1STG,TS (IREM)

Le loto
Yves Launay*, Sandrine Picard**, André Laur***
Groupe de Statistique, IREM et IUFM de Grenoble
*Lycée Aristide Bergès (Seyssinet)
**Lycée Marlioz (Aix les Bains)
***IUFM de Grenoble
____________________________________________________
Niveau : lycée
Disciplines : Mathématiques
______________________________________________________________
Thème
L'analyse d'un jeu et la recherche de réponses à travers un outil de simulation disponible
sur internet
Ce thème peut être traité aux divers niveaux du lycée.
On trouvera dans l'un des récits un témoignage original de collaboration entre élèves de
classes et orientations différentes (1ère STG et Terminale S)
______________________________________________________________
Lien avec les programmes :
Classe de seconde :
Classe de 1ère STG :
Classe de Terminale S :
1
Le LOTO
Tous ceux qui ont simulé ont compris
Objectifs :
- se poser des questions sur un jeu de hasard et percevoir que hasard et prévisions ne sont
pas incompatibles ;
- simuler, observer la fluctuation d’échantillonnage ;
- estimer des probabilités (estimation des "chances" de gagner) ; notion d’événements
rares) ;
- apprendre à collaborer (travail en groupe dans la classe ; travail avec des élèves d'une
autre filière et d'un autre niveau) ;
- utiliser les TICE (tableur et ressource internet)
Nombre d’heures : trois séances d’une ou deux heures (prévoir cinq heures en tout).
Lien avec le programme de 1ère STG : - proportions, fréquences .
- statistiques (médiane notamment)
Dans les pages suivantes, on trouvera l'organisation de chaque séance
- d'abord pour une 1ère STG
(3 séances + une intervention d'élèves de Terminale S)
- un bref commentaire d’une expérimentation dans une classe de 2nde
(Sur fonds grisé : des commentaires après observation de qui s'est passé, des pistes pour
améliorer)
Trois annexes terminent le document, proposant des textes sur le loto et des
compléments théoriques.
2
Le loto (épisode 11)
Durée : 1 heure en classe entière.
Un temps est pris pour expliquer le principe de fonctionnement du loto : présentation d’une grille,
modalités du jeu, nombre de tirages par semaine, les différents rangs de gain2, rôle du numéro
complémentaire.
Ce temps s'est avéré nécessaire, des élèves ne connaissant pas les bases du jeu.
Premier jeu : la fiche suivante est distribuée.
Consigne : Dans chaque grille ci-dessous, cochez six numéros .
Utilisez-vous une stratégie particulière pour remplir ces grilles ?
Si oui, en dire quelques mots, sans pour autant dévoiler tous vos secrets !
Les élèves ont rapidement rempli les grilles. Quelques-uns ont répondu à la question sur la stratégie
adoptée :
- « il y a les dates d’anniversaires de la famille et les numéros qui sortent souvent »
- « les chiffres de séries télé ! »
- « les numéros fétiches »
- « totalement au hasard » .
Ces réponses n'ont pas été analysées en classe, l’objectif étant d’entrer rapidement dans le domaine des simulations.
Nous pensons que les questions posées ont aidé les élèves à s’approprier les règles du jeu et contribué à rendre
accessibles les simulations ultérieures. Dans un autre séquence, le professeur aurait pu choisir d’aller plus loin à partir
des réponses données (par exemple, en s’interrogeant sur le « totalement au hasard » et la manière de le produire avec
une calculatrice de poche par exemple).
Le professeur tire ensuite au hasard, à l’aide d’une calculatrice équipée d’un rétroprojecteur,
les deux combinaisons gagnantes.
Les élèves regardent alors s’ils ont une graille gagnante.
Ici, seules deux grilles ont obtenu trois bons numéros sur les 96 remplies (4 grilles par élèves, 24
élèves) ; il n’y a eu aucun gain aux autres rangs.
1
Nous avons laissé ici le terme « épisode », volontiers repris par les élèves.
Voir en annexe 1 la définition des sept rangs de gain au loto.
2
3
Premiers calculs et premières questions
La fiche suivante est à compléter par chaque élève :
Veuillez répondre aux questions suivantes :
1) Quel est le nombre total de grilles jouées par l’ensemble de la classe ?
2) Calculer le pourcentage de gagnants à chaque rang :
Rang
3
3+ 4
4+
5
5+
6
nombre de gagnants
gagnants (en %)
3) Cette 1ère expérimentation est-elle suffisante pour estimer les chances de
gagner au loto ? Pourquoi ?
4) À raison de 4 grilles par élève et par tirage (il y a 2 tirages par semaine) ,
calculer le nombre de semaines puis d’années nécessaires pour jouer 12 000
grilles de loto .
5) Avez-vous une idée de l’ordre de grandeur du pourcentage de gagnants à
chaque rang et du pourcentage de perdants ?
Si oui, proposez une réponse.
Les élèves ont manifesté un réel intérêt : malgré les faiblesses calculatoires de la majorité d’entre eux (certains
n'ont pu poser seuls la division utile à la question 4, d'autant plus que quelques-uns n'étaient pas au clair sur le
nombre de semaines dans une année) et malgré la difficulté à se concentrer de la plupart.
Les questions 1) et 2 n'ont pas posé de problème.
La question 3) a déconcerté les élèves. Parmi les réponses obtenues :
« non, pas assez d’expérimentation »
« il n’y a pas assez de joueurs, donc difficile de comparer »
« le nombre de grilles jouées n’est pas suffisant pour estimer les chances »
« non, car on a juste le rang à 3 numéros »
« non, car nous sommes peu à jouer par rapport au nombre de personnes qui jouent dans
toute la France »
« pas assez de personnes pour pouvoir effectuer une probabilité »
La majorité de ces réponses dénotent une intuition pertinente sur l’utilité d’avoir beaucoup de données, mais
personne ne se prononce (c’est bien naturel à ce niveau) sur un ordre de grandeur ; cette question préparait à
l'épisode 2.
A la question 4), les élèves ont calculé le nombre de semaines nécessaires pour jouer 12 000 grilles
de loto soit pour un seul élève soit pour l’ensemble de la classe (24 élèves).
Les élèves les plus à l’aise dans ces calculs ont expliqué aux autres comment procéder.
Pas de réaction des élèves sur l’ordre de grandeur (environ 30 ans) et pas de question sur le choix du nombre
12000 (cf. épisode 2). Faire traduire 12000 grilles en un nombre d’années de jeu régulier paraissait a priori de
nature à éclairer ce nombre 12000. Il conviendrait peut-être de renverser les choses et de leur demander une
approximation du nombre de grilles à jouer pour 30 ans (ou 60 ans)de jeu
Le fait de calculer le nombre de semaines pour l’ensemble de la classe semble témoigner d’une bonne intuition
que jouer en parallèle ou en série revient ici au même pour les chances de gagner.
A la question 5), les réponses étaient de natures diverses :
« environ 10 % de gagnants et 90 % de perdants, c’est un jeu de hasard »
« environ 0,001 % de gagnants »
« environ 2 % de perdants »
« moins de 25 % de la population gagnant »
« 2 % à 5 % de vainqueurs, 95 % à 98 % de perdants »
« déjà il y aura toujours plus de 95 % de perdants car en comparant avec la classe (2 %) avec un
ordre de grandeur de probabilité de 3 % je pense que les gagnants se situe entre 0 % et 5 % »
« est-ce qu’on gagne plus si on joue à chaque fois les mêmes numéros ? »
Il serait intéressant de mieux repérer comment les élèves se servent des résultats obtenus précédemment.
Certains ont à la fois compris qu’on pouvait se servir de l’expérience faite en classe, et qu’on ne pouvait pas se
fier complètement à son résultat, à savoir 2% de gagnants. Pour d’autres, le lien entre cette question et
l’expérience faite en classe n’est pas clair .
On pourrait remplacer les questions 3 et 5 par « peut-on se servir des résultats obtenus pour estimer les chances
que l’on a de gagner ? »
La dernière réaction, peu en phase avec la question posée, mérite réponse ! On peut essayer de ne regarder
que le cas des 6 numéros gagnants, pour « faire sentir » que dans les deux situations (on joue toujours la
4
même combinaison ou non), les probabilités de gagner sont les mêmes ; on peut alors faire une analogie avec
un dé, la situation gagnante étant celle où un joueur donne comme réponse le nombre que sera obtenu en
lançant un dé : ses chances de gagner sont les mêmes s’il donne toujours la même réponse ou s’il en change ;
une simulation est aisée à faire.
Le loto (épisode 2)
Durée : une heure classe entière en salle informatique
Matériel : vidéoprojecteur
Cette séance est centrée sur l’utilisation de l’application loto de Bruno Cailhol. Les élèves se
connectent à l’adresse suivante :
http://www.calmette.net/flash.php
La fiche suivante est distribuée :
Le but de l’activité aujourd’hui est de simuler environ 12 000 grilles de loto (soit environ 30 ans de
jeu à raison de 8 grilles par semaine et par personne)
Ouvrir l’application Loto et suivez les consignes suivantes :
* Appuyer sur [Tirage] pour établir le tirage de référence (six numéros gagnants et le numéro
complémentaire entre parenthèses).
* Appuyer ensuite sur [Jouer] pour simuler un tirage et observer le rang éventuel de gain.
* Appuyer sur [Simuler] pour réaliser l'expérience [Jouer] plusieurs fois et observer la distribution
des fréquences des gains.
En mode simulation, il est possible de stopper le processus en appuyant sur [Stop].
En mode simulation, les valeurs de l'axe des abscisses désignent le rang du gain.
Veuillez répondre aux questions suivantes :
1) Complétez le tableau suivant : nombre de simulations n =
Rang
7
6
5
4
nombre de
gagnants
3
2
1
5
fréquences
de gagnants
(en %)
En déduire : - la fréquence de perdants
- le gain médian Me =
f0 =
Comparez vos résultats à ceux de vos voisins et voisines.
2) Si la fréquence de gagnants au rang 1 est égale à zéro, peut-on en déduire que c’est impossible
de gagner avec 6 bons numéros ? Argumentez votre réponse.
3) En utilisant les résultats de toute la classe affichés au tableau, calculez à nouveau les fréquences
de gagnants à chaque rang.
Nombre total de simulations pour la classe N =
Rang
7
6
5
4
3
2
1
nombre de
gagnants
fréquences
de gagnants
(en %)
En déduire : - la fréquence de perdants f0 =
- le gain médian Me =
4) Quelles remarques pouvez-vous formuler à ce stade de l’expérimentation ?
L’application utilisée simule des choix de n grilles au hasard ; pour une combinaison gagnante, elle aussi choisie
au hasard, l’application fournit les nombres et proportions de ces n grilles qui sont gagnantes, selon leur rang de
gain ; ces calculs se font en continu lorsque n croît. L’utilisation a été un peu détournée : cela n’a posé aucun
problème d’admettre que les chances de gain sont les mêmes que si une même personne jouait lors de n tirages
successifs, le choix de la combinaison gagnante se faisant au hasard à chaque fois.
Question 1)
Dans l'ensemble des simulations faites en classe, on n'a observé des gagnants qu'aux rangs 7 , 6 ,
5 et 4. Le pourcentage de gagnants était toujours entre 1,5 et 2 % .
Les élèves ont rencontré des difficultés à calculer la fréquence de perdants (autour de 98 %) et le gain médian (0
évidemment) ; le professeur a dû les mettre sur la voie.
Les élèves font la remarque qu’ils ont tous et toutes des résultats très proches.
Question 2)
Les élèves hésitent à se prononcer. Voici quelques-unes de leurs réponses :
« Non, cela dépend du nombre de joueurs : plus il y en a, plus on a de la chance pour gagner »
« Non je ne pense pas mais cela doit être rare car nous voyons très généralement qu’il n’y a
aucun gagnant »
« c’est possible avec beaucoup de chance »
« si , c’est possible si on joue à plusieurs »
« non, car il y a déjà eu des gagnants avec 6 numéros »
« non, ça doit être impossible de gagner »
« non, ça vaut juste dire que sur 288 538 il n’y a pas de gagnant , donc qu’il y a pas beaucoup
de chance de gagner »
« Non, c’est un jeu de « hasard » il existe toujours des chances »
« Non ce n’est pas impossible mais extrêmement rare »
Dans ces réponses, les élèves tiennent comptent de la connaissance qu’ils ont des règles du jeu. On peut alors
mentionner, en cherchant des situations qui illustrent ce propos, que ce n’est pas parce qu’on n’observe pas un
événement sur un grand nombre de cas qu’il ne peut pas se produire.
6
Question 3)
Les élèves défilent à tour de rôle pour entrer leurs résultats qu’ils visualisent au tableau
à l’aide d’un vidéoprojecteur.
nombre de gagnants à chaque rang
élève
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
total
fréquences
(en %)
nombre de
simulations
12014
12001
12000
12006
12004
12009
12004
12050
12050
12266
12002
12001
12017
12006
12002
12066
12003
12000
12002
12001
12014
12006
12001
12013
288538
3
193
170
205
190
202
199
196
186
207
310
228
197
206
201
209
166
179
200
206
194
206
181
201
221
3+
16
16
17
14
14
19
13
16
17
30
11
22
13
9
10
17
13
13
13
6
10
21
12
19
4
9
16
9
7
15
4
15
8
7
10
9
8
13
12
11
13
10
16
13
9
15
8
12
12
4853
3
1,682
361
3+
0,125
261
4
0,090
4+
0
0
1
2
1
0
1
1
2
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
1
0
5
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
5+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
4
0
0
4+
5
5+
6
0,005 0,001 0,000 0,000
Les élèves trouvent ensuite les formules à entrer pour calculer la ligne « total » et la ligne
« fréquences » et recopient ces formules vers la droite.
Ils constatent que la fréquence de perdants (98,099 %) est quasiment identique à celle trouvée
pour les simulations individuelles.
Question 4)
Voilà les remarques obtenues : (on a laissé les fautes d’orthographe)
« Le nombre (la proportion) de perdants est le même lorsqu’il y a peu ou beaucoup de joueurs »
« La fréquence de perdants est toujours supérieure à 50 %, donc la médiane vaut toujours 0 »
« Il n’y a pas beaucoup de gagnant, on a peut de chance de gagner au loto ! »
« Les chances de gagné sont petites, limite inexistante ; 1 gagnant à 6 après 92 000 stimulation »
« Il y à très peu de chance de gagner ; N= 290 538 , rang 2 = 0 »
« Beaucoup de joeurs ne gagne rien et très peu atteigne le 4 ou plus;132 665 : pas de gagnant au rang
2»
« Nous pouvons remarqué qu’un gagnant à 6 chiffres est très improbable de gagner à 288 538 »
« Peu importe le nombre de tirage effectuer, les chances de perdrent sont les mêmes ;
à 843 500 aucun gagnants aux rangs 1 et 2 »
« Même si on joue à plusieurs on n’arrivera pas à gagner avec 6 bons numéros »
« Faire 12 000 grille ou plus les résultats sont quasiment pareil »
7
Certains élèves ont laissé tourner l’application durant toute l’heure pour voir comment évoluaient le
nombre de gagnants et les fréquences à chaque rang .
Voici les résultats donnés à la fin de la séance par ces élèves.
N
1 008 700
7
16 641
6
1199
5
926
4
44
3
20
2
0
1
0
Commentaire d’un élève : « C’est presque impossible de gagner au loto »
En conclusion, les élèves ont apprécié cette séance informatique jugée particulièrement
« ludique et parlante » à leurs yeux, mais ils ont néanmoins du mal à se poser des questions sur ce
sujet .
Le loto (épisode 3)
Durée prévue : une heure classe entière (mais cela a largement débordé sur l’heure suivante)
Organisation : constitution en groupes de 4 élèves (soit ici 6 groupes).
Objectif : estimer le nombre de grilles jouées lors d’un tirage du loto.
L’idée est que chaque groupe propose une estimation ou un encadrement du nombre de grilles ayant
participé à ce tirage. Deux méthodes distinctes sont proposées dans les fiches distribuées (voir cidessous).
Fiche 1 (pour trois groupes)
Le site de la Française des jeux fournit le résultat suivant (2ème tirage du mercredi 3 janvier
2007) :
La Française des jeux ne fournit pas le nombre N de grilles qui ont été remplies.
On va donc essayer de l’estimer.
En utilisant le tableau ci-dessus, calculer :
1) le nombre total de gagnants : n = …………..
2) la somme redistribuée aux gagnants : S = ………………..
Méthode 1 (pour estimer le nombre N de joueurs) en supposant que toutes les grilles ont
été remplies par Flash (donc au hasard).
Chaque groupe devra utiliser une des fréquences calculées lors de la séance 2. .
Rappel des fréquences de l’épisode 2 : f3 = 1,682 % , f3+ = 0,125 % , f4 = 0,009 % .
Explication : f i ≈
ni
d’où
N
N≈
ni
, où ni désigne le nombre de gagnants au rang i .
fi
8
3) Utiliser les fréquences f3 (groupe 1), f3+ (groupe 2), f4 (groupe 3) et le tableau ci-dessus
pour calculer une valeur approchée de N :
N ≈ …………………………………
Avec cette estimation de N :
4) Calculer le gain moyen x d’une grille remplie
x ≈ ……………….
5) Sachant qu’une grille coûte 0,30 euros, calculer la somme totale misée à ce tirage
6) Calculer le pourcentage des mises redistribuées aux gagnants
Inscrire tous ces résultats au tableau pour une discussion en commun .
Commentaires sur les difficultés rencontrées par les élèves de ces groupes pour chacune des
questions :
Question 1) Pas de problème pour calculer n.
Question 2) Beaucoup d’élèves ont calculé la somme des gains sans tenir compte du nombre de
grilles gagnantes à chaque rang. Le professeur a dû intervenir pour les guider.
Question 3) Quelques erreurs commises dans le calcul de N en laissant les fréquences en
pourcentages.
Une question posée aux élèves sur la pertinence de l’ordre de grandeur du résultat les remet sur la
voie (il y a environ 300 000 gagnants, l’ordre de grandeur du résultat doit être environ 50 fois
plus si on prend un pourcentage de gagnants de l’ordre de 2%).
Question 4) Pour le calcul du gain moyen, certains élèves oublient de tenir compte des perdants,
d’où un gain relativement élevé que ces élèves ne mettent pas en doute. Le professeur laisse
aux élèves qui ont compris la cause de l’erreur le soin d’expliquer aux autres.
Quelques élèves ont pensé à utiliser les listes de leur calculatrice pour ce calcul de moyenne.
Questions 5) et 6) Des élèves ont du mal à faire le lien entre les questions précédentes.
Fiche 2 (pour les 3 autres groupes)
Le site de la Française des jeux fournit le résultat suivant (2ème tirage du mercredi 3 janvier
2007) :
La Française des jeux ne fournit pas le nombre N de grilles qui ont été remplies.
On va essayer d'en donner un encadrement.
En utilisant le tableau ci-dessus, calculer :
1) le nombre total de gagnants : n = …………..
2) la somme redistribuée aux gagnants : S = ………………..
9
Méthode 2 (pour estimer le nombre N de joueurs) :
Sur la totalité des sommes misées par les joueurs, une part est redistribuée aux gagnants ; le taux
de cette redistribution est défini de façon complexe par des textes publiés au Journal Officiel ; il
est inférieur à 50%.
3) Sachant qu’une grille remplie coûte à un joueur 0,30 euro par tirage, chaque groupe choisit de
calculer une estimation de N en utilisant l’un des taux de redistribution suivants :
groupe 4 : 40 % , groupe 5 : 45 % , groupe 6 : 50 % .
4) Chaque groupe calcule, pour son estimation de N, le gain moyen x d’une grille remplie
x ≈ ……………….
Inscrire tous ces résultats au tableau pour une discussion en commun .
Commentaires sur les difficultés rencontrées par les élèves de ces groupes pour chacune des
questions :
Question 2) On observe la même erreur que dans les groupes 1, 2 et 3 .
Question 3)
Les élèves des trois premiers groupes ont peiné à mettre en équation le problème posé.
A noter que le résultat final sur N est souvent donné par les élèves avec deux décimales !
Question 4) Même erreur commise que dans les groupes 1 , 2 et 3 pour le calcul du gain moyen.
Î Affichage des résultats de l'ensemble de la classe .
Pour chaque groupe, un élève vient au tableau compléter les cases qui concernent son groupe
groupe
valeur de N
gain moyen
% des mises
redistribuées
1 (avec f3)
16 551 426
(avec f3+)
14 698 400
3(avec f4)
17 038 889
4
26 373 860
5
23 443 432
6
21 099 088
0,19
64
0,22
72
0 ,18
62
0,12
40
0 ,135
45
0,15
50
Commentaires des élèves :
« Un joueur joue au minimum 4 grilles et non une comme ici, donc la somme totale misée est
faussée. Les premiers chiffres données sont approximatifs donc le reste aussi. La fdj en profite » .
« Il n’y a pas tout les gens qui jouent au loto flash »
« Plus on joue de grilles, plus on a de chances de gagner »
« Les écarts peuvent dépendre de la somme que la fdj met en jeu » .
« Ceci nous a permis de savoir si le jeu est rentable pour les personnes y jouant » .
« Les joueurs sont sûrement plus nombreux dans la réalité et peuvent jouer plusieurs fois et plus que
0,60 euro » .
Les élèves n’arrondissent pas leur résultat. Cela ne facilite pas la comparaison des ordres de grandeur, qui ne leur est
pas naturelle. Si c’est à refaire, on pourrait donner plus de poids à la manipulation des ordres de grandeur. En
particulier, c’est intéressant de leur demander à tous d’estimer de tête, avant tout calcul, un ordre de grandeur: il y aurait
environ 300 000 gagnants, donc environ 300 000/0,02=15 millions de grilles remplies si celles-ci étaient remplies avec
Flash ; ils peuvent ensuite, à titre d’exercice, faire de tels calculs pour des tirages d’autres jours.
Le modèle où toutes les grilles sont remplies au hasard est invalidé pour ce tirage. On notera cependant que le nombre
des joueurs est entre 15 et 30 millions : les ordres de grandeurs sont les mêmes dans tous les calculs, en prenant la
notion des physiciens (les ordres de grandeurs de 2 grands nombres sont égaux si le rapport du plus grand au plus petit
est inférieur à 10).
Les élèves de 1ère Gestion, peu enclins d’habitude à faire des mathématiques ont bien participé.
Ils ont trouvé les questions et les calculs parfois difficiles. Pourtant, ils avaient déjà abordé des
notions de ce type dans des chapitres au programme : proportions, pourcentages, mais ils ont du mal
à reconnaître ces situations. D’où l’intérêt de faire participer à cette expérimentation une classe de
première STG même si a priori la tâche n’est pas aisée .
10
Le loto (épisode complémentaire) : Intervention d'élèves de Terminale S.
Le professeur a expliqué à ses élèves de Terminale S que des élèves de 1ère GESTION avaient
besoin de leurs services pour calculer les probabilités de gain à chaque rang au loto.
Il a donné à quelques élèves sous la forme d’un devoir maison (voir les réponses en annexe 3) le
travail que voici :
Devoir à la maison :
Au loto, le système flash consiste à choisir au hasard 6 numéros parmi les nombres entiers de 1 à
49.
Le résultat gagnant d’un tirage au loto comprend 6 numéros plus un numéro complémentaire.
1) Calculer le nombre de grilles possibles avec 6 numéros pris parmi 49.
2) Compléter le tableau suivant :
Nombre de grilles possibles :
avec 6 bons numéros
avec 5 bons numéros plus le complémentaire
avec 5 bons numéros
avec 4 bons numéros plus le complémentaire
avec 4 bons numéros
avec 3 bons numéros plus le complémentaire
avec 3 bons numéros
Nombre de grilles gagnantes
Nombre de grilles perdantes
Indiquez les calculs effectués.
3) Compléter le tableau suivant :
Probabilité d’obtenir une grille :
écrire les résultats sous forme décimale
avec 6 bons numéros
avec 5 bons numéros plus le complémentaire
avec 5 bons numéros
avec 4 bons numéros plus le complémentaire
avec 4 bons numéros
avec 3 bons numéros plus le complémentaire
avec 3 bons numéros
gagnante
perdante
Expliquez les calculs effectués sur deux exemples : 5 bons numéros, 3 bons numéros.
4) On note pn la probabilité d’avoir au moins une grille avec 6 bons numéros en jouant n grilles
remplies au hasard.
a) Exprimez pn en fonction de n .
b) Compléter le tableau suivant. Proposez un commentaire à la lecture de ce tableau.
n
105
103
104
106
107
108
pn
Voir l'annexe 3 pour les résultats.
Huit élèves ont rendu ce devoir et cinq ont accepté de venir exposer leurs résultats aux élèves de
1ère Gestion .
11
Déroulement de cette séance.
Quatre élèves de 1ère Gestion ont présenté les trois épisodes de l’expérimentation : ils ont expliqué
les activités effectuées et les résultats obtenus.
Les cinq élèves de Terminale S ont ensuite pris la parole pour expliquer dans l’ordre :
- le nombre de grilles possibles à chaque rang sans parler de combinaisons.
Un élève a introduit la notion de factorielle n et sa notation n ! en s’appuyant sur un exemple.
Cela a été bien compris par les élèves de 1ère . Sauf pour les rangs 6 et 5+ , l’explication du
nombre de grilles pose par contre problème; deux élèves de Terminale S ont commenté le calcul
pour les rangs 3 et 4+ , mais les élèves de première ont eu du mal à suivre (il est intéressant que
cette difficulté pédagogique se passe pour une fois entre élèves !).
- les probabilités de gagner à chaque rang : calculs bien compris par les élèves de 1ère qui
connaissent la formule «
nombre de cas favorables
».
nombre de cas possibles
Les élèves des deux classes ont alors comparé leurs résultats respectifs :
Probabilités (Terminale S)
Fréquences en %
ère
(exprimées en %)
( 1 gestion , épisode 2)
avec 6 bons numéros
0,000
0,000007
avec 5 bons numéros plus
0,000
0,00004
le complémentaire
avec 5 bons numéros
0,001
0,0018
avec 4 bons numéros plus
0,005
0,0045
le complémentaire
avec 4 bons numéros
0,090
0,092
avec 3 bons numéros plus
0,125
0,123
le complémentaire
avec 3 bons numéros
1,682
1,642
gagnante
1,903
1,864
perdante
98,097
98,136
Tous les élèves ont constaté la convergence des résultats. Le professeur en a profité pour
reparler du le lien entre fréquences et probabilités.
- la probabilité pn d’avoir au moins une grille avec 6 bons numéros en achetant n billets,
chacun étant rempli au hasard ; les élèves de 1ère ont bien compris l’explication donnée par un
élève de terminale qui a insisté sur les valeurs de pn suivantes :
0,51 pour n = 107 et 0,999 pour n = 108 .
A noter ici deux remarques d’élèves spontanées :
«Pourquoi seulement une chance sur deux avec 10 millions de grilles jouées alors qu’il y a
14 millions de grilles possibles » .
« Pourquoi ne pas jouer 100 millions de grilles pour être sûr de gagner ? »
Il ne faut pas oublier qu’ici, les n grilles sont choisies au hasard : on peut retomber plusieurs fois sur
la même grille.
Faute de temps, il n'a pas été possible de réagir à ces remarques (voir l'annexe 3 à propos de
ces questions).
Conclusion :
C'est la première fois que le professeur tentait cet exercice d’exposés croisés entre élèves de classes
et niveaux différents.
12
Les élèves de Terminale étaient partants, ils avaient demandé avant la séance comment expliquer à
des élèves de 1ère la notion de combinaison ; le professeur leur avait indiqué de ne pas en parler et
de trouver un moyen détourné ( la notion de factorielle) et d’utiliser un vocabulaire simple.
Ces élèves de Terminale se sont rendus compte de la difficulté de ce qui leur était demandé et se
s’en sont globalement bien sortis .
Les élèves de 1ère ont apprécié que des élèves de terminale S accordent de l’attention à leurs
travaux. Malheureusement, une dizaine d’élèves de 1ère ne s’est pas sentie concernée par les
explications fournies par les Terminales et a suivi la séance « d’une oreille distante ».
Un tel échange ne peut être que bénéfique pour les deux niveaux et mérite d’être renouvelé.
Le loto dans une classe de seconde
L'activité ci-dessus a été reprise, avec des difficultés et des succès comparables à la
précédente, dans une classe de seconde. Pour la partie simulation, les élèves se sont montrés
enthousiastes : certains ont laissé tourner l’application loto sur l’ordinateur pendant toute l’heure,
curieux de savoir s’ils obtiendraient 6 numéros gagnants. Ils convertissaient spontanément (après
l’avoir fait une fois en classe) le nombre de parties jouées en nombre d’années de jeu pour une
personne. Certains élèves ont fait tourné le logiciel chez eux, et ont parfois obtenu les 6 numéros
gagnants tard dans la nuit !
Cette activité permet de travailler la fluctuation d’échantillonnage, la médiane, la moyenne
et amorce une réflexion sur les événements rares.
Pour l’estimation du nombre de grilles jouées, lors d’un tirage, il avait été décidé, par souci
de réalisme de travailler sur les deux tirages d’un même jour, ceux du samedi 3 mars 2007. On a
additionné les nombres de gagnants par rang des 2 tirages pour une estimation à partir des
fréquences (cf. méthode 1 de l'épisode 3 ci-dessus), et on a estimé ainsi le nombre des grilles jouées
aux deux tirages. D’après les règles du loto, chaque grille remplie est présentée aux deux tirages
d’un même jour : il a donc fallu ensuite diviser par 2 le nombre de grilles estimé. Voici les résultats
aux deux tirages du 3 mars :
1er tirage : 26
27 34 37
38
Rapports pour le 1er tirage:
Nombre de
grilles
6 bons numéros
1
5 bons numéros +
12
complémentaire
5 bons numéros
625
4 bons numéros +
1842
complémentaire
4 bons numéros
27 437
3 bons numéros +
44 213
complémentaire
3 bons numéros
434 191
42
( 35 )
2eme tirage :
Gains
1 948 445,00
7 905,30
528,20
28,00
14,00
3,20
1,60
4
9
10
15
19
Rapports pour le 2eme tirage:
Nombre de
grilles
6 bons numéros
4
5 bons numéros +
7
complémentaire
5 bons numéros
313
4 bons numéros +
706
complémentaire
4 bons numéros
16 029
3 bons numéros +
20 164
complémentaire
3 bons numéros
299 078
36
(8)
Gains
228 802,00
13 524,70
1 040,20
49,80
24,90
5,20
2,60
L’observation des données bouleverse les questions qu’on aurait voulu se poser : la
différence, pour un même nombre de grilles jouées, entre le nombre des gagnants (508 321 au
premier tirage et 336 301 au second) ne saurait être le fait de la fluctuation d’échantillonnage dans
le cadre du modèle flash.
S’agit-il d’un cas exceptionnel ? Pas vraiment, comme on peut le voir sur le graphique cidessus, où figurent le nombre des gagnants à chacun des tirages des mois de mai et juin 2007
(tirages 35 à 52)3.
3
Pour avoir un ordre de grandeur : si 30 millions de grilles remplies avec le système Flash sont jouées pour les deus
tirages d’un même jour, la loi de la différence du nombre de gagnants peut être approchée par une loi normale de
moyenne 0 et d’écart-type σ
≈ 2 × 3 × 107 × 0, 02 × 0,98
où σ < 1600, en arrondissant à 0,02 la probabilité de gagner. La
13
On peut envisager l’explication suivante, qui demande à être étayée : certains nombres et
stratégies de remplissage des grilles sont privilégiés par les joueurs ; un tirage qui contient certains
de ces nombres fétiches ou qui obéit a une stratégie en vogue aurait donc beaucoup plus de
gagnants que s’il ne contient pas de tels nombres et ne satisfait à aucune des stratégies envisagées.
550000
Nbre gagnants rang 1
500000
Nbre gagnants rang 2
450000
400000
350000
300000
250000
200000
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
numero du tirage
Annexe 1.
Extrait du Règlement du loto
(règlement complet, publié au JO, accessible à l'adresse : http://www.fdjeux.com/)
8.2. Définition de chaque rang de gains
8.2.2. Dès que le résultat du tirage auquel ils participent est connu, ces ensembles de
numéros joués sont classés par rangs comme ci-dessous pour Loto® et Super Loto®.
L'ordre dans lequel les numéros figurent dans un ensemble est indifférent.
• 1er rang : ensemble constitué par les 6 premiers numéros extraits lors du tirage.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur
13 983 816.
• 2ème rang : ensembles constitués par 5 des 6 premiers numéros extraits plus le
numéro complémentaire.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 2 330 636.
• 3ème rang : ensembles constitués par 5 des 6 premiers numéros extraits.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 55 491.
• 4ème rang : ensembles constitués par 4 des 6 premiers numéros extraits plus le
numéro complémentaire.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 22 197.
• 5ème rang : ensembles constitués par 4 des 6 premiers numéros extraits.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 1 083.
• 6ème rang: ensembles constitués par 3 des 6 premiers numéros extraits plus le
numéro complémentaire.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 812.
• 7ème rang : ensembles constitués par 3 des 6 premiers numéros extraits.
Pour 6 numéros joués, la probabilité de gain à ce rang est d’une chance sur 61.
8.2.3.
• Les ensembles dans lesquels figurent moins de trois des six premiers numéros extraits
ne sont pas gagnants.
probabilité que la valeur absolue de cette différence dépasse 10 000 est bien inférieure à 1/10 000. La différence est ici
supérieure à 150 000 !
14
Annexe 2 : Part des mises redistribuée aux joueurs
Cette part est difficilement calculable par le citoyen lambda.
Son calcul s'appuie sur une série de textes réglementaires, tous publiés au Journal Officiel.
Le texte 1 (arrêté du 9 mars 2006) indique que les sommes misées aux jeux sont affectées en 8 parts
(article 1er), puis que la 1ère part (celle dévolue aux jeux) est à son tour affectée en 2 parts
(article 2) : dont 50,485% aux gagnants (s'agit-il de 50,485 % des sommes misées ou de la part
dévolue au jeu ?).
Le texte 2 (règlement du loto) explique comment cette part dévolue aux gagnants est à son tour
répartie entre les gagnants au loto.
A noter que l'achat d'une grille coûte 0,60 euro, et que cette grille participe aux 2 tirages d'un jour
donné : d'où le montant de 0,30 euro retenu pour le prix d'une grille par tirage.
Rien n'est fait pour faciliter le suivi de ces importantes sommes d'argent !
Texte 1 : Arrêté du 9 mars 2006 fixant la répartition des sommes misées sur les
jeux exploités par La Française des jeux
Le ministre délégué au budget et à la réforme de l’Etat, porte-parole du Gouvernement,
Vu les articles 919 A, 919 B et 919 C du code général des impôts ;
Vu les articles L. 136-7-1 et L. 136-8 du code de la sécurité sociale ;
Vu la loi de finances du 31 mai 1933, et notamment son article 136 ;
Vu la loi de finances pour 1985 (no 84-1208 du 29 décembre 1984), et notamment son article 42 ;
Vu la loi de finances pour 2006 (loi no 2005-1719 du 30 décembre 2005), et notamment son article
53-III ;
Vu l’ordonnance no 96-50 du 24 janvier 1996 relative au remboursement de la dette sociale, et
notamment ses articles 18 et 19 ;
Vu le décret no 78-1067 du 9 novembre 1978 modifié relatif à l’organisation et à l’exploitation des
jeux de loterie autorisés par l’article 136 de la loi du 31 mai 1933 et par l’article 48 de la loi no 941163 du 29 décembre 1994 ;
Vu le décret no 85-390 du 1er avril 1985 modifié relatif à l’organisation et à l’exploitation des jeux de
pronostics sportifs autorisés par l’article 42 de la loi de finances pour 1985,
Arrête :
Art. 1er. − Les sommes misées aux jeux organisés et exploités par La Française des jeux en France
métropolitaine et dans les départements d’outre-mer sont affectées comme suit :
1. Part dévolue au jeu, composée de la part affectée aux gagnants et de la part affectée aux dotations
structurelles des fonds de contrepartie, telles que mentionnées à l’article 2 ci-dessous ;
2. Droit de timbre prévu aux articles 919 A, 919 B et 919 C du code général des impôts, pour les jeux
concernés par ces articles ;
3. Contribution sociale généralisée en application des articles L. 136-7-1 et L. 136-8 du code de la sécurité
sociale ;
4. Contribution instituée par l’article 18 de l’ordonnance no 96-50 du 24 janvier 1996 ;
5. Prélèvement au profit de l’établissement public chargé du développement du sport institué par
l’article 53-III de la loi no 2005-1719 du 30 décembre 2005 ;
6. Frais d’organisation et de placement, en pourcentage des mises : 12,200 % pour les jeux de loterie
instantanée, 11,950 % pour les jeux Loto et Super Loto et le jeu Joker+ exploité conjointement avec les
jeux
Loto et Super Loto et 11,550 % pour les autres jeux, y compris le jeu Joker+ exploité seul ou avec d’autres
jeux que les jeux Loto et Super Loto ;
7. Taxe sur la valeur ajoutée au taux en vigueur applicable aux frais d’organisation et de placement ;
8. Recettes du budget général de l’Etat pour le solde.
Art. 2. − La part des sommes misées qui est dévolue au jeu se compose de la part affectée aux gagnants
(pour les jeux de contrepartie, celle-ci est fondée sur le calcul des probabilités de gains et sur l’expérience
statistique) et de la part affectée à la dotation structurelle du fonds de contrepartie, en application de
l’article 14
du décret no 78-1067 du 9 novembre 1978 et de l’article 15 du décret no 85-390 du 1er avril 1985. Ces parts
sont les suivantes :
1. Pour Loto et Super Loto, la part affectée aux gagnants est de 50,485 %
…
15
Texte 2. Règlement du loto (extraits)
8.3. Pourcentage de la part des mises dévolue aux gagnants attribué à chaque rang
8.3.1. La part des mises dévolue aux gagnants au titre d’une journée de tirages du Loto® est
divisée en deux parties égales. Chaque partie est affectée à chaque tirage de la journée
selon les pourcentages mentionnés dans le tableau ci-dessous.
1er tirage du Loto® 2ème tirage du Loto®
Tirage du Super Loto®
1er rang
29,10%
45,40%
56,00%
2ème rang
3,10%
3,10%
3,85%
3ème rang
10,30%
10,30%
8,90%
4ème et 5ème rangs
13,60%
13,60%
13,75%
6ème et 7ème rangs
27,60%
27,60%
17,50%
Fonds de Super Cagnotte*
16,30%
* Les sommes constituant le Fonds de Super Cagnotte sont ajoutées à la part des mises dévolue aux
gagnants de 1er rang du 2ème tirage du Loto® du même jour.
Annexe 3 : quelques calculs sur le loto
1. Probabilités de gagner à un tirage donné en jouant une grille au hasard
Grilles gagnantes
avec 6 bons numéros
avec 5 bons numéros plus le
complémentaire
avec 5 bons numéros
avec 4 bons numéros plus le
complémentaire
avec 4 bons numéros
avec 3 bons numéros plus le
complémentaire
avec 3 bons numéros
quel que soit le rang
nombre
1
6
probabilité
7,15×10-8
4,29×10-7
252
630
1,8×10-5
4,5×10-5
12 915
17 720
9,23×10-4
1,23×10-3
229 600
261 124
1,64×10-2
1,87×10-2
Une conclusion humoristique : "Même si 100% des gagnants avaient tenté leur chance, on peut
aussi dire que les chances de gagner au lot, en jouant une grille sont sensiblement les mêmes
qu’en ne jouant pas" [en effet : 0,019 ≈ 0]
2. On note pn la probabilité d’avoir au moins une grille avec 6 bons numéros en jouant n
grilles remplies au hasard.
On a : pn = 1- (1-1/N)n où N est le nombre total de grilles possibles [ N=13 983 816 ].
Pour n petit devant N, on peut utiliser l'approximation :
pn = 1- (1-1/N)n ≈ n/N
Pour de plus grandes valeurs de n, cette approximation n'est plus valable comme on peut le voir sur
le tableau ci-dessous :
16
n
pn
103
0.00007
104
0.0007
105
0.0071
106
0.0690
107
0.5108
108
0.9992
Il est intéressant de demander aux élèves de faire une représentation graphique de ces résultats,
sans leur indiquer de passer au logarithme au moins pour n .
Pour bien voir la différence qu’il y a entre jouer n grilles distinctes et n grilles remplies au hasard, il
est intéressant, en terminale S, de regarder la probabilité d’avoir au moins une fois 6 numéros
gagnants avec N grilles :
- si ce sont des grilles différentes, la probabilité est 1 (mais on a perdu au moins 50% de la
mise, puisqu’au plus 50% des mises sont redistribuées, et si il y a d’autres personnes qui ont
joué la grille gagnante, on perd encore plus).
- si on choisit au hasard les grilles :
pN = 1- (1-1/N)N ≈ 1-1/e ≈ 0,63
Cela signifie aussi que la grille gagnante a une probabilité 0,37 de ne pas avoir été remplie,
c'est-à-dire que la proportion théorique moyenne de grilles non remplies est 0,37 (ce qui
n’est pas intuitif !).
En jouant 2N ou 10 N grilles au hasard, on trouve, en utilisant que la limite de [xln(1-x)]
lorsque x tend vers 0 est 1 :
p2N = 1- (1-1/N)2N ≈ 1-1/e2 ≈ 0,86
p10N = 1- (1-1/N)10N ≈ 1-1/e10 ≈ 0,99996
17