Chapitre III : Cinématique
Transcription
Chapitre III : Cinématique
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère Composition du mouvement Pr. Fatima BOUYAHIA 1ère Année Cycle Préparatoire III.1 Introduction III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R’ III.2.1 Position du problème III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesses III.4 Loi de composition des vecteurs-accélérations III.5 A retenir Mécanique du point matériel Chapitre 3 : Changement de repère III.1 Introduction Nous nous proposons d’établir le lien entre les mouvements d’un même point matériel dans deux repères distincts R et R’, eux même en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre. C’est Galilée qui avait entretenu dans un premier temps la relation entre les vitesses d’une même particule dans R et R’,. Les relations précises et générales sur les vecteursvitesses et les vecteurs-accélérations ont été déduites par Coriolis en 1836. Galilée Galileo Galilei Physicien et Astronome italien 1564-1642 Gustave-Gaspard de Coriolis Mathématicien Français 1792-1843 III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R’ III .2.1 Position du problème Soient deux repères R et R’ auxquels on associe respectivement les référentiels R (O, x, y, z) et R’(O’, x’, y’, z’). Pour déterminer le mouvement de R’ par rapport à R, il va falloir déterminer à tout instant la position dans R de tout lié à R’. R R’ Dans R’ : o' M ' x' e' x y ' e' y z ' e' z On suppose dans cette démarche que les composantes x' , y ' et z ' sont constantes. III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation Trouvons la vitesse : d OM dt R d OO' dt x' R d e' x dt y' R d e' y dt z' R d e' z dt R ?? = e' x , e' y et e' z sont unitaires et orthogonaux entre eux. Nous allons exploiter ces deux caractéristiques. Fatima BOUYAHIA 2 Mécanique du point matériel Chapitre 3 : Changement de repère e' x , e' y et e' z sont unitaires e' x d e' x dt R , e' y En supposant que : d e' y dt et e' z R d e' z dt R d e' x ' x e ' x dt ' xx Avec ' x un nouveau vecteur de composantes ' x ' xy . ' xz On déduit que : d e' x ' xz e' y ' xy e' z dt Et par analogie : d e' y ' yx e' z ' yz e' y dt d e' z ' zz e' x ' zy e' y dt Remarque : les composantes ' xx , ' yy et ' zz …………………………………………………………………………………………………… ………………………..…………………………………………………………………………. e' x , e' y et e' z sont orthogonaux entre eux d (e' x . e' y ) ................................................................................... dt d (e' x . e' y ) ................................................................................... dt d (e' x . e' y ) ................................................................................... dt ' x ' zx ' yx On pose : ' y ' xy ' zy Par analogie ' z ' yz ' xz Etant donnée l’indétermination des composantes ' xx , ' yy et ' zz elles peuvent prendre des valeurs quelconques. On écrit : Fatima BOUYAHIA 3 Mécanique du point matériel Chapitre 3 : Changement de repère ' x ' x e' x ' y e' y ' z e' z ' y ' x e' x ' y e' y ' z e' z ' z ' x e' x ' y e' y ' z e' z Il est donc possible de trouver un seul vecteur R' tel que : R d e' x R ' e' x R dt d e' y dt R ' e' y R d e' z R ' e' z R dt Ce vecteur caractérise la vitesse de rotation des axes de R’ dans R. Il est appelé vecteur-vitesse instantané de rotation de R’ par rapport à R. Application : On considère le repère relatif R’ de coordonnées cylindriques. Déterminons R' R ; R étant le repère cartésien. Fatima BOUYAHIA 4 Mécanique du point matériel Chapitre 3 : Changement de repère III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesse La vitesse dans R est donnée par : d O' M ' dt R d OO ' dt ' R d O' M dt R ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… = Va V (O ' ) R Vr R' R R O' M R' = Soit la loi de composition des vecteurs-vitesses donnée par : Va Ve Vr R R R' La vitesse d’entraînement V e représenta la vitesse de M dans R en considérant que M est fixe dans R’. Il se compose d’une translation et d’une rotation. III.4 Loi de composition des vecteurs-accélération L’accélération dans R est donnée par : Fatima BOUYAHIA 5 Mécanique du point matériel dV a dt R d Vr dt R d Ve dt Chapitre 3 : Changement de repère R Donc : ……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Soit la loi de composition des vecteurs - accélérations donnée par : a r e c R R R' R' III.5 A retenir …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Fatima BOUYAHIA 6