CH III) Puissance

CH III) Puissance - Racine carrée
I)
Puissance d’un nombre :
La puissance n d’un nombre a est le produit de n nombres égaux à a et se note an.
an = a x a x a x a x … … … … x a
a est écrit n fois
J
n est appelé l’exposant du nombre a, n est un nombre entier.
1) Carré d’un nombre :
Le carré d’un nombre est le produit d’un nombre par lui-même.
a2 = a x a
Exemples : 32 = 3 x 3 = 9
72 = 7 x 7 = 49
2,12 = 2,1 x 2,1 = 4,41
(32 se lit 3 au carré)
(72 se lit 7 au carré)
( 2,12 se lit 2,1 au carré)
J Attention, l’erreur que vous commettrez le plus souvent sera d’écrire 32 = 3 x 2, ce
qui est faux !!!
J A l’aide de la machine à calculer, on utilisera la touche x2.
Exercice : Calculer
2,72 =
5,32 =
102 =
2) Cube d’un nombre :
Le cube d’un nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre.
a3 = a x a x a
Exemples : 33 = 3 x 3 x 3 = 27 (33 se lit 3 au cube)
2,13 = 2,1 x 2,1 x 2,1 = 9,261 ( 2,13 se lit 2,1 au cube)
J
A l’aide de la machine à calculer, on utilise l’une des touches suivantes (cela dépend
de la machine) xy ; ^ ou # et on tape :
Π3,1 xy 3 = pour calculer 3,13
• 3,1 ^ 3 = pour calculer 3,13
Ž 3,1 # 3 = pour calculer 3,13
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Exercice : Calculer
3.013 =
5.253 =
633 =
3) Puissance 4, 5 6 … d’un nombre :
J On utilise « carré » et « cube » uniquement pour les valeurs 2 et 3 des puissances,
pour les autres valeurs on utilisera l’expression « puissance » elle-même.
Exemples : 5,14 = 5,1 x 5,1 x 5,1 x 5,1 = 19,4481 (5,14 se lit 5,1 puissance 4)
87 = 2 097 152 (87 se lit 8 puissance 7)
Cas particulier : Tout nombre à la puissance 0 équivaut à 1.
450 = 12 0 = 0,0025 0 = … = 1
II)
Multiplication et division par certains multiples ou sous-multiples de 10
1) Multiplication par 10 ; 100 ; 1000 ; …
Calculer :
2,123 x 10 =
2,123 x 10 000 =
; 2,123 x 100 =
; 2,123 x 1 000 =
; 2,123 x 100 000 =
J
Pour multiplier par 10, 100 etc. … on décale la virgule d’autant de chiffres vers la
droite qu’il y a de « zéro » dans 10, 100, 1 000 etc. …
Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :
25 x 1 000 =
; 0,019 x 100 000 =
; 4,5 x 10 000 =
2) Division par 10 ; 100 ; 100 ; …
Calculer :
212,3 : 10 =
212,3 : 10 000 =
; 212,3 : 100 =
; 212,3 : 1 000 =
; 212,3 : 100 000 =
J
Pour diviser par 10, 100 etc. … on décale la virgule d’autant de chiffres vers la
gauche qu’il y a de « zéro » dans 10, 100, 1 000 etc. …
Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :
25 ,2 : 1 000 =
245,1 : 10 000 =
; 2 145,36 : 100 =
; 45 : 10 000 000 =
; 0,045 : 10 =
; 3,25 : 100 =
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3) Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …
Calculer :
J
212,3 x 0,1 =
212,3 x 0,000 1 =
; 212,3 x 0,01 =
; 212,3 x 0,001 =
;212,3 x 0,000 01 =
Pour multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … cela revient à diviser par 10 ; 100 ; 1 000.
- Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10
- Multiplier par 0,01 revient à diviser par 100 etc. …
Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :
25 ,2 x 0,001 =
245,1 x 0,000 1 =
; 2 145,36 x 0,01 =
; 45 x 0,000 000 1 =
; 0,045 x 0,1 =
; 3,25 x 0,01 =
4) Division par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …
Calculer :
J
2,123 : 0,1 =
2,123 : 0,000 01 =
; 2,123 : 0,01 =
; 2,123 : 0,001 =
; 2,123 : 0,000 001 =
Pour diviser par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 etc. … cela revient à multiplier par 10 ; 100 ; 1 000.
- Diviser par 0,1 revient à multiplier par 10
- Diviser par 0,01 revient à multiplier par 100 etc. …
5) Exercice : sans utiliser la calculatrice, calculer :
210,23 : 10 000 =
78 987 x 0,000 001 =
0,002 5 : 0,001 =
III)
; 78,236 x 0,000 1 =
; 0,000 12 x 100 000 =
; 456 125 x 0,001 =
Puissances de 10 :
1) Puissances positives de 10 :
Exercice : Calculer :
104 =
J
100 =
105 =
101 =
102 =
Pour écrire 10n, on écrit 1 et autant de zéro que le nombre n.
2) Puissances négatives de 10 :
Exercice : Écrire sous forme décimale : 10-1 =
1
10
1
=
10-2 =
1
10 2
=
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10-3 =
J
1
10 3
10-5 =
=
1
10 5
=
Pour écrire 10 -n, on écrit 1 au nième rang après la virgule.
3) Écriture sous la forme d’une puissance de 10 :
Exemple :
6 700 = 6,7 x 1 000 = 6,7 x 103 = 6,7.10 3
= 67 x 100 = 67 x 102 = 67.10 2
1
1
= 6,7 x
= 6,7 x 10-2 = 6,7.10-2
100
10 2
1
1
= 67 x 0,001 = 67 x
= 67 x
= 67 x 10-3 = 67.10-3
3
1000
10
0,067 = 6,7 x 0,01 = 6,7 x
J Tout nombre peut s’écrire sous la forme d’un autre nombre multiplié par un multiple
de 10 ou un sous multiple de 10. Le fait d’écrire ce nombre sous la forme d’une puissance
de 10 se fera en déplaçant la virgule qui compose ce nombre.
J Pour savoir si l’exposant est positif ou négatif : si le nombre obtenu lorsque l’on
déplace la virgule est plus grand que le nombre initial, l’exposant sera positif et négatif
dans l’autre cas.
6 700 = 6,7.103 en effet 6,7 < 6 700 donc l’exposant est positif (3)
0,067 = 6,7.10-2 en effet 6,7 > 0,067 donc l’exposant sera négatif (-2)
Exercice : transformer les écritures suivantes en donnant les exposants :
3,256.103 = 325,6.10
45,123.105 = 4,5123.10
0,0123.104 = 1,23.10
7 896.10-3 = 78,96.10
6,73.105 = 673.10
0,639.10-3 = 63,9.10
J Si le nombre obtenu lorsque l’on déplace la virgule est plus grand, on diminue
l’exposant et inversement.
6 875,6.103 = 6,875 6.106 6,875 6 < 6 875,6 donc il faut augmenter l’exposant.
0,012 23.104 = 12,23.101 12,23 > 0,012 23 donc il faut diminuer l ‘exposant
4) Écriture scientifique d’un nombre :
L’écriture scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre sous la forme a.10n où a
est un nombre qui s’écrit avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.
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0,067 = 6,7.10-2
Exemple :
6 700 = 6,7.103
Un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.
Exercice : Écrire sous forme scientifique.
1 740 =
2 630 000 =
0,023 =
0,009 85 =
J
Attention, certaines calculatrices afficheront 6,7
IV) Racine carrée d’un nombre :
-02
au lieu de 6,7.10-2
La racine carrée d’un nombre a est un nombre qui élevé au carré donne a. On écrit
9 = 3 car 32 = 9
4 = 2 car 22 = 4
18,0625 = 4,25 car 4,252 = 18,0625
Exemple :
J
a.
La racine carrée s’obtient avec la touche
36 =
Exercice : Calculer
de la machine.
64 =
49 =
81 =
Exercice : Calculer les racines carrées suivantes, on donnera le résultat à 10-2 prés par
excès.
29 =
V)
1 256 =
17 =
658 =
Utilisation d’un tableau de valeurs :
n2
n
n3
n
n
2
n
5
25
125
2,236
n
n2
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Exercice : A partir du tableau suivant, donner les valeurs de :
n
n2
n3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
286
324
361
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1 000
1 331
1 728
2 197
2 744
3 375
4 096
4 913
5 832
6 859
8 000
9 261
10 648
12 167
13 824
15 625
17 576
19 683
21 952
24 389
27 000
n
1
1,414
1,732
2,000
2,236
2,449
2,646*
2,828
3,000
3,162
3,317*
3,464*
3,606
3,742
3,873*
4,000
4,123
4,243*
4,359*
4,472
4,583*
4,690
4,796*
4,899*
5,000
5,100*
5,196
5,292*
5,385
5,477
* L'astérisque indique que le dernier chiffre est pris par excès.
302 =
841 =
5,1962 =
293 =
242 =
196 =
73 =
3,8732 =
30 =
4,899 2 =
253 =
: Puissance - Racine carrée.
529 =
(Des maths de niveau I sur logedu.com payant)
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