Examen Lois de Conservations Jan 2008

Université Joseph Fourier - Grenoble I
Examen de Lois de Conservation et Fluides
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence - L1
 janvier 2008
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Ce problème ne comporte aucun calcul compliqué et les différentes parties sont partiellement
indépendantes : ne restez pas bloqués sur une question.
On portera une attention particulière aux explications accompagnant les calculs.
Pourquoi la pluie tombe en petites gouttes
A. Energie solaire et évaporation
L'énergie solaire reçue en une année par la Terre vaut : Es = 3,8.1024 Joules.
1. Exprimer et calculer la puissance solaire moyenne Ps reçue par la Terre.
2. En l'an 2000, la consommation mondiale d'énergie était de Em = 1010 TEP pour une population de 6
milliard de personnes environ. Quel pourcentage X de l'énergie solaire reçue par la Terre serait
nécessaire pour subvenir à la totalité des besoins énergétiques de la planète ? On rappelle que 1 TEP =
42 GJ.
3. Une fraction ƒ = 33% de l'énergie solaire provoque l'évaporation de l'eau de surface (océans et surface
de la Terre). Exprimer puis calculer la quantité d'eau D évaporée par seconde par le soleil. On donne la
chaleur latente d'évaporation de l'eau à 20°C et à la pression atmosphérique : L = 2,2.106 J/kg.
4. La surface de la Terre étant ST = 5,1.1014 m2 exprimer puis calculer la hauteur d'eau moyenne h qui
tombe quotidiennement sur la Terre.
B. Vitesse limite de chute libre
On considère une goutte d'eau de forme quelconque qui tombe du ciel à une vitesse suffisamment faible
pour que l'on puisse appliquer la force de frottement de Stokes :
→
→
F =-ηΦv
où η est la viscosité de l'air, et Φ est le facteur de forme de la goutte d'eau. On donne les valeurs
suivantes :
ρ air = 1,2 kg/m3
ηair = 1,8.10-5 Pl
ρ eau = 1000 kg/m3
g = 10 m.s-2
1. Exprimer et dessiner les forces s'appliquant sur la goutte.
2. Montrer que la poussée d'Archimède est négligeable devant le poids. Dans toute la suite on négligera
la poussée d'Archimède.
3. Ecrire le bilan des forces en régime permanent (accélération nulle) et en déduire l'expression
vectorielle de la vitesse de chute libre en régime permanent. Vérifier la dimension de l'expression
obtenue.
4. On suppose que la goutte d'eau est une sphère de rayon R, avec un facteur de forme Φ = 6πR.
Exprimer le module de la vitesse v en fonction de R, g, η, Φ et ρ eau . Calculer v pour une petite goutte de
diamètre D = 2R = 0,1 mm.
C. Pression sur la goutte
On considère une goutte sphérique qui tombe suivant l'axe z à la vitesse
constante v.
z
1. En se plaçant dans le référentiel de la goutte, représenter les lignes de
courant de l'air autour de la goutte. On dessinera en particulier les deux lignes
passant respectivement par le point A (situé sur l’axe z, juste sous la goutte)
et par le point B (situé juste à côté de la goutte).
B
A
2. Quelle est la particularité du point A ? Dans le référentiel de la goutte,
quelle est la vitesse vA de l'air au point A ?
Dans le référentiel de la goutte, quelle est la la vitesse vA’ de l'air au point A'
(situé sur l’axe z, assez loin du point A) ?
3. En supposant que la goutte est petite, que peut-on dire de la vitesse de l'air
au point B ?
A’
B’
4. Toujours dans le référentiel de la goutte, écrire la relation de Bernoulli (non simplifiée) entre les points
A et A'.
5. Pourquoi peut-on négliger les termes d'énergie potentielle ? Dans toute la suite, on négligera ces
termes.
6. A partir des questions précédentes, et en considérant que les points A' et B' sont extrêmement proches
(cf. dessin), exprimer la différence de pression PA - PB en fonction de ρ air et de v. Calculer PA - PB avec v
= 9 m/s.
7. Cette surpression sur la goutte provoque son aplatissement et l'augmentation de son facteur de forme
Φ que l'on écrira : Φ = απRm, (où α > 6 et où Rm représente le rayon moyen de la goutte aplatie, dont le
volume s'écrit V = 43 πRm3). On peut modéliser l'applatissement de la goutte en fonction de sa taille par
une relation α = 2.105 Rm où Rm est exprimé en mètres. Ecrire la nouvelle expression de la vitesse de
chute libre en en fonction de Rm, g, η et ρ eau .
8. Calculer v pour Rm = 2,5 mm.
D. Energie de chute libre
1. Exprimer la variation d'énergie mécanique ∆Emec d'une goutte tombant à vitesse constante d'une
hauteur ∆z = zf - zi < 0. Discuter le signe de ∆Em.
2. En supposant que cette variation d'énergie se retrouve intégralement sous forme d'échauffement de la
goutte d'eau, exprimer l'élévation de température ∆T = Tf - Ti d'une goutte en fonction de la hauteur de
chute ∆z.
3. Calculer ∆T pour une hauteur de chute |∆z| = 10 km (on rappelle que pour l'eau C = 4,18 J.g-1.K-1).
4. L'hypothèse de la question D.2. et la valeur de ∆T trouvée à la question précédente vous paraissentelles réalistes ? Discutez.
E. Nombre de Reynolds
Pour un objet de dimension D (en mètre) se déplaçant à la vitesse v dans un fluide de viscosité η et de
masse volumique ρ, on peut définir un nombre de Reynolds qui s'écrit :
ρ
Re = v D
η
Ce nombre de Reynolds caractérise l'état de turbulence de l'écoulement : pour un écoulement autour
d'une sphère, si Re ≤ 3000, l'écoulement est laminaire (ou stationnaire). Au delà de Re ≈ 3000,
l'écoulement devient turbulent (ou instationnaire).
1. Déterminer la dimension (unité) du nombre de Reynolds.
2. En supposant que la vitesse de chute libre (en m/s) d'une goutte aplatie de rayon moyen D/2 = Rm (en
mètres) s'écrit : v ≈ 3700 Rm, exprimer le nombre de Reynolds sous la forme Re = A vb où A et b sont
des constantes numériques que l'on déterminera.
3. Tracer schématiquement la courbe Re = ƒ(Rm) à partir des points Rm1 = 1 mm, Rm2 = 2 mm, et Rm3 = 4
mm (on prendra des échelles linéaires, de 0 à 5 mm en abscisse et de 0 à 104 en ordonnée)
4. A partir de cette courbe, estimer la taille maximale des gouttes de pluie pouvant tomber en restant
stables. Expliquer.