Contrôle 3ème : racines carrées

3ème E
DS4 racines carrées
2013-2014 sujet 1
Exercice 1 : (4 points)
Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 8 cm².
Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas.
(1)
(2)
x
8
x
(3)
(4)
x
x
1
Exercice 2 : au brevet (4 points)
On donne x =
72 et y =
98
a) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a plus grand entier possible).
b) Ecrire sous la forme la plus simple possible x² - y² et x + y
Exercice 3 : (6 points)
Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme a + b
nombres entiers.
A = (3
C=(
8)(
8 - 1)
3 - 2) -
3 (2 +
3)
B = (2
3 + 3)(2
D = (2
2-
3)(2
c où a, b et c sont des
3 - 5)
2+
3)
Exercice 4 : (3 points)
Toutes les longueurs sont données en centimètres.
ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AB = 2 7 et AC = 3 5.
1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC.
2) En déduire la valeur exacte du périmètre p de ce triangle.
Exercice 5 : Formule de Héron (3 points)
Soit un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.
Son aire  est, d’après la formule de Héron :
1
p(p – a)(p – b)(p – c) où p = (a + b +c)
2
Calculer l’aire exacte d’un triangle dans les cas suivants (on donnera le résultat sous la forme d’un
radical simplifié) :
1) a = 4, b = 5 et c = 7
8
11
23
2) a = , b = et c =
3
2
6
=
1
3ème E
DS4 racines carrées
2013-2014 sujet 2
Exercice 1 : (4 points)
Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 27 cm².
Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas.
(1)
(2)
27
x
x
(3)
(4)
x
x
2
Exercice 2 : au brevet
On donne x =
75 et y =
(4 points)
108
a) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a plus grand entier possible).
b) Ecrire sous la forme la plus simple possible x² - y² et x + y
Exercice 3
(6 points)
Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme a + b
nombres entiers.
A = (-3
C=(
8)(
3 - 2) -
8 + 2)
3 (2 +
3)
B = (2
5 – 3)(2
D = (5
3-
2)(5
c où a, b et c sont des
5 + 7)
3+
2)
Exercice 4 : (3 points)
Toutes les longueurs sont données en centimètres.
ABC est un triangle tel que AB = 10 et BC = 3 2
Calculer la valeur exacte de la longueur AC dans chacun des cas suivants :
1) ABC est rectangle en A.
2) ABC est rectangle en B.
Exercice 5 : Formule de Héron (3 points)
Soit un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.
Son aire  est, d’après la formule de Héron :
1
p(p – a)(p – b)(p – c) où p = (a + b +c)
2
Calculer l’aire exacte d’un triangle dans les cas suivants (on donnera le résultat sous la forme d’un
radical simplifié) :
1) a = 4, b = 7 et c = 9
5
7
29
2) a = , b = et c =
3
2
6
=
2
3ème E
DS4 racines carrées
CORRECTION
2013-2014 sujet 1
Exercice 1 : (4 points)
Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 8 cm².
Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas.
(1)
(1)
(2)
8
(x+1)²
x²
x
(3)
(4)
x
x
1
x étant une longueur est un nombre positif.
(1) x² = 8
(2)
x=
x 8
=8x
2
8=
8 = 16  x =
(3) (x+1)² = 8  x + 1 =
(4) 3x² = 8  x² =
42 =
4 2 = 2 2
16
8x=
8
3

8
=
16
2 2
=
8
2
=
8 2
2
2
=
8 2
= 42 = 2  1
2
8–1=2 2–1
x=
8 2 2 2 2 3 2 6
=
=
=
3
3
3
3 3
Exercice 2 : au brevet (4 points)
On donne x =
72 et y =
98
a) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a plus grand entier possible).
b) Ecrire sous la forme la plus simple possible x² - y² et x + y
a) x =
362 =
36 2 = 6 2
b) x² - y² = 72 – 98 = - 26
y=
492 =
49 2 = 7
x + y = (6 + 7) 2 = 13
2
2
3
3ème E
DS4 racines carrées
CORRECTION
2013-2014 sujet 1
Exercice 3 : (6 points)
Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme a + b
nombres entiers.
A = (3
C=(
8)(
8 - 1)
3 - 2) -
3 (2 +
3)
B = (2
3 + 3)(2
D = (2
2-
3)(2
3 - 5)
2+
A = 3 8 8 - 3 81 = 3×8 – 3 8 = 24 - 32 2 = 24 – 6
B = 2 32 3 -2 35 + 32 3 - 35 = 4×3 - 10
C=
3-2–
32 -
3 3 = - 3 -2 – 3 = -5 -
c où a, b et c sont des
3+6
3)
2
3 – 15 = -3 - 4 3
3
D = (2 2)² – ( 3)² = 42 – 3 = 8 – 3 = 5
Exercice 4 : (3 points)
Toutes les longueurs sont données en centimètres.
ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AB = 2 7 et AC = 3 5.
1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC.
2) En déduire la valeur exacte du périmètre p de ce triangle.
1) Le triangle ABC étant rectangle en A, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC².
Soit : BC² = (2 7)² + (3 5)² = 4×7 + 9×5 = 28 + 45 = 73
Donc BC =
73
2) p = AB + AC + BC = 2 7 + 3 5 +
73
Exercice 5 : Formule de Héron (3 points)
Soit un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.
Son aire  est, d’après la formule de Héron :
1
p(p – a)(p – b)(p – c) où p = (a + b +c)
2
Calculer l’aire exacte d’un triangle dans les cas suivants :
1) a = 4, b = 5 et c = 7
8
11
23
2) a = , b = et c =
3
2
6
=
1) p =
A=
4+5+7
=8
2
8(8 – 4)(8 – 5)(8 – 7) =
8×4×3 = 4 6
8 11 23 16 33 23
+ +
+
+
3 2
6
6
6
6 16 + 33 + 23 72
2) p =
=
=
=
=6
2
2
12
12
A=
 8  11  23
6×6 – ×6 –  6 –  =
6
 3  2  
10 1 13
6× × × =
3 2 6
65
=
3
195
3
4
3ème E
DS4 racines carrées
CORRECTION
2013-2014 sujet 2
Exercice 1 : (4 points)
Les figures ci-dessous ont toutes une aire de 27 cm².
Donner la valeur exacte de x en cm, dans chacun des cas.
(1)
(2)
27
x
x
(3)
x
(4)
x
2
x étant une longueur est un nombre positif.
(1) x² = 27  x =
(2)
1
x
2
27 =
93 =
27 = 27  x = 2
27
27
9 3 = 3 3
= 2
27 27
27 27
= 2 27 = 23 3 = 6 3
(3) (x+2)² = 27  x + 2 = 27  x = 27 – 2 = 3 3 – 2
27
(4) 3x² = 27  x² =
 x² = 3²  x = 3
3
Exercice 2 : au brevet (4 points)
On donne x =
75 et y =
108
a) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a plus grand entier possible).
b) Ecrire sous la forme la plus simple possible x² - y² et x + y
a) x =
25×3 = 5 3
b) x² - y² = 75 – 108 = - 33
y=
36×3 = 6 3
x + y = 11 3
5
3ème E
DS4 racines carrées
CORRECTION
2013-2014 sujet 2
Exercice 3 : (6 points)
Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme a + b
des nombres entiers.
A = (-3
C=(
8)(
8 + 2)
3 - 2) -
3 (2 +
3)
B = (2
5 – 3)(2
D = (5
3-
c où a, b et c sont
5 + 7)
2)(5
3+
2)
A = -3 8 8 - 3 82 = -3×8 - 6 8 = -24 - 62 2 = -24 - 12 2
B = 2 52 5 + 2 57 - 32 5 - 37 = 4×5 + 14 5 - 6 5 – 21 = -1 + 8 5
C=
3 – 2 – 32 – 3 3 =
3 – 2 - 2 3 – 3 = -5 -
3
D = (5 3)² - ( 2)² = 255 – 2 = 75 – 2 = 73
Exercice 4 : (3 points)
Toutes les longueurs sont données en centimètres.
ABC est un triangle tel que AB = 10 et BC = 3 2
Calculer la valeur exacte de la longueur AC dans chacun des cas suivants :
1) ABC est rectangle en A.
2) ABC est rectangle en B.
1) Le triangle ABC étant rectangle en A, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
(3 2)² = ( 10)² + AC²
AC² = 18 – 10 = 8
AC =
8=2 2
2) Le triangle ABC étant rectangle en B, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = (3 2)² + ( 10)²
AC² = 18 + 10 = 28
AC =
28 = 2 7
Exercice 5 : Formule de Héron (3 points)
Soit un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.
Son aire  est, d’après la formule de Héron :
1
p(p – a)(p – b)(p – c) où p = (a + b +c)
2
Calculer l’aire exacte d’un triangle dans les cas suivants (on donnera le résultat sous la forme d’un
radical simplifié) :
1) a = 4, b = 7 et c = 9
5
7
29
2) a = , b = et c =
3
2
6
=
1) p =
=
4+7+9
= 10
2
10×(10 – 4)×(10 – 7)×(10 – 9) =
10×6×3×1=6 5
6
3ème E
DS4 racines carrées
CORRECTION
2013-2014 sujet 2
5 7 29 10 21 29
+ +
+
+
3 2 6
6
6
6
10+21+29 60
2) p =
=
=
=
=5
2
2
12
12
=
5
7
29
5×(5 – )×(5 – )×(5 –
)=
3
2
6
=
10 3 1
5× × × =
3 2 6
15 – 5 10 – 7 30 – 29
5×
×
×
3
2
6
25
5
5 6
=
=
6
6
6
7