SUR LES ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DU MOUVEMENT D`UN

A. BiLiMOViTCH (Beograd - Jugoslavia)
SUR LES ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DU MOUVEMENT
D'UN SYSTÈME MATÉRIEL
1. - Forme vectorielle des équations du mouvement d'un
Avec les notations suivantes :
m8 (s=1,2,...., N), les masses de -N points matériels
système.
(mi=m2=m3;
o
m 4 = m 5 = m 6 ;....);
x8, les coordonnées cartésiennes de ces points;
X8, les mêmes coordonnées de forces actives;
fi(XìjX2y^ìxN,t)=Q,
(1=1,2,...., k), les équations des Maisons finies;
N
cpil = ^iAiliSx/-i-Ai1=0,
(li = l, 2,...., ki), les équations des liaisons non
holonomes ;
li, ix\x, les multiplicateurs de ces Maisons en les supposant idéales :
On peut écrire les équations du mouvement de ces points matériels:
k\
k
(1)
™AW-*.+ 2 * » | F + 2 ^ « . , . .
(S=1,2,....,N).
En introduisant la conception de l'espace à N dimensions, on peut donner
à ce système d'équations la forme vectorielle suivante (i):
k
(2)
k\
grad T=F+ 2 h S r a d fi+ 2 « i S r a d <Ph= &-
Ici nous avons désigné par grad T la dérivée vectorielle du gradient de la force
vive T du système par rapport au vecteur ~v (xs') qui caractérise les vitesses
des points, par grad f\, le gradient de la fonction f\ par rapport à la position
du système et par grad cpix le vecteur, quasi-gradient de la Maison différentielle,
et enfin par F la force active.
Au point de vue géométrique, on peut prendre les coordonnées arbitraires qs
au M eu des coordonnées cartésiennes xs et déduire de l'équation vectorieUe (2)
(L) ANTON B I L I MO v i e : Jedna&ine kretanja materijalnog
sistema, ako su ose
proizvoljne. Glas Srpske Kraljevske Akademije. CXXVIII knjiga. Beograd, 1927.
potpuno
44
COMUNICAZIONI
les équations scalaires p a r le procédé covariant, c'est-à-dire p a r la projection
orthogonale s u r les axes de iV-èdre arbitraire, ou p a r le procédé contravariant
en calculant les composantes s u r les mêmes axes.
Comme exemple écrivons les équations covariantes :
(3)
| (grad T, u{) - (grad T, ù,) = ( # , u%),
(i=1,
2,...., N)
p a r rapport a u x vecteurs arbitraires ut dans leur forme développée:
(4)
s S? - 2 5 £ ^ - 2 s? ( 2 4>.*<v* + 3 M ) 2V
k
N
—
s==l
i=i
s=i
Ai
= 2 Q.««+2 ^21? u°i+2 /^V*. (<-=i,2>-••> N),
**
j1=i
où wSÎ- sont les produits scalaires des vecteurs u{ p a r les vecteurs rqs (j-^,
„
Vi et Via sont definis p a r les relations : q8 = 2
u8(o{, v{ = 2
t=l
jr^yjjr^h
\OQs vQs
N
oqs )
^is#/ ; ® est la force
s=i
vive en fonction de v{, Q8 la force généraMsée de manière q u e 2
_
Qgfo?g=^Xg&gg,
s=l
s=i
/i le résultat de la transformation de la fonction fi a u x variables nouveMes qs
et enfin:
N N
N
^^«.*—Zi 2j^dgT
S=l
dqG)
aqS1
'
^'*"~
2J
dt
Usi
'
s=l
(7=1
^ *i>i==-!L Zii^hySTZ- Moi.
a=l 8=1
*J
Des équations (4) on peut déduire, pour les expressions speciales de vecteurs Ui, les équations de LAGRANGE pour les systèmes holonomes et les équations de V O L T E R R A , d ' A P P E L L , de T C H A P L I G I N E - W O R O N E T Z , d'EuLER-LAGRANGE
de H A M E L pour les systèmes non holonomes ( 4 ).
Dans cette communication j'utiMserai les équations (3) pour écrire les équations intrinsèques d u mouvement d'un système matériel; la construction des
axes, s u r lesquels nous projetons les membres de l'équation vectorieUe (2), n e
dépend que de la structure ou du mouvement du système même.
2. - La construction
d'un n-èdre
intrinsèque.
Supposons q u e la position d u système soit définie p a r n coordonnées
La formule élémentaire (V, u) = — (V,u)-~(V,
(n^N).
u) pour la projection de la dérivée
(*) ANTON BILIMOVIC: O jednaëinama
kretanja nëholonomnog
Kraljevske Akademije. CXXVIII knjiga. Beograd, 1927.
sistema.
Glas Srpske
A. BiLiMOViTCH : Les équations intrinsèques
d'un système matériel
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vectorieUe sur une direction variable u dans le cas u = ~r{ (i= 1,2,...., n), où ~rt sont
n
n
n
n
les vecteurs identifiant l'égaMté: 2T=^
2 flrtf9r*'9/Œa2 2 ( ^ » ^ V ^ ' ^ / P r e n d
i=l y=i
%=i y = i
la forme suivante:
n
n
s=l
y=i
(Ç^)-â<^-ss|Viw
(5)
où £ | est le deuxième symbole de CHRISTOFFEL.
Prenons un vecteur invariant uL invariablement Mé aux points du système
ou bien au mouvement de ces points. Soit Ua=(ui,l:i),
alors par le procédé (5)
(ni)
on peut toujours calculer les projections des vecteurs uLJ uu...., uL sur les
>
.
.
.
(»2)
vecteurs rt. De la même manière on peut construire les vecteurs u2, u2,...., u2
_
. . .
K>
en partant d'un autre vecteur invariant u2 et enfin les vecteurs uk, uk,...., uk
de vecteur uk, de manière qu'on ait % + ^ 2 + .... -j-nic + k=n. Désignons tous
les vecteurs ainsi construits par ~vL, 72,...., ~vn. Suivant la règle bien connue, on
peut orthogonaMser et normaliser le n-èclre de vecteur ~v{. Désignons les vecteurs
nouveaux par wp, alors
^o
=
(^»«O,
(v2,v2),....,
(^,^-i),
72
(Vpt'Vi),
(vp,v2),....,
(v2),vp_i),
vp
1/Dp-iDp
Çv,,^),....,
( v l f Vp)
Dp=
D0 = l.
(^,? d ),....,
(vpivp)
Pour calculer les dérivées wp il faut remarquer que dans les formuli
les wp=^
aVQwQ la matrice ||ap 2 || est asymétrique et alors nous avons
(£,,?,),...., (^,^-J, (^,^Q)
(v2,~vl)y...i
(VzjVp-i),
(v2iwq)
Çv^,....,
(Vp^p-,),
(vp,wq)
(6)
Dans le cas spécial de n±=n — 1, c'est-à-dire dans le cas d'une direction principale ~u, nous avons ciPfP+i=~aP+ifP=
— = P~J. p+i- et tous les autres a p g = 0 .
j
6p
-Dp
Les quantités — ne sont que les courbures d'une courbe dans l'espace
de RIEMANN.
46
COMUNICAZIONI
3. - Les équations
intrinsèques
d'un système
matériel.
n
En posant q8 == ^ w8{W*, il n'est pas difficile de démontrer que
(grading,
où 0* est l'expression de la force vive en fonction de w*.
En projetant le deux membres de l'équation (2) sur les axes Wi et en utiMsant les expressions (6), nous avons les équations intrinsèques :
J
i-i
Dans le cas de coordonnées indépendantes et d'un seul vecteur invariant
initial, les équations sus-dites prennent la forme:
d 00* ,
1
^ 5 ^ +
^ 5 ^ - ^ b ^ ^
ò6>*
1
ò<9*
/ ^ —x , ^
/
J
—v
(i=l,2,....,n).
Pour un système non holonome, si on peut construire les vecteurs invariants
wr (r=l,2,....,nf=n—ki)
de façon que pour ces vecteurs: (gradcpix, wr)= 0,
nous aurons les équations intrinsèques du mouvement d'un système non holonome sans multipMcateurs des Maisons sous la forme suivante:
d de*
^
de*
5 5=7 - 2 gif ^
/ - i o
r=1 2
/^ — v
= (i
"> "->'
<
/\
n
' > " > >•
/=i
4. - 1/65 équations intrinsèques du mouvement d'un corps solide.
Pour le corps soMde, on peut remplacer l'équation vectorieMe (2) de l'espace V&
par deux équations vectorieMes dans l'espace B3 :
g r a d ^ T=F,
g r a d ^ T+[vA,
grad^
T]=LA
où ~vA est la vitesse du point A du corps soMde, Q la vitesse angulaire, g r a d ^ T,
grad^j T sont les gradients partiels de la force vive par rapport aux vecteurs
désignés, F la résultante des forces actives et LA le moment des ces forces par
rapport au point A ; [ ] le symbole du produit vectoriel.
En partant d'une direction invariante u = wL (par exemple: la vitesse du
point A, la vitesse angulaire, le moment des quantités du mouvement, une
droite invariante Mée avec le corps etc.) nous avons :
*i>i(0, ku, 0),
w2(—ku, 0, lu),
ws(0, —lu, 0)
A. BiLiMOViTCH : Les équations intrinsèques
d'un système matériel
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où Jâu=ux'2jrUy2 + uz,z, lvfêu=(u[û,u\),
et alors les équations du mouvement
se présentent sous la forme suivante (*) :
(7)
-~ — K2ku=Fi,
-~ + KJcu—Kslu=F2,
dGM
dt
+ VA2&3 ~" VÂ3&2
GAJ$U
ÒT
—^ + K2lu=Fz
bT
ÒT
==
;
l'Ai 1
ÒT
où en particuMer: KL=^—,
GA =—— +b^
c^— et a, b, c sont les coorÒ
ÒVAi> * ÒQL
^43_J^2
données du point A par rapport au trièdre Aw±w2wB.
Dans le cas du mouvement de translation, c'est-à-dire pour un point matériel,
si le vecteur ~u a la direction de la tangente de la trajectoire, les équations (7)
se ramènent aux équations intrinsèques d'EuLER.
Les équations du mouvement d'un système matériel par rapport aux axes
arbitraires jouent un rôle principal dans la Mécanique Analytique. La nature
de ces équations dépend du choix de ces axes et est liée étroitement à la géométrie de rc-èdre, à la géométrie de RIEMANN et de W E Y L . On peut appeler
cette branche de la mécanique classique la Mécanique Absolue au sens de la
Géométrie Absolue. Il convient de soulever les questions relatives à cette branche
de Science dans le pays de Ricci et LEVI-CIVITA, fondateurs de la Géométrie
Absolue.
(*) A. BILIMOVITCH : Sur les équations
C. R., t. 171. Séance du 4 octobre 1920.
intrinsèques
du mouvement
d'un
corps
solide.