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Résistance des matériaux
1. Notion de poutre
Une poutre est en règle générale un profilé dont la section droite est de faible dimension par
rapport à la longueur.
Exemples :
2. Hypothèses fondamentales
– Les matériaux sont supposés homogènes et isotropes
– les déformations seront très petites par rapport aux dimensions
3. Objectifs
Dans cette leçon, on se limitera à 3 objectifs :
– Choix du matériau et connaissance de ses caractéristiques mécanique
– Étude de la résistance et dimensionnement
– Étude de la déformation
4. Sollicitations
5. Unités utilisées
Force : Newtons
Section : mm²
Contraintes : Mpa (N/mm²)
6. Traction simple
6.1Contrainte normale
N
Effort normal (perpendiculaire à la section)
en Newtons
Section S (mm²)
SIGMA :
δ = N/S
6.2 Condition de résistance
Données du matériau :
– Résistance élastique (Re) en Mpa : c'est la limite avant laquelle la pièce peut retrouver sa
forme d'origine.
– Module d'élasticité longitudinal (E) en Mpa
Donnée liée à la sécurité : Coefficient de sécurité : s
Donnée pratique pour la condition de résistance :
Rpe = Re/s
Rpe : résistance pratique élastique (Mpa)
Condition de résistance :
δ ≤ Rpe
Exercice :
Un tirant de longueur 3,2 m et de diamètre 30 mm doit supporter un effort axial N = 65000 N
L'acier a une limite élastique Re = 450 MPa
On utilisera un coefficient de sécurité s=5.
Vérifier si le tirant est bien dimensionné
Aide : Dans un premier temps, calculer Rpe.
Ensuite calculer la section puis sigma.
Enfin, écrire la condition de résistance et remplacer les valeurs trouvées.
Rpe = Re / s = 450 / 5 = 90 Mpa
Section S = π × R² = π × 15² = 706,86 mm²
δ = N/S = 65000 / 706,86 = 91,95 MPa
Condition de résistance : δ ≤ Rpe
or δ = 91,95 MPa : plus grand que Rpe (90 MPa) : Le tirant n'est pas bien dimensionné.
Calcul du diamètre mini :
section : S = π × R²
contrainte : δ = N/S = 65000 / (π × R²) = 20690 / ( R²)
Condition de résistance : δ ≤ Rpe donc
20690 / ( R²) ≤ 90
20690 ≤ 90 × R²
20690 / 90 ≤ R²
230 ≤ R²
15,16 ≤ R
d ≥ 30,33 mm
On choisira un tirant de diamètre 31 ou 32 mm suivant le fournisseur.
6.3 Allongement
ΔL =
N × L0
S×E
ΔL : Allongement (Delta L) en mm
N : effort normal en Newtons
S : section en mm²
L0 : longueur initiale en mm
E : module d'élasticité longitudinal en MPa
Exercice :
Calculer l'allongement du tirant de l'exercice précédent (longueur 3,2 m ;
diamètre 32 mm ; N = 65000 N ; E = 200 000 MPa)
ΔL =
N × L0
S×E
ΔL = 65000 × 3200
(π × 16²) × 200 000
ΔL = 1,293 mm
Exercice :
Une barre métallique pleine (de section cylindrique) de longueur 3,75 m est soumise à un effort de
traction de 18 kN
La barre est en acier dont la résistance élastique Re = 300 MPa
le coefficient de sécurité s = 5
E = 200 000 MPa
a) calculer la résistance pratique (Rpe)
b) Écrire la formule permettant de calculer la contrainte normale et remplacer les valeurs connues.
c) Écrire la condition de résistance et calculer le diamètre mini de la barre.
d) calculer l'allongement de cette barre
Réponses :
a) Rpe = Re/s = 300 / 5 = 60 Mpa
b) δ = N/S
δ = 18 000/( π × R²) = 5729 / R²
c) δ ≤ Rpe donc δ ≤60
avec δ = 5729 / R² que l'on remplace
5729 / R² ≤ 60
5729 / 60 ≤ R²
9,77 mm ≤ R
on prendra d = 20 mm
d)
ΔL =
ΔL =
N × L0
S×E
18000 × 3750
(π × 10²) × 200 000
ΔL = 1,074 mm
7. Cisaillement
Section S (mm²)
T Effort tangentiel en Newtons appelé aussi effort tranchant
contrainte :
TAU :
en MPa
τ=
T
n× S
S : section
n : nombre de sections cisaillées
8. Sections cisaillées
2 sections
cisaillées (n= 2)
T
2 sections
cisaillées (n= 2)
1 section cisaillée
(n= 1)
T
T
9. Condition de résistance du matériau
τ ≤ Rpg
Rpg : résistance pratique au glissement
Rpg = Reg /s
Reg : résistance élastique au glissement
s : coefficient de sécurité
10.Relations entre Re et Reg
Matériau
Relation entre Re et Reg
Aciers doux, alliages d'alu (Re ≤ 270 MPa)
Reg = 0,5 × Re
Aciers mi-durs (320≤Re ≤ 520 MPa)
Reg = 0,7 × Re
Aciers durs, fontes (Re ≥ 600 MPa)
Reg = 0,8 × Re
11.Exercice 1 :
Les pièces 1 (rouge) et 2 (verte) sont assemblées par 2 rivets 3 (en bleu).
La résistance élastique du matériau Re = 90 Mpa (Alliage d'aluminium).
Le coefficient de sécurité s = 3.
Diamètre des rivets : 8mm
Calculer l'effort tranchant T maximum admissible pour le cisaillement des rivets.
T
Réponse :
Reg = 0,5 × Re = 0,5 × 90 = 45 MPa
Rpg = Reg / s = 45 / 3 = 15 MPa
Calcul de TAU :
τ=
T
n× S
τ = T / (2 × π × 4² )
τ = T / 100,5
Condition de résistance :
τ ≤ Rpg
T / 100,5 ≤ 15
T ≤ 15 × 100,5
T ≤ 1507,9 N
12.Exercice 2 : Clavetage
3
F2/3
8
16
Une poulie (1) transmet à un arbre (2) une puissance P = 11 kW
à une fréquence de rotation N = 300 tr/min
Déterminer : La longueur de la clavette (3)
Sachant que la clavette est en C38
Re = 375 Mpa
Coefficient de sécurité s = 5
Calcul de F2/3 :
P=C×ω
C=P/ ω
ω = (2 × 3, 14 × 300) / 60 = 31,41 rad/s
C = P / ω = 11 000 / 31,41 = 350 Nm
C = F2/3 × d
donc F2/3 = C/d = 350 / 0,016 = 21 875 N
Calcul de Rpg :
Reg = 0,7 × Re = 0,7 × 375 = 262,5 MPa
Rpg = Reg / s = 262,5 / 5 = 52,5 Mpa
Calcul de TAU :
τ = 21875 / ( 8
τ=
T
n× S
× L)
Condition de résistance :
τ ≤ Rpg
21875 / ( 8 × L) ≤ 52,5
L doit être au moins de 53 mm de long