une structure, 71
par résolution, 55
entiers, 84
par tableaux, 61
équivalence
dérivation, 30, 31
entre formules, 39, 75
descendant du sommet interne d’un arbre,
notation, voir ⌘
17
entre problèmes, 135, 174, 178
diagonalisation, 19, 128
notation, voir ⌘
diagramme espace-temps, 102
dichotomie, 158
logique
INDEX
synonyme : double implication,
voir double implication
espace, 203
logarithmique, 205
mémoire, 203
étiquettes, 16
expressions arithmétiques, 27, 28
notation, voir Arith
parenthésées, 32
notation , voir Arith0
expressivité logique, 35
EXPSPACE, 212
EXPTIME, 183, 184
extension d’une théorie, 91, 92
famille d’éléments d’un ensemble, 12
faux, 37
fenêtres légales, 110, 151, 181
feuille d’un arbre, 16, 17
fille d’un sommet interne d’un arbre,
17
fils d’un sommet interne d’un arbre, 17
fonction
constructible en espace, 210
booléenne, 35
calculable, 133, 143
constructible en temps, 182
de complexité propre, 206
de transition d’une machine de Turing, 97
définie inductivement, 33
primitive récursive, 144
forme normale, 42
conjonctive, 42, 55, 77
disjonctive, 42, 77
prénexe, 77
formule, 68
atomique, 67
close, 70
valide, 75
du calcul des prédicats, 66, 68
prénexe, 77
propositionnelle, 35, 49
réfutable par tableau, 63
valide, 49, 74, 75
235
GEOGRAPHY, 204
graphe, 15, 80, 168
notation, voir (V, E)
des configurations d’une machine
de Turing, 208
non-orienté, 15, 80
représentation, voir liste d’adjacence ou matrice d’adjacence
groupe, 83
commutatif, 83
HALTING PROBLEM, 128–131, 133,
138, 150, voir problème de
l’arrêt des machines de Turing
HALTING PROBLEM, 131, 140, 150,
151, voir complémentaire du
problème de l’arrêt d’une machine de Turing
hauteur
d’un arbre, 17
Henkin, voir témoins de Henkin
héréditaire, voir propriété, 29
hiérarchie , voir théorème, voir théorème
Hilbert, voir problème, 10ème problème
de Hilbert
homomorphisme
entre langages, 15
hypothèse d’une règle de déduction, 25
image
d’une application, 12
implication, 37
notation, voir )
incomplétude, voir théorème d’incomplétude de Gödel
inconsistance
d’un ensemble de formules, voir
contraire : consistance, 45
d’une théorie, voir inconsistance
d’un ensemble de formules
indécidable, 127, 128, 135
induction structurelle, 21, 22
inefficace, 49
instance
d’un problème de décision, 125
236
INDEX
d’une formule, 51
synonyme : calcul propositionnel,
voir calcul propositionnel
positive d’un problème de décision,
LOGSPACE, 205
125
interprétation dans une structure, 71, longueur d’un mot, 13
notation, voir |w|
73
d’un terme, 72
machines
d’une formule, 73
de Turing, 96, 97
d’une formule atomique, 72, 73
à plusieurs rubans, 108
interpréteur, 121, 122
codage, voir codage d’une maintersection de deux ensembles, 12
chine de Turing
notation, voir \
non-déterministes, 109, 125, 176
inversible, 186
restriction à un alphabet binaire,
107
k-COLORABILITE, 175
techniques de programmation, 104
langage, 13
universelles, 122, 124
accepté par une machine de Tuvariantes, 106
ring, 100
RAM, 112
notation, voir L(M )
RISC, 113
non déterministe, 110
SRAM, 113
décidé par une machine de Turing,
à k piles, 115
100
à compteurs, 116
non déterministe, 110, 176
matrice d’adjacence, 168
reconnu par une machine de Tu- mémoire, 157, voir espace mémoire
ring
mère du sommet d’un graphe, 17
synonyme : langage accepté par mesure élémentaire, 158
une machine de Turing, voir
notation, voir µ(A, d)
langage accepté par une ma- méthode des tableaux, 50, 56
chine de Turing
méthode par résolution, 50
universel, voir problème de l’arrêt modèle
des machines de Turing
d’un ensemble de formules, 45
le langage reconnu, 100
d’une formule, 37, 49
LEGAL, 151
d’une théorie, 79
lettre d’un alphabet, 13
égalitaire, 82
libre, voir occurrence ou variable
standard des entiers, 85, 86, 139,
lieurs, 70
147
liste d’ajacence, 168
modèle d’une formule, 74
littéral, 42, 55
modus ponens, 50, 51, 88
localité de la notion de calcul, 110
monoı̈de, 14
logique
mot, 13
d’ordre supérieur, 65
accepté par une machine de Tudu premier ordre, 65
ring, 99
synonyme : calcul des prédicats,
refusé par une machine de Turing,
voir calcul des prédicats
100
du second ordre, 65
vide, 13
logique propositionnelle
notation, voir ✏
INDEX
237
NAE3SAT, 191
par induction (structurelle), 21, 22,
29
NAESAT, 190
par modus ponens, voir démonsnaturel, voir problème
tration par modus ponens
négation, 35, 37
par récurrence, 22
notation, voir ¬
par résolution, voir démonstraNEXPTIME, 184
tion par résolution
NLOGSPACE, 205, 209–211
principe
nœuds d’un graphe
d’induction, 22
synonyme : sommet, voir sommet
de récurrence, 22
nombre chromatique d’un graphe, 196
problème, 121, 158, 181
NOMBRE PREMIER, 126
10ème problème de Hilbert, 96, 139
notations
auto-réductible, 182
de Landau, 164
de décision, 125, 171, 181
NP, 175–178, 184, 189
de l’arrêt des machines de Turing,
NP-complétude, 167, 177, 178
128
NP-complétude, 189–193, 195–197, 199
notation,
voir HALTING PROBLEM
NPSPACE, 209
de
la
correspondance
de Post, 139
NSPACE(), 204, 205, 207–210
naturel,
138
NTIME(), 177, 207
produit cartésien
d’une famille d’ensembles, 12
occurrence, 70
de deux ensembles, 12
libre, 70
notation, voir ⇥
liée, 70
propositions, 35
ordre supérieur, voir logique
propriété
héréditaire
P, 170, 175
synonyme : propriété inductive,
parent du sommet d’un graphe, 17
voir propriété inductive
partie
inductive, 22
d’un ensemble, 11
propriétés
notation, voir ⇢
de clôture, 132, 133
parties
PSPACE, 203, 209, 211, 212
d’un ensemble, 11
PSPACE-complétude, 204
notation, voir P(E)
PARTITION, 199
QBF, 204
père du sommet d’un graphe, 17
QSAT, 204
polynomialement vérifiable, 175
quantificateur, 65
prédicat, 22, 29, 65
existentiel, 66, 73
préfixe
universel, 66, 73
d’un mot, 14
quines, 141
propre d’un mot, 14
premier ordre, voir logique
R, 127, 130, voir décidable
prénexe, voir formule
racine d’un arbre, 17, 26
preuve, 89, 175
raisonnable, 167, 168
par tableaux, voir démonstration RE, 130, 138, voir récursivement énupar tableaux
mérable
238
RE-complet, 138
REACH, 126, 208–210
réalisation
d’une signature, 71
synonyme : structure, voir structure
recherche par dichotomie, 158
RECOUVREMENT DE SOMMETS,
192
récursif, 127, 131
contraire : indécidable, voir indécidable
synonyme : décidable, voir décidable
récusivement énumérable, 130, 132
notation, voir RE
réduction, 133, 134, 172
notation, voir , voir m
de Levin, 182
règle
axiome, 54
d’élimination, 54
d’introduction, 54
de déduction, 25, 50
de généralisation, 88
inductive, 24
relation successeur entre configurations
d’une machine de Turing, 98,
99
notation, voir `
ressources, 157
Rice, voir théorème de Rice
récursif, 145
résolvante, 55
INDEX
(pour une formule), voir satifaction d’une formule
second ordre, voir logique
sémantique, 37, 71
semi-décidable, 129–131
synonyme : récursivement énumérable, voir récursivement énumérable
signature, 66, 71
SOMME DE SOUS-ENSEMBLE, 197
sommet, 15
interne d’un arbre, 16, 17
sous-arbre, 17
droit d’un arbre binaire, 26
gauche d’un arbre binaire, 26
sous-formule, 36, 69
SPACE(), 203, 205, 207, 209
spécification, 79, 128
STABLE, 191
structure, 66, 71
substitution, 74
substitutions, 40, 89
notation, voir F (G/p)
substution, 75
suffixe d’un mot, 14
symboles
de constantes, 66
de fonctions, 28, 66
de relations, 66
syntaxe, 35, 65, 66
système complet de connecteurs, 41
systèmes de Post, 96
sémantique, 35, 37, 65
séquent, 53
SAC A DOS, 199
SAT, 171, 175, 177, 178, 182, 189, 190 tableau, 59, 60
de vérité, 37
satisfaction, 72, 73
clos dans la méthode des tableaux,
d’un ensemble de formules, 45
60
d’une formule, 37, 75, 171, 189
développé
dans la méthode des tasatisfiable
bleaux,
60
(pour un ensemble de formules)
méthode, voir méthode des tacontraire : inconsistance, voir
bleaux
inconsistance
synonyme : consistance, voir consis- ouvert dans la méthode des tableaux,
tance
60
INDEX
réalisable dans la méthode des tableaux, 61
tautologie, 38, 49, 50
témoins de Henkin, 91, 92
temps de calcul, 157, 167
terme, 18, 28, 67
clos, 67
sur une signature, 67
T h(N), 149, 150, 222
théorème, 49
synonyme : tautologie, voir tautologie
d’incomplétude de Gödel, 147, 149
lemme de point fixe, 153
preuve de Gödel, 154, 155
preuve de Turing, 149
principe, 147, 149
second théorème, 155
de compacité, 45, 46
du calcul des prédicats, 94
du calcul propositionnel, 45
de complétude, 54, 87
du calcul des prédicats, 79, 87
du calcul propositionnel, 50, 62
du calcul propositionnel, pour la
preuve par modus ponens, 53
du calcul propositionnel, pour la
preuve par résolution, 56
du calcul propositionnel, pour la
preuve par tableaux, 62
de Cook-Levin, 177
de finitude, 89
de hiérarchie
en espace, 210, 211
en temps, 182, 183
de lecture unique
du calcul des prédicats, 68
du calcul propositionnel, 36
de Rice, 136
de récursion, 141
de Savitch, 204, 209
de Tychono↵, 46
de validité
du calcul des prédicats, 91
du calcul propositionnel, 50, 54,
61
239
du calcul propositionnel, pour la
preuve par déduction naturelle,
54
du calcul propositionnel, pour la
preuve par modus ponens, 52
du calcul propositionnel, pour la
preuve par résolution, 56
du calcul propositionnel, pour la
preuve par tableaux, 61
du point fixe, 24, 30, 140–142
premier théorème, 24
second théorème, 30
premier théorème de Gödel, 87
théorie
cohérente, 88, 155
complète, 91
consistante, 79
de l’arithmétique, 139, 148
des ensembles, 23
des groupes, 83
du calcul des prédicats, 79, 80
inconsistante, 79
thèse de Church-Turing, 96, 119
tiers exclu, 54
TIME(), 169, 203, 207, 208
témoins de Henkin, 91
union de deux ensembles, 12
notation, voir [
valeur de vérité, 37, 41
valide
formule valide, voir formule
méthode de preuve, 50, 52, 87
valuation, 37, 72
variable, 66
libre, 70, 71, 76
liée, 69, 70
propositionnelle, 35
vérificateur, 175
vérification, 128
VOYAGEUR DE COMMERCE, 195
vrai, 37
Zermelo-Fraenkel, 184, 185
à sens unique, 185, 186
240
équilibré, 30
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