Exercice 1.3.1. Le cours dit : ”Il n`est pas difficile de se rendre

Exercice 1.3.1. Le cours dit : ”Il n`est pas difficile de se rendre

Exercice 1.3.1. Le cours dit : ”Il n’est pas
difficile de se rendre compte que le dual du dual
est le primal”. Montrez-le dans le cas standard.
Primal sous forme standard :
Min z = cT x
sous
(
Ax = b
x≥0
(1)
Dual :
Max w = bT u
sous
(
AT u ≤ c
u n.c.
(2)
Dual du dual ?
(2) → Min − bT u
sous
(
−AT u ≥ −c
u n.c.
(3)
1
Dual de (3) :
Max − cT v
sous
(
+(AT )T v = +b
v≥0
(4)
→ Min cT v
sous
(
Av = b
v≥0
(5)
Equivalent à (1) (on pose x=v)
2
Exercice 1.3.2.
Quels sont les duaux des problèmes suivants :
Min x1 + 4x2


x1 + 2x2
≥4





 −x2 + x3 + x4 ≥ 2
sous x2 − x3
≤0



x1 , x 3 , x 4 ≥ 0



 x
n.c.
2
→ Max 4u1 + 2u2
sous


u1





 2u1







−u2
+u3
u2
−u3
u2
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≤ 0
≤1
=4
≤0
≤0
Min x1 + 3x2 + x3


x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 12


 x − 2x + x
≥ −4
1
2
3
sous

x2 − x 3
≤0



x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
3
→ Max 12u1 − 4u2
sous


u1







+u2
≤1
4u1
−2u2
+u3
≤3
3u1
+u2
−u3
≤1
u1 ≤ 0, u2 ≥ 0, u3 ≤ 0
Min − x1


x1 − x 2 ≤ 1


 2x − x ≤ 2
1
2
sous

x1 + x 2 ≤ 7



x1 , x 2 ≥ 0
→ Max u1 + 2u2 + 7u3


 u1 + 2u2 + u3 ≤ −1
sous −u1 − u2 + u3 ≤ 0

 u ≤ 0, i = 1, 2, 3
i
4
Exercice 1.3.4.
Montrer que X = {x ∈ R3 : xi ≥ 0∀i; x1 + x2 ≥
3; x3 ≤ 1 et x1 +x2 −x3 ≤ 1} = ∅ en se servant
de la dualité en PL.
Rappel : Soit le primal P et son dual D :
• P et D ont la même sol optimale (z ∗ = w∗ )
• Si l’un a une solution non bornée, l’autre est
impossible
5
Primal :
Min z = 0 = Cx
Dual :


x1 + x 2 ≥ 3


 x ≤1
3
sous

x1 + x 2 − x 3 ≤ 1



xi ≥ 0, i = 1, 2, 3
→ Max w = 3u1 + u2 + u3


 u1 + u 3 ≤ 0
sous u2 − u3 ≤ 0

 u ≥ 0, u ≤ 0, u ≤ 0
1
2
3
Sol particulière : uT =(k,−k,−k) ; w = k
Si k ↑, k reste sol et w ↑
⇒ la fct objectif est non bornée
⇒ le problème primal est impossible. (X = ∅)
6
Exercice 1.3.5.
Soit le problème
Max x2 − x1


x2 ≤ 2x1 − 1


 x ≥ −3x − 2
2
1
sous

x2 ≥ x 1 − 3



x1 , x 2 ≥ 0
1. Résoudre graphiquement
2. Vérifier la solution par l’algorithme du simplexe. Que dire du problème dual.
3. Ecrire le dual et résoudre par inspection.
7
2. Forme standard
Min z = x1 − x2


 2x1
−x2 −x3
+x6 = 1
sous −3x1 −x2
+x4
=2

 x
−x2
+x5
=3
1
xi ≥ 0 i = 1, . . . , 6
Phase I
Min x6 = 1 − 2x1 + x2 + x3 = z
x1
-2
2
-3
1
x2
1
-1
-1
-1
x3
1
-1
0
0
x4
0
0
1
0
x5
0
0
0
1
x6
0
1
0
0
z
-1
0
0
0
b
-1
1
2
3
3 } ⇒ x sort
min{ 1
,
6
2 1
l2
l1
l3
l4
=
=
=
=
l2/2
l1 + l2
l3 + 3/2l2
l4 − l2/2
8
x1
0
1
0
0
x2
0
-1/2
-5/2
-1/2
x3
0
-1/2
-3/2
1/2
x4
0
0
1
0
x5
0
0
0
1
x6
1
1/2
3/2
-1/2
z
-1
0
0
0
b
0
1/2
7/2
5/2
VB : x1, x4, x5
x1 =
1 x
x
1 + x 2 + x3
⇒ z = x1 − x2 = − 2 + 3
2
2
2
2
Phase II
x1
0
1
0
0
x2
-1/2
-1/2
-5/2
-1/2
x3
1/2
-1/2
-3/2
1/2
x4
0
0
1
0
x5
0
0
0
1
z
-1
0
0
0
b
-1/2
1/2
7/2
5/2
x2 sort mais tous les ai < 0
⇒ Solution non bornée
⇒ le problème dual n’a pas de solution
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3. Problème dual
Primal :
Min x1 − x2
Dual :


2x1 − x2 ≥ 1


 −3x − x ≤ 2
1
2
sous

x1 − x 2 ≤ 3



x1 , x 2 ≥ 0
Max u1 + 2u2 + 3u3


 2u1 − 3u2 + u3 ≤ 1
sous −u1 − u2 − u3 ≤ −1

 u ≥ 0, u ≤ 0, u ≤ 0
1
2
3
Par inspection : u1 − 4u2 ≤ 0 ⇒ u1 ≤ 4u2 avec
u1 ≥ 0 et u2 ≤ 0 ⇒ u1 = u2 = 0
⇒
u3 ≤ 1
−u3 ≤ −1 → u3 ≥ 1
u3 ≤ 0
Impossible !
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