Mais au fait ça vient d`où la dérivée

MAIS, AU FAIT, ÇA VIENT D’OU LA DERIVEE ?
Plantons le décor :
L’idée de départ c’est qu’on a une courbe C f représentative
d’une fonction f , où se trouvent un point fixe A( x 0 ; f (x 0 )) et
un point « baladeur » B((x 0 + h); f (x 0 + h)) .
!
h n’est
autre
que
la
distance
sur
l’axe des abscisses qui
!
!
séparent A de B.
!
Le taux d’accroissement
de la droite (AB) s’exprime
f (x 0 + h) # f (x 0 )
"=
h
Rappel
Le taux d’accroissement (que l’on a
appelé au collège « coefficient
directeur » ou « pente » ) est le
rapport
progression verticale(en ordonnée)
progression horizontale(en abscisse)
quant on se déplace entre deux points
quelconques d’une droite
!
!
!
Une fois cela installé, on peut commencer à réfléchir et se poser la question suivante :
Que devient la droite (AB) (et son taux d’accroissement) lorsque B glisse vers A ou autrement dit
quand h tend vers 0 ?
TOUTE L’HISTOIRE TIENT DANS CETTE QUESTION !
!
Euréka ! aurait dit Archimède sortant de son bain .
Eh oui ! La droite (AB) devient tangente à C f en x 0 .
Et son taux d’accroissement ? Comme on est un peu ennuyé pour répondre directement on va
utiliser un outil des mathématiques : les limites ; en pensant à ce qui se passe pour " quand h " 0 .
f (x 0 + h) # f (x 0 )
!
Ce qui revient
à écrire lim
!
!
h "0
h
Conclusion
!
!
Et bien c’est fini ! Cette expression, certes un peu barbare, c’est elle qui définit ce que l’on appelle
le nombre dérivé en x 0 que l’on note f "(x 0 )
!
On a donc f "(x 0 ) = lim
h #0
!
!
f (x 0 + h) $ f (x 0 )
h
!
Illustration de l’affaire :
La dérive sur un bateau à voile, c’est ce qui permet de garder le cap avec des vents contraires; sans cela
le bateau glisserait et partirait à la dérive comme un objet flottant. En première approximation, on peut
dire que, grâce à cette dérive, le plan vertical du bateau reste tangent à sa trajectoire.
Pour une fonction le taux d’accroissement de la tangente (dont on sait maintenant que c’est le nombre
dérivé en un point donné) indique son cap, comment elle varie :
Plus ou moins croissante s
Plus ou moins décroissantes
Constantes