FICHE GEOMETRIE DANS L` ESPACE - Page de travail de F. Laroche

Fiches de Cours
Terminale S
Michelle Froeliger / Jean Pierre Djerigian
Mai 2009
FICHE N°1 : LES REGLES DE BASE
FICHE n°2 : BARYCENTRES
FICHE N °3 : SUR LES NOMBRES COMPLEXES
FICHE n°4 : LIMITES DERIVATION
FICHE n°5 : LE TOP 10 DES QUESTIONS SUR LES FONCTIONS
FICHE n°6 : LA BELLE FONCTION EXPONENTIELLE
FICHE n°7 : FORMULES DE BASE ET PROBABILITES CONDITIONNELLES
FICHE N°8 : LA GRANDE AMITIÉ ENTRE LES FONCTIONS LN ET EXP
FICHE n°9 : SUR LE CALCUL INTEGRAL
FICHE n°10 : SUR LES SUITES (Partie 1)
FICHE n°11 : SUR LES SUITES (Partie 2)
FICHE n°12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE
FICHE n°13 : LOIS DE PROBABILITES
FICHE N °14 : SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
FICHE N°1 : LES REGLES DE BASE
LES PUISSANCES
an .a p 
a 
n p
a0 
an

ap
a

an ..bn 
1
L’EQUATION x2  a
si
a0
S=
si
a0
S=
si
a0
S=
n
a 
a 
LES IDENTITES REMARQUABLES
(a  b)2 
 a  b2 
a2  b2 
 a  b3 
 a  b3 
a3  b3 
a3  b3 
L EQUATION x  a
Si
a0
S=
Si
Si
a0
S=
S=
a0
LES RACINES
 a
2

avec
a2 
avec
RESOLUTION DE L EQUATION ax2  bx  c  0 a  0
On calcule  
Si   0
S=
Si   0
S=
Si   0
S=
FACTORISATION DE P = ax2  bx  c
Si
Si
Si
0
0
0
P=
P=
P=
a0
a0
a 
FICHE n°2 : BARYCENTRES
BARYCENTRE de  A; a   B; b  a  b  0
BARYCENTRE de  A; a 
abc  0
Définition :
G est barycentre de  A; a   B; b 
Définition :
G est barycentre de  A; a   B; b   C; c 
a  b  0 si :
a  b  c  0 si :
Formule permettant de placer G :
Formule permettant de placer G :
( On peut aussi grouper les points)
Formule permettant de calculer les
coordonnées de G dans un repère :
Formule permettant de calculer les
coordonnées de G dans un repère :
Formule donnant pour TOUT point M
 
le vecteur : aMA  bMB si a  b  0
Formule donnant pour TOUT point M
  
le vecteur : aMA  bMB  cMC si
abc  0
 
aMA  bMB =
  
aMA  bMB  cMC =
Simplification
de :
 
MA  MB =
Simplification de :
  
MA  MB  2MC =
 B; b C; c 
FICHE N °3 : SUR LES NOMBRES COMPLEXES
Forme algébrique
Forme trigonométrique ou exponentielle
z =a+ib avec a  et b 
a=Re(z)
z = r(cos   i sin ) = r e i avec z  0
avec r = z  a 2  b 2
b=Im(z)
et  tel que
z=a+ib =0 ssi
__
z  a  ib est le
i2 
i3 
i4 
arg(z)=   2k
a
z
b
sin(  )=
z
cos(  )=
 k 
ei 
i

i
e 
e 
i0
e =
2
e e 
e i

e i '
e 
1

e i
i i '
X et Y étant réels ,
i n

Z = X+iY est réel ssi
zz ' 
Z = X+iY est imaginaire pur ssi

Si A( zA ) et B ( zB ) alors AB (
z

z'
i
e

2

n 
z ' 0
)
Si M(z) avec z  1
Affixe du barycentre G de (A ;a) (B ;b) (C ;c) Alors M
zG =
si a+b+c  0
Egalité de deux nombres complexes
Transformations du plan M (z)  M ' (z' )
1) a+ib= c+id 
(a,b,c,d réels)
Translation de vecteur u (b) : z’ =
i1
2) re
 r2ei2 
1
( r1  0 , r2  0 )

Homothétie de centre A(a) et de rapport k :
Rotation de centre A(a) et d’angle 
FICHE n°4 : LIMITES DERIVATION
lim f (x)
3

-7
0
0

0



lim g(x)


0

-9

0
0
5

x
x
lim f ( x)  g( x)
x
lim
x 
f ( x)
g ( x)
lim f ( x) g( x)
x
Formes indéterminées :
Si f est dérivable au point d’abscisse a, le coefficient directeur de la tangente à la courbe en
ce point a existe et vaut : f   a   lim
xa
f
f
Formules 1S
7
u  v  
x
uv  
x2
 u 
v 
 
 ku  
x3
xn n
x
sinx
cosx
Nouvelles formules
 1 
 ax  b  



 ax  bn 
 1 
u 
 
un  


ax  b 
 u  
sin  ax  b 
 cos  ax  b 
sin u  

1
x
f ( x)  f (a)
f (a  h)  f (a)
 lim
.
h0
xa
h


 
 cosu  
FICHE n°5 : LE TOP 10 DES QUESTIONS SUR LES FONCTIONS
f est une fonction de courbe ( C ) dans un repère et ( D ) est la droite d’équation : y=ax+b
1) Tangente à ( C) au point d’abscisse a
L’équation de la tangente à ( C ) au point
d’abscisse a est donnée par :
6) Centres et axes de symétrie
(si D est centré en a)
I(a ;b) est centre de symétrie de ( C) si :
La droite d’équation x=a est axe de symétrie de ( C) si :
)2)
Position de ( C) par rapport à ( D)
Il faut étudier le signe de :
7) Le role de f’(a)
f’(a)=
C’est le
3) Points d’intersection entre ( C) et ( D)
Il faut résoudre le système :
Si f’(a)=0 alors la tangente à ( C) au point d’abscisse a
est
8) Existe-t-il un point A(a,f(a)) où la tangente a pour
coefficient directeur le réel b ?
Cela revient à résoudre l’équation :
4) Asymptote oblique
9) Nombre de solutions de l’équation f(x)=m
(discussion graphique suivant les valeurs du réel m)
La droite d’équation y=ax+b est asymptote
à ( C) si
Cela revient à chercher les abscisses des
5) Parité
(si D est symétrique par rapport à 0)
10) Asymptotes horizontales et verticales
( dans un repère orthogonal)
f est paire si :
f est impaire si :
La droite d’équation x=a est asymptote
( verticale) à ( C) si :
Si f est paire ( C) est symétrique par
rapport à
Si f est impaire ( C) est symétrique par
rapport à :
La droite d’équation y =b est asymptote
( horizontale) à ( C) si :
FICHE n°6 : LA BELLE FONCTION EXPONENTIELLE
SES PROPRIETES SI SIMPLES
e0 
e1 
exey 
e 
x y
e 
ex

ey
exex 
e 
x
x 2
SA COURBE SI ELEGANTE


pour tous réels x et y
SA DERIVEE SI SEMBLABLE
SES LIMITES SI UTILES
x  ex est définie sur
x  ex est aussi dérivable sur
lim ex 
x
et :
 
ex  
 e  
u
si u est une fonction dérivable sur I et
dépendant de la variable x
L IMPORTANTE RESOLUTION DE
L’EQUATION : eX  A (A réel)
ex
=
x  x
lim xnex 
ex

x  x n
x
lim
lim
ex 1

x 0
x
lim
L’INTERET DE SA CROISSANCE
Pour tous A et B réels
Si A<0
lim ex 
x
lim xex 
x
n
eA  eB 
Si A=0
eA  eB 
Si A>0
eA  eB 
FICHE n°7 : FORMULES DE BASE ET PROBABILITES
CONDITIONNELLES
p  A  B 
 __ 
p  A 
 
Si A et B sont incompatibles ( A  B   )
alors
p  A  B 
A B 
________
0! =
n! =
pour
________
A B 
B
A B 
A
n*
B
__
A
A
A
B
__
B
__
B
B
__
A
1
__
B
pB  A 
 __ 
pB  A  
 
p__  A 
pA  B  
=
B
 __ 
p__  A 
B 
=
Formule des probabilités totales :
Si   A1  A2 ....An avec Ai  Aj  
Alors pour tout évènement B on a :
p  B 
p  A  B 
 __

p  A B  


__


p A B 


__
__


p  A B  


p  B 
Evènements indépendants
Si A et B sont indépendants alors :
p  A  B 
__


p A B 


pB  A 
FICHE N°8 : LA GRANDE AMITIÉ ENTRE LES FONCTIONS LN ET EXP
Courbes représentatives
n*
Limites
lim ex 
lim ln x 
xo
x
lim ex 
lim ln x 
x
x
lim ex xn 
lim xn ln x 
x
xo
lim
ex

x  x n
ln x

x xn
ex 1

x 0
x
lim
lim
ln x

x1 x 1
lim
Propriétés remarquables n
a>0 et b>0
a et b réels
Dérivées
e  
x '
eaeb 
lna +lnb=
1
ln   
a
ea 
ln a  ln b 
ea

eb
 
ln an 
e 
a n
Réciprocité

avec x
lnu' 
avec u
uv  ' 
lnX=A
e1 
lne =
lnX>A
lnX<A
 
u  
n '
Equations et inéquations
ln1 =
ln e X 
u '
ln x' 
e0 
eln X 
e  
pour tout X 
pour tout X 
eX  A
eX  A
eX  A
FICHE n°9 : SUR LE CALCUL INTEGRAL
Tableau de base
f
Une primitive Intervalle
F
I où sont
définies f
et F

C avec C
x
x2
xn
avec n  1
1
x
1
x2
ex
sin x
cos x
Tableau de formules
f
Une
primitive F
Intervalle
I où sont
définies f
et F
u'
u
u ' un avec
n  1
u'
u2
u ' eu
u 'sin u
u 'cos u
u'
u
Existence
Signe f et g continues sur I, a I, b I a<b
F est une primitive de f sur I si et seult si :
Si f(x)  0 sur [a ;b] alors

Si f(x)  g(x) sur [a ;b] alors
b
a
f ( x)dx existe si
Propriétés : f et g continues sur I, a I, b I

a

b
a
a

f 
a
b
f  g 
a
Si f est impaire :
a

b
Si f est paire :

f 
c
a


a
a
a
a
b
f 
f  f 
b
c
f 
f 
Valeur moyenne de f sur [a ;b]
Inégalité de la moyenne :
Si f continue et m  f (x)  M sur [a ;b]
Application au calcul d’aires
f et g continues sur I, a I, b I a<b
Exprimer l’aire (en u.a) des domaines :
a  x  b 

0  y  f ( x)
a  x  b

2) 

 g ( x)  y  f ( x)
a  x  b 
3) 

 f ( x)  y  0
1) 
A=
A=
A=
Formule de l’intégration par parties ( IPP)
u et v deux fcts dérivables sur I, a I,b I
avec u’ et v’ continues sur I alors :
FICHE n°10 : SUR LES SUITES (Partie 1)
Définitions
Définitions
un 
est positive si
un 
est croissante si
un 
est majorée si
un 
est décroissante si
un 
est minorée si :
un 
est stationnaire si
un 
est bornée si
un 
est monotone si :
ceci pour TOUT n  ou n  privé d’un
nombre fini de valeurs
Suites arithmétiques
a 
ceci pour TOUT n  ou n  privé d’un
nombre fini de valeurs
Suites géométriques
b 
Définition : un  est arithmétique de raison a
si :
Définition : un  est géométrique de raison b
si :
Formules donnant un en fonction de n
Formules donnant un en fonction de n
Somme des termes d’une suite arithmétique :
Somme des termes d’une suite géométrique
Convergence
Etude de bn ( b réel ) quand n 
un 
b  -1
lim bn 
-1<b<1
lim bn 
b=1
lim bn 
b>1
lim bn 
converge vers un réel l si :
Si un  ne converge pas vers un réel l on dit
que un 
ex1
ex2
n
n
n
n
FICHE n°11 : SUR LES SUITES (Partie 2)
Définitions Soit p
Suites adjacentes
un 
un 
est majorée si pour tout n  p ,
il existe un réel M tel que :
et
 vn 
sont adjacentes si :
1)
2)
un 
est minorée si pour tout n  p ,
il existe un réel m tel que :
3)
Etude de lim bn suivant les valeurs du réel b
Théorème sur les suites adjacentes :
Si un  et  vn  sont adjacentes alors
n
Suites arithmétiques
a 
Suites géométriques
b 
Définition : un  est arithmétique de raison a
si pour tout n  p ,
Définition : un  est géométrique de raison b
si pour tout n  p ,
Formules donnant un en fonction de n
Formules donnant un en fonction de n
a) A l’aide de u0
a) A l’aide de u0
b) A l’aide de u1
b) A l’aide de u1
Somme des termes d’une suite arithmétique :
Somme des termes d’une suite géométrique :
Théorème de la convergence monotone
Suites récurrentes un1  f un  avec
1) si un  est à la fois
pour tout n  un I et f continue sur I
Si un  converge vers  alors  est
solution de l’équation :
2) si un  est à la fois
Attention : si
alors
a  un  b pour tout n 

FICHE n°12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Les vecteurs sont non nuls et pris dans un repère orthonormal de l’espace

n est normal au plan P si


u et v sont orthogonaux si


u et v sont colinéaires si
  
u , v , w sont coplanaires si
Equation d’une droite
La droite D passant par A et de vecteur

directeur u est
Equation d’un plan
Le plan P passant par A et de vecteur normal

n est
Soit :
Soit :
Equations
1. Du plan (xOy) :
2. De l’axe des x :
3. De la sphère de centre I et de rayon R
Si D a pour équation :
 x  a  td 


 y  b  te  avec t   alors :
 z  c  tf 



v(
A(
Si A  xA ; yA ; z A  et B  xB ; yB ; zB 
AB=
) est vecteur directeur de D
) est un point de D
Si P a pour équation :
ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)  (0,0,0)
Milieu I de [AB]
I(

n(
) est un vecteur normal à P
Barycentre G de (A,a) (B,b) a+b  0
G(
A(
) est un point de P
Distance d’un point à un plan
Si A  xA ; yA ; z A  et P a pour équation :
Volumes
Sphère de rayon R
ax+by+cz+d=0 alors:
d((A,P)=
V=
Pyramide ( ex tétraèdre)
V=
Cube de coté a
V=
FICHE n°13 : LOIS DE PROBABILITES
LOI DISCRETE
  1 , 2 ,...n 
LOI CONTINUE
 est un intervalle I de 
( en général I=[a ;b] ou I=[0 ;+  [ )
X est une variable aléatoire
( ex : X est le nombre d’articles défectueux
dans un ensemble de 800 articles )
X est une variable aléatoire ( ex : durée de
vie d’un composant électronique)
Loi de probabilité de X
Loi de probabilité de X J  I
xi
P(X=
xi )
x1
p1
x2
p2
xn
pn
p( X  J ) = J f (t )dt avec f appelée fonction
de densité, continue et positive sur I
(ex : p( X [c; d ]) 
On a toujours
p1 + p2 +….+ pn =

I
f (t )dt 
Espérance mathématique
Espérance mathématique
E(X) =
E(X) =
I
Temps de demi-vie
Cest le réel t tel que p( X  t)  p( X  t) 
V(X) =
 (X)=
Exemple
 tf (t )dt
Loi binomiale
Si X est la variable aléatoire associée au
nombre de succès dans un schéma de
Bernoulli, X suit la loi binomiale B(n; p)
avec n étant :
Exemple Loi exponentielle
p(X<a)=p(0<X<a)=
I=[0 ;+  [
avec a>0
p(X<a)=p(X  a)=
p(X>a)=
et
p étant :
p(X [a; b] )=
Loi de probabilité :
Pour tout entier k avec 0  k  n
E(X) =
V(X) =
p(X=k)=
Temps de demi-vie :
t=
p(X=au moins un succès)=
Loi uniforme ex : I=[a,b]
Espérance et Variance
E(X) =
V(X) =
P(X [c ;d])=
si [c ;d]  [a,b]
FICHE N °14 : SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
L’équation y’ = ay
L’équation y’ = ay + b
* On vérifie que la fonction y = eax est
solution de l’équation en
…………………………………
* On prend une solution quelconque sous
la forme y = h(x)eax et on démontre que
h(x) est une
……………………………
* On conclut que la solution générale de
l’équation y’ = ay est :
* On vérifie que cette équation admet une seule
solution qui soit une constante :  = ………
* On prend une solution quelconque sous la
b
forme y = g(x) – et on démontre que g(x) doit
a
vérifier l’équation différentielle y’ = ay.
* On en déduit que la solution générale de
l’équation y’ = ay + b est :
y = …… ,avec k  IR
y =………….., avec k  IR
Propriété pour les deux types d’équations :
Si x0 et y0 sont deux réels quelconques, il existe, parmi les solutions de l’équation, une
solution unique f qui vérifie la condition ………………
On démontre cette propriété en remplaçant x et y par x0 et y0 dans la solution générale et en
montrant que l’on trouve une valeur et une seule de la constante k.
1ère méthode dans les exercices sur les équations avec second membre.
(1) y’ + ay = h(x)
* L’énoncé donne ou bien fait trouver une fonction p(x) qui vérifie l’équation (1)
* On considère l’équation sans second membre : (2) y’ + ay = 0
On vous demandera de démontrer que si f(x) = g(x) + p(x), dire que f vérifie l’équation (1)
est équivalent à dire que g vérifie l’équation (2).
* Comme on sait résoudre l’équation (2) on trouve toutes les valeurs de g(x).
* On en déduit que toutes les solutions de l’équation (1) sont : f(x) = ………….. où on
remplace g(x) par les solutions de (2) et p(x) par la fonction de la première question.
2ème méthode dans les exercices sur les équations avec second membre.
(1) y’ + ay = h(x)
*On résoud l’équation y’ + ay=0.
* On suppose qu’une solution de (1) est f(x)=u(x)e–ax
* On.a alors en remplaçant dans (1) :……………………………………………………
* On doit donc chercher une primitive de ………………………………………………
* On conclut que les solutions de (1) ont la forme………………………………………
* Grâce aux conditions initiales on trouve la solutiond e (1) :…………………………..